数学建模 倒推法
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
，针与平行线相交的数学条件是
x l sin
针在平行线间的位置
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值 ，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度 函数为：
1/ a, 0 x a f1 (x) 0, 其他
类似地，θ的分布密度函数为：
f
2
(
)
1 / 0,
,
0
其他
因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由
❖ 十、适应度(Fitness)
表示某一个体对于环境的适应程度。
遗传算法的原理
❖ 遗传算法GA把问题的解表示成“染色体”，在算法中也即 是以二进制编码的串。并且，在执行遗传算法之前，给出 一群“染色体”，也即是假设解。然后，把这些假设解置于 问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适 应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉，变异过程产生 更适应环境的新一代“染色体”群。这样，一代一代地进化 ，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是 问题的最优解。
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法 ：
❖ 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计 算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己 模型的正确性，是比赛时必用的方法）
❖
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通 常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这 些算法，通常使用Matlab作为工具）
数学建模：解决问题的思维路径——以《解决问题策略——倒推》教学为例
一
没 有 提 高 学 生 的 策 略 意 识 ， 改 变 学 生 的 思 维 模
式 。这样 的现 象 引发 了笔 者深 深 的 思 考 ， 解 决 问
、
聚 焦 ： 解 决 问 题 策 略 教 学 现 状 引发 的 思 考
题 策 略 的 教 学 重 点 究 竟 该 如 何 定 位 ？在 教 学 的 过 程 中究 竟 要 让 学 生 习 得 什 么 ？ 能 不 能 仅 仅 停 留 于
苏 教 版 义务 教 育 课 程 标 准 实 验 教 科 书 《 数学 》 教材依 据新 课标 的精 神 ， 在 第 一学段 的 编排 中 ， 让 学 生 初 步 积 累一 定 的 解 决 问 题 的 经 验 ，初 步 了解 同 一 数 学 问 题 可 以 有 不 同 的 解 决 方 法 。 为 了 帮 助
会 曾经 提 出 ： 解 决 问 题 必 须 处 于 学 校 数 学 教 学 的
中 心 。《 数 学课 程标 准 》 明确 指 出 ： “ 形 成 解 决 问 题 的 一 些 基 本 策 略 。体 验 解 决 问 题 策 略 的 多 样 化 ， 发 展 实 践 能 力 和 创 新 精 神 。” 因此 ， 运用 学过 的数 学 知 识 和技 能 解 决实 际 问题 ， 是 小 学 数 学 教 学 的
学 生 把 解 决 问 题 的 一 些 具 体 经 验 上 升 为 理 性 的数
学 思 考 和 数 学 经 验 ．提 高 学 生 理 解 策 略 的 有 效 性 和 灵 活 运 用 策 略 解 决 问 题 的 能 力 ． 从 第 二 学 段 四 年 级 上册 开 始 ． 教材 每册 编排 一个 单元 ， 相 对 集 中 地 介 绍 基 本 的 解 决 问 题 策 略 。这 样 编 排 ． 进 一 步 突 出了解决 问题 方法 的选择 、 计 划 和运 用 ， 再 通 过 对 方法的反思 、 内化 ， 促 进 策 略 的形 成 。
6.1 倒推法解题
01 倒推法解题学习目标:1、使学生在解决实际问题的过程中学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题步骤，从而有效地解决问题。
2、使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“逆推”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。
3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
教学重点:学会用倒推的解题策略解决实际问题。
教学难点：在正确运用策略的过程中感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
教学过程：一、情景体验1、路线倒推师：前不久，学校组织大家去春游，还记得吗？生：记得师：游玩后一位同学写了这样的一篇数学日记。
