Sun离散数学第15章一些特殊的图(第34-35讲)

以上两条件是判断平面图的必要条件。
15.4 平面图
K5和K3,3称为库拉托夫斯基图，它们有一些共同点： （1）都是正则图； （2）去掉一条边后它们都是平面图； （3）K3,3是边数最少的非平面图，K5是结点数最 少的非平面图，它们都是最基本的非平面图。 例1：仅当n( B )时，Kn为平面图。 A. n>5 B. n≤4 C. n>1 D. n≤3 例2：二分图K2,3是（ D ）。 A.欧拉图 B.哈密顿图 C.非平面图 D.平面图
15.3 二分图——举例
判断下图中的匹配和完备匹配。
e1
e4 e3 e2
e5
e1
e2 e4 e5 e6
e7 e3
e1
e4
e2
e5 e3
(a)
(b)
(c)
解： (a)中，｛e1,e2｝是匹配，但不是完全匹配。 (b)中，{e1,e2,e3｝是V1到V2的匹配。 (c)中，｛e1,e2,e3｝是完备匹配。
15.4 平面图
下面的图是否为平面图，是否为极大平面图？
是平面图； 是极大平面图。
平面图的对偶图
定义：设G是平面图，用如下方法构造的无向图G* 称为G的对偶图。
(1)在G的每一个面fi中任取一点vi*作为G*的结点。
(2)若在G中，面fi和fj的边界有公共边ek,则连接对
应结点vi*和vj*，得G*的边ek*与ek相交，且不与G 的其他边相交。
e
1笔画问题
15.2 哈密顿图
周游世界问题： 能否从某城市出发，沿着交通线经过每个城市 恰好一次，再回到原来的出发地？ 哈密顿通路（回路）是经过连通图的所有结 点一次且仅一次的通路（回路）。 无向图中有判断哈密顿图的必要条件； 无向连通图中有判断哈密顿图的充分条件。 一般哈密顿图的判定，是重大难题之一。
15.4 平面图
定义：设G=<V,E>是无向图，如果能把G画在平面上， 且使得任何两条边除了端点之外没有其他的交点，则 称G为平面图，这样一种画法称为图的平面表示。否 则称G为非平面图。
例：
(a)
(b)
(c)
(a)(b)是平面图，(b)为(a)的平面表示，(c)为非平 面图
15.4平面图
定义：设G是连通平面图，由G的回路所围成的区 域R如果不能再分成更小的区域，则称R是G的一 个面。 其中面积有限的区域称为有限面，面积无限的区域 称为无限面。 每个面的所有边围成的回路称为该面的边界，它的 长度称为面的次数。 若两个面的边界至少有一个公共边，称这两个面为 邻接面。
例：如下所示的图是不是平面图，为什么？
不是平面图，因为它与k5同胚。
15.4 平面图
定义：设G为一个简单平面图，如果在G的任意 两个不相邻的顶点间再加一条边，所得图为非 平面图，则称G为极大平面图。
定义：设G是非平面图，若在G中任意删去一条 边后，所得图为平面图，则称G是极小非平面图。
例如，K5和K 3,3均是极小非平面图。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
欧拉通路是经过连通图的所有边的简单通路。
a b a b b
a d
c b
a e c d
c
d
c
d
有欧拉回路 有欧拉通路 有欧拉通路 {abcda} {cbdcab} {bdabcd}
无欧拉通路 无欧拉回路
欧拉图
设无向图G=<V,E>是连通的，则 （1）G中存在欧拉回路，当且仅当G中所有结点的 度均为偶数； （2）G中存在欧拉通路但不存在欧拉回路，当且仅 当G中恰有两个结点的度为奇数。 图中两个度为奇数的点必是无向图中每条欧拉通路 v2 的起点和终点。 例：
