等腰三角形一对一辅导讲义
等腰三角形一对一辅导
讲义
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
教学目标
1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三
线合一．
2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．
重点、难点
1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合
一.
2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的证明
教学内容
第一课时等腰三角形知识梳理
1、已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。
3、请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC=
2
1∠A。
课前检测
A
B C
D
图2-5
A
B C
D
（1）等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），
相等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角
（A
∠），腰和底边的夹角叫做底角（C
∠
∠和
B）
（2）等腰三角形的性质
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。
注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理
（3）等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。
第二课时等腰三角形典型例题
题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度
例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为
【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。
变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为
度。
典型例题
知识梳理
变2、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为度。
例2：如图，等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为 cm
【点拨】：要分要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．
变3、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有个。
变4、在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=20?°，且AE=?AD，D底边上一点，E是腰上一点，
则∠CDE=________．
题型二：利用等腰三角形的性质证线段或角相等
例3：如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，证明CQ2+PQ2=PC2
【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．?利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，
【点拨】利用等边三角形性质、判定、三角形全等完成此题的证
明．
变5、已知：如图所示，ACB
ABC∠
∠,的平分线交于F，过F作,
//BC
DE交AB于D，交AC于E．求证：DE
EC
BD=
+．A
变6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB。
题型三：利用等边三角形的性质证线段或角相等
例4：已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：BD＋EC＝DE。
变7、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。
题型四：利用直角三角形的性质证线段或角相等
A
P
D C
B
例
5
：已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。
变8、如图所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。判断△ABC的形状并证明。
第三课时等腰三角形课堂检测
1、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 度。
图1 图2
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是度。
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC的度数为度。
课堂检测
M
图3 图4
4、如图，AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AM=BN=AB，则∠BAC的度数为
度。
5、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若
∠BAM=∠NAC，则∠MAC= 度。
图5 图6
6、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=（AB+AD），则∠ABC+∠ADC的度数是 180 度。
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（ B ）。
A、60 °
B、45 °
C、30 °
D、不确定
8、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ A ）。
A、90°—∠ A
B、90°—∠ A
C、180°—∠ A
D、 45°—∠ A
第7题第8题
9、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ A ）
A、20 °
B、25 °
C、30 °
D、45 °
10、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（ B ）
A、∠AED> ∠AGF
B、∠ AED=∠AGF
C、∠ AED <∠AGF
D、不能确定
第9题第10题
11、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=，求证：BD是∠ABC的角平分线。
12、如图，已知△ABC中，∠ABC=45 °，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE ⊥AC于E，与CD 相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G，（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=；（3）CE与BG的大小关系如何试证明你的结论。
13、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE=x°,求x的值
14、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F 站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪
一辆公共汽车先到达指定站为什么？