来，听一听。
（录音：我们8点从学校出发，一路经过黄鹤楼、长江大桥、归元寺，最后到达动物园。
下午沿原路返回，你知道我们的返回路线吗？出示：学校→黄鹤楼→长江大桥→归元寺→动物园）师：谁能回答？生：返回路线是从动物园出发，经过归元寺、长江大桥、黄鹤楼，最后到学校。
（出示：学校←黄鹤楼←长江大桥←归元寺←动物园）师：原来你是倒过来想的。
2、翻牌倒推师：下面老师玩一个小魔术，想不想看？生：想师：看好了。
（出示三张牌：先第一张和第二张交换位置，再将第二张和第三张交换位置）师：要想知道原来这三张牌是怎样摆放的，怎么办？生：（上台操作）先交换第二张和第三张位置，再交换第一张和第二张位置。
师：你为什么这样操作？生：我是倒过来想的，刚才最后交换的是第二和第三张，那我就先交换这两张，在交换第一张和第二张。
师：原来你也是倒过来想的。
3、小结师：刚才这2个问题，大家都是怎么想的？生：倒过来想的师：在数学上，我们把倒过来想的方法称之为“倒推”（板书：倒推）今天这节课，我们就一起来研究怎样用倒推解决生活中的实际问题。
二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：有一个数如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商等于6.求这个数。
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。
关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。
一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。
通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ⎰⎰,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。
数学建模方法大汇总
数学建模方法大汇总数学建模是数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
在数学建模中，常用的方法有很多种，下面将对常见的数学建模方法进行大汇总。
1.描述性统计法：通过总结、归纳和分析数据来描述现象和问题，常用的统计学方法有平均值、标准差、频率分布等。
2.数据拟合法：通过寻找最佳拟合曲线或函数来描述和预测数据的规律，常用的方法有最小二乘法、非线性优化等。
3.数理统计法：通过样本数据对总体参数进行估计和推断，常用的方法有参数估计、假设检验、方差分析等。
4.线性规划法：建立线性模型，通过线性规划方法求解最优解，常用的方法有单纯形法、对偶理论等。
5.整数规划法：在线性规划的基础上考虑决策变量为整数或约束条件为整数的情况，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
6.动态规划法：通过递推关系和最优子结构性质建立动态规划模型，通过计算子问题的最优解来求解原问题的最优解，常用的方法有最短路径算法、最优二叉查找树等。
7.图论方法：通过图的模型来描述和求解问题，常用的方法有最小生成树、最短路径、网络流等。
8.模糊数学法：通过模糊集合和隶属函数来描述问题，常用的方法有模糊综合评价、模糊决策等。
9.随机过程法：通过概率论和随机过程来描述和求解问题，常用的方法有马尔可夫过程、排队论等。
10.模拟仿真法：通过构建系统的数学模型，并使用计算机进行模拟和仿真来分析问题，常用的方法有蒙特卡洛方法、事件驱动仿真等。
11.统计回归分析法：通过建立自变量与因变量之间的关系来分析问题，常用的方法有线性回归、非线性回归等。
12.优化方法：通过求解函数的最大值或最小值来求解问题，常用的方法有迭代法、梯度下降法、遗传算法等。
13.系统动力学方法：通过建立动力学模型来分析系统的演化过程，常用的方法有积分方程、差分方程等。
14.图像处理方法：通过数学模型和算法来处理和分析图像，常用的方法有小波变换、边缘检测等。
15.知识图谱方法：通过构建知识图谱来描述和分析知识之间的关系，常用的方法有图论、语义分析等。
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
倒推法
第七讲 倒推法有些问题，若按一般的思路——“由前到后”的顺序去分析解答就会带来很大的困难，这时如果转换一下角度，试试“由后向前”的方法，根据题意从后面倒着往前一步一步地推，这样往往会令问题得到简化。
倒推法：就是从后面的已知条件入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。
【例1】小明今年的岁数加上10后，再扩大5倍，然后减去5，再缩小5倍，刚好是20岁。
小明今年多少岁？1.某次数学考试中，小强的分数如果减去6，再除以10，然后加上6再乘以8，正好是120分。
那么小强这次考试的成绩是多少？2.小强今年10岁，他去问老师的年龄，老师对他说：“如果把我今年的年龄加上5再除以5，然 后减去5后再乘以10，就正好是你今年的年龄。