15.4 平面图——举例
a c R1 b g d R0 e R2 f
无限面 R0是什么面？ 边界为： adefgedba 有限面 R1是什么面？ 边界为： dacabd 有限面 R2是什么面？ 边界为： fgef
次数=？ 8 次数=？ 5 次数=？ 3
R0与R1是邻接面，R0与R2是邻接面。
平面图的欧拉公式
定理：一个连通平面图G=<V,E, F >中，所有面的 次数之和等于边数的两倍。 定理：设G是有n个结点、m条边和r个面的连通平面 图，则n-m+r=2。 欧拉公式 1、下列三元组为图的结点数、边数和面数，则哪 一个不能构成连通平面图。（ C ） A.(4,4,2) B.(4,5,3) C.(9,6,6) D.(7,8,3)
2、若连通平面图G有4个结点,3个面，则G有（ 5 ）条边。 3、设连通平面图G有20个结点，每个结点的度都为3， 则这个平面图有多少个面？ 12
平面图
推论：设G是有n个结点、m条边的连通简单平面图， 若n≥3，则m≤3n-6。 例：证明K5是非平面图。 推论：设G是有n个结点、m条边的连通简单平面 图，若n≥3且G中没有长度为3的回路， 则m≤2n-4。 例：证明K3,3是非平面图。



d

小结
1.欧拉图 2.哈密顿图 3.二分图 4.平面图
平面图
定义：如果两个图G1和G2同构，或者通过反复插 入或删除度数为2的顶点后同构，则称G1和G2同胚。 同胚的图的平面性没有改变。
左图中的(a)(b) 是否与K3或K4 同胚？
(a) (b)
同构
k3 k4 (b)
平面图
定理：一个图是平面图的充分必要条件是它不含 与K5或K 3，3同胚的子图。 库拉托夫斯基定理
欧拉图应用
如图所示，设各边长度相等，现有甲、乙二人以 相同的速度分别从a，b点同时出发，欲走遍所有 a (甲) 边后到达C，问谁先到达。
(乙) b 解：图中有两个奇度数顶点b，c， 故存在从b到c的欧拉通路， 乙走到c只需走一条欧拉通路， d 边数为9条，而甲要想走完每条边到达c， 至少要先走一条边到达b，再走一条欧拉通路， 因而甲至少要走10条边到达c，所以乙先到达。 c
15.3 二分图——举例
解：设V1=｛x1,x2,x3,x4｝为人的集合，V2= ｛y1,y2,y3,y4｝为任务集合，设E=｛e|e=(xi,yj)，xi 熟悉yj，i,j=1,2,3,4｝则 G=〈V1,E,V2〉为二分图:
x1 e1 x2 e2 x3 e4 x4
e3
y1 y2 y3 y4
求G的一个完全匹配：｛e1,e2,e3,e4｝， 按照这个匹配 x1做y2，x2做y3，x3做y4，x4做y1 这样，每个都做自己熟悉的工作，每项工作都有人 做。
对偶图——举例
请找出所给图形的对偶图
自对偶图
证明：若G是自对偶的平面图，则G中的边数m 与结点数n有如下关系：m=2n-2
对偶图
作业：画出所给平面图的对偶图。
15.5 图的着色 “四色猜想问题”——利用对偶图的概念可将其转化 为对结点的着色问题。 定义：如果能用k种颜色对图G的每个顶点进行着色， 使得任何邻接的两个顶点着不同的颜色，则称图G 是k-可着色的。 如果G是k-可着色的，而不是(k-1)-可着色的，则称 G是k色的或称G的色数为k，记成x(G)=k。
例：判断以下二图是否为二分图?
