中考数学压轴题---因动点产生的面积问题[含答案]

因动点产生的面积问题

例1（ 2011年南通市中考第28题）如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x

=

(x ＞0)交于点B (2，1)．过点

(,1)P p p -(p ＞1)作x

轴的平行线分别交曲线m y x

=

(x ＞0)和m y x

=-

(x ＜0)于M 、N 两点．

（1）求m 的值及直线l 的解析式；

（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；

（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．

图1

满分解答

（1）因为点B (2，1)在双曲线m y x

=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，

得0,2 1.

k b k b +=⎧⎨

+=⎩ 解得1,1.

k b =⎧⎨

=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-．

（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，（2）．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．

由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．

图2 图3 图4

（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．

①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭．解得1132x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时113

2

p +

=

．

②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x

x x

⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭

．解得152x +=或152

x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时15

2

p +=

．

考点伸展

在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．

图5 图6

例2（2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．

（1）求点E 的坐标；

（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．

图1

满分解答

（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．

（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.

b c b c -++=⎧⎨

-++=⎩ 解得6,5.

b c =⎧⎨

=-⎩所以

二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．

②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．

C EM M EF C O E O FM C S S S S ∆∆∆=--梯形

111(4)321442

2

2

2

t t t =

+⨯-

⨯⨯-

⨯⨯=

+．

（ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(2

1．解方程

)4(242

t t -=+，得5

8=

t ．此时

点M 的坐标为（3，

5

8）．

（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(2

1-=⨯-=∆t t S ABM ．

解方程)4(242

-=+t t ，

得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．

图2 图3

考点伸展

对于图2，还有几个典型结论：

此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小．

可以求得直线AC 的解析式为445

y x =-+，当x ＝3时，85

y =

．

因此点M （3，

5

8）在直线AC 上．

因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．

例3（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12

y x b =-

+交折线OAB 于点E ．

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1

与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

满分解答

(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12

y x b =-

+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝

11212

2

O E O C b b ⋅=

⨯⨯=．