”那么老师今年多少岁？3. 一个数加上1，乘以8，减去8，结果还是8，这个数是多少？【例2】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。
这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？1. 甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。
再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。
原来甲班比乙班多多少人？2. 甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。
原来乙盒比丙盒多几个球？3. 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给了乙丙，使乙丙的铜板数各增加一倍，后来乙把自己的铜板拿出一部分给了甲丙，使甲丙的铜板数各增加一倍，最后丙也把自己的铜板拿出一部分给了甲乙，使甲乙的铜板数各增加一倍。
这时三人的铜板数都是8枚。
原来最少的人有多少枚铜板？【例3】由1、3、5、7四个数字组成的没有重复数字的四位数一共有24个。
将这些四位数按从大到小的顺序排列，第22个数是多少？1.用1、3、5、7、9这五个数字，可以排成60个不同的三位数。
15 怎样用倒推法解数学应用题---刘培杰 代数
张老师数学工作室 115 怎样用倒推法解数学应用题倒推法或还原法，就是把问题发生的顺序倒过来，用倒推的方法，逐步还原．这是用逆向思维思考解题的一种方法．很多数学问题用其他方法来解较复杂，而用倒推法就能简捷地予以解答．下面举例说明．例1 某容器装有酒精若干升，第一次倒出,31接着倒进20 L ，第二次倒出现存酒精的一半还多27 L 这时容器内还剩酒精33 L ，问原有的酒精多少升?分析 这类问题一般是通过设元列方程来解，现采用倒推法，即从最后剩余的酒精量逐步逆推出原有的酒精量，其思路是：从最后的条件看，33+27=60(L)就是现存酒精的一半，所以现存酒精为2×60=120(L)．再从第一个条件来看，120-20=100(L)是原来酒精的,32故原有酒精应是).(15023100L =⨯例2 现对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7个给另一组．三次调整后甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问各组原来有多少人?分析 若按人员调整的先后顺序来推算，将会很繁琐．因为第一次调整是甲组调出7人给乙组，还是乙组调出7人给甲组，我们并不知道，需要分别讨论；反之，用倒推法就容易多了．显然，如果某一组在某次调整时是调入7人的话，那么调整后的这组人数应不少于7人，而第三次调整(甲组不动)后丙组只有6 A ，而乙组有l3人，说明此次调整是丙组调出7人给乙组，调整前甲、乙、丙各组人数嵌交为5，6，13．同样，第二次调整(乙组不动)也只能是甲组调出7人给丙组，调整前各组人数依次是12，6，6．第一次调整(丙组不动)应是乙组调出7人给甲组，听以各组原来的人数是甲组5人，乙组l3人，丙组6人．例3 甲、乙、丙三箱内共有小球384个，先由甲箱取出若干球放进了乙、丙两葙内，所放之数分别为乙、丙原有之数；继而由乙箱取出若干放进甲、丙两箱内放法同前；最后由丙箱取出若干球放进甲、乙两籀内，放法同前，结果三箱内rj 、球个数恰好相等，求甲、乙、丙各箱内原有小球各多少个?解 丙箱未取出放迸甲、乙时，甲、乙两箱小球数均为642128=(个)，丙箱有128+64+64=256(个)，此系乙箱取出若干放进甲、丙后各箱小球数；在此未放之前，甲箱有64÷2=32(个)，丙箱有256÷2：128(个)，乙箱有64+32+128：224(个 )，此又系甲箱取出若干放进乙、丙后各箱小球数；甲箱未取出放置之前，乙箱有224÷2=112(个)，丙箱有l28÷2=64(个)，甲箱应有32+112+64=20s(个)，这就是各箱原有小球数．。
公式反推方法
公式反推方法公式反推方法是一种通过对已知公式进行逆运算，以确定未知变量的价值的技术。
这种方法广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
以下是关于公式反推方法的50条详细描述：1. 公式反推方法是一种重要的数学技术，常用于解决各种复杂的数学问题。
2. 通过公式反推方法，我们可以通过已知公式和条件，确定未知变量的具体值。
3. 在代数学中，公式反推方法被用于求解未知变量的值，从而解决方程组或不等式。
4. 在物理学中，公式反推方法可以帮助科学家确定物理实验中的未知量，例如质量、速度、力等。
5. 工程学领域也广泛使用公式反推方法，例如通过已知的结构公式和条件，来确定材料的强度、尺寸等。
6. 公式反推方法常用于金融领域，通过已知的利率、期限和本金，来计算复利、折现率等未知变量。
7. 在化学实验中，科学家利用公式反推方法来计算化学反应中的未知物质的含量、浓度等。
8. 对于不规则形状的几何问题，公式反推方法可以帮助计算出未知的维度、体积等。
9. 通过公式反推方法，可以使用已知的公式和实验数据来推导出新的模型和理论。
10. 公式反推方法在计算机科学中也有应用，例如通过已知的算法和参数，来确定未知的变量。