(a)
(b)
解： (a)是，因图中所有回路长度均为偶数。 (b)不是，因存在奇数长度的回路。
15.3 二分图
定义：设G=<V1,E,V2>是二分图，若存在ME，
使得M中任意两条边均不邻接，则称M为G的一
个匹配。
包含V1中所有顶点的匹配称为从V1到V2的匹配。
包含了G的所有顶点的匹配称为完备匹配。
例：
v1 v3
该图存在欧拉回路。
v4
欧拉图
问：下图中是否存在欧拉通路？欧拉回路？是否是欧拉图？
例：
v1
v2 v3 v4 v1
v2
v3
a
h
b
c
d
v4
(b)
g
f (c)
e
(a)
答：(a)存在欧拉通路{v3v1v4v3v2v1} (b)存在欧拉回路{v3v1v3v2v1v4v3}，故(b)是欧 拉图 (c)存在欧拉回路{bhfdbcdefghab},是欧拉图
到现在还没有一个简单的方法可以确定任一图G是 n―色的。
15.5 图的着色
韦尔奇· 鲍威尔（WelchPowell）给出了一种对图的着 色方法，步骤如下：
百度文库
（1）将图G中的顶点按度数递减次序排列。 （2）用第一种颜色对第一顶点着色，并将与已着色顶点 不邻接的顶点也着第一种颜色。 （3）按排列次序用第二种颜色对未着色的顶点重复(2)。 用第三种颜色继续以上做法，直到所有的顶点均着上色。
(3)若在G中，ek只出现在一个面fi的边界中，从相 应的结点vi*到vi*做G*的环ek*与ek相交，且不与G 的其他边相交。
对偶图——举例 请找出给出图形的对偶图
每个平面图都有其对偶图，且平面图的对偶图也是平面图。
平面图G与其对偶图的点，边，面的关系: n=r*，m=m*，r=n* (n结点 ，m边，r面)
15.3 二分图——举例
判断以下4个图是否是二分图？
v1 v6 v3 (a) (b) v5 v4 v2 v4 v5 (d) v1 v2 v3
v6
(c)
以上4个都是二分图，(b),(c),(d)是完全二分 图
15.3 二分图
无向图G=<V,E>是二分图，当且仅当G至少有两个 结点，且所有回路的长度均为偶数。
v1 v4 v3
练习：当n为（ 奇 ）数时，Kn必为欧拉图。
欧拉图
哥尼斯堡七桥问题可归纳为求欧拉回路的问题： 即下面的图中是否存在欧拉回路？
A
D C
B
因为该图中存在度为奇数的结点，所以不存在欧 拉回路，所以哥尼斯堡问题中不存在可以通过每 座桥一次且仅一次再回到原地的路线。
欧拉图
定理：设有向图G=<V,E>是弱连通的，则 （1）G中存在欧拉回路，当且仅当G中每个结点的 入度等于出度； （2）G中存在欧拉通路但不存在欧拉回路，当且仅 当G中除两个结点外，其余结点的入度等于出度，而 除外的两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另 v2 一个结点的入度比出度小1。
15.3 二分图
如果能将无向图G=<V，E>的顶点集V分成两个非 空子集V1，V2，满足V1∩V2=，V1∪V2=V，使得 G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个 属于V2，则称G为二分图；将V的两个子集V1和V2 称为互补结点子集，并且常将G记成G=<V1,E,V2 > 的形式；若V1中的每个顶点与V2中的每个顶点都 有且只有一条边相关联，则称G为完全二分图，记 作Kn，m ，其中，n=|V1|，m=|V2|。
判断V1到V2匹配的t条件。
——充分条件
15.3 二分图——应用举例
今有4个工人x1,x2,x3,x4，分配给他们4项任 务y1,y2,y3,y4,已知： x1 熟悉 y1,y2 x2 熟悉 y1,y3 x3 熟悉 y2,y4 x4 熟悉 y1,y3 问：能否找到一种方案，使得每人都做自己熟 悉的工作，每项工作都有人来做呢?
第15章
一些特殊的图
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
A
D C
问题：能否从河岸或小岛出发，通过每座桥 一次且仅过一次, 最后回到原地呢? 1736年, 欧拉发表了图论的第一篇论文“哥 尼斯堡的七桥”, 回答了这个问题。
B
15. 1 欧拉图
通过图中每条边一次且仅一次并经过所有结点的一 条通路(回路)，称为该图的一条欧拉通路(回路)。