11. 在统计学中，公式反推方法用于从观测数据中推断总体参数的值。
12. 我们可以利用公式反推方法来验证已知公式的准确性，从而增强对数学模型的信心。
13. 公式反推方法有助于培养逻辑思维和问题解决能力，是数学学习中重要的一环。
14. 在数学竞赛中，公式反推方法是解决难题的关键技术之一，考验着学生的推理能力。
15. 有限元分析中的公式反推方法，可以通过模拟得到的结果，来反推材料的特性和边界条件。
16. 公式反推方法也被广泛应用于地质学中，例如通过已知的地质勘探数据和公式，来推断地下资源的储量。
17. 在生物学领域，公式反推方法可以用于确定生物体的特性，例如体积、重量、生长速率等。
18. 构建经济模型时，公式反推方法可以通过已知的经济数据和理论模型，来推断未知的经济指标。
倒推与图解
倒推与图解一、倒推法—— 反过来考虑能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：1．已知最后的结果；2．已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；3．未知的数量是最初的数据。
例1 将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个数分别是81和131，那么第1个是几？例2 一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的51多120个，第二天加工了剩下的41少150个，第三天加工了剩下的31多80个，第四天加工了剩下的21少20个，第五天加工了最后的1800个。
这批零件总数有多少个？例3 甲、乙、丙三人各有若干本书。
甲给乙、丙两人，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人，最后丙送给甲、乙两人。
结果甲有书48本，是丙有书本数54，乙有书的本数是丙有书本数的1571。
甲、乙、丙原来各有书多少本？例4 小明和小华同时计算求甲、乙两个两位数的乘积，小明计算时把甲数的十位上的数字看错了，计算结果是425，小华计算时则把甲数个位上的数字看错了，计算结果是800。
两个数的正确的乘积是多少？例5已知三个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数之和都是完全平方数，求这三个自然数。
二、图解法——一种直观的数学方法分析应用题时利用线段图或其它图形，使问题的内容具体化、形象化，帮助理解题意，明确数量关系，从而沟通“已知”与“所求”的联系，便于找到较简捷的解法。
例6把1572分成4份，要使第一份比第二份多48，第三份比第一份少32，第一份比第四份多92。
问分成的四份各是多少？例1例7《小学数学爱好者》P220例2例8《小学数学爱好者》P221例3例9《小学数学爱好者》P222例4例10《小学数学爱好者》P222例5例11《小学数学爱好者》P223例6例12《小学数学爱好者》P224例7例13《小学数学爱好者》P225习题一练习：《小学数学爱好者》P226。
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求使Dn>=1000的最小n n=7，Dn=977.5km 则在距离A点22.5公里处存放一燃油点C7，存放燃油3500gal，可 使汽车前进977.5公里。 A点看作C8，汽车在A点和C7之间往返（2*8-1）15次，A点存燃 油：15*22.5+3500=3837.5gal可使汽车从A达到B。
2011-7-19 数学建模算法培训 刘璟忠 4
既然每次满载，故C2点所存燃油为1000（运载两次） 设C2到达C1的距离为X，而吉普车要在C2和C1之间往返3 次，故 （3X）km*1gal/km+500gal=1000gal X=500/3 km 吉普车从C2出发可前进距离为500+500/3=500（1+1/3） C3 1500gal 同理：倒数第三个燃油点C3，应该存油1500gal。车可满载 3次，在C3和C2之间吉普车往返5次。 汽车从C3出发可前进距离为：500（1+1/3+1/5） …… N个燃油存放点C1，C2，…，Cn可使汽车前进距离为 Dn=500（1+1/3+1/5+…+1/（2n-1））
2011-7-19
数学建模算法培训 刘璟忠
2
算例：吉普车问题 假设有一台吉普车，总装油量为500gal（1gal=3.78普车以最小的燃料跨越AB间距离1000km的沙漠， 需要从车子中抽取燃料油在中途建立燃料存放点。问：这些 燃料点应该建在何处？各燃料点应该存放多少染油？
2011-7-19
数学建模算法培训 刘璟忠
6
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2011-7-19
数学建模算法培训 刘璟忠
7
2011-7-19
数学建模算法培训 刘璟忠
3
分析： 从终点倒推，在距离B点500km处，应该建立一个燃油 点，设为C1，且存油500gal。 那么距离C1点多远建立燃油点C2？ 该点所存油必须满足： 1 1、能达到C1 C1 2、运送500gal燃油到达C1 注意：1、吉普车每次最大运送燃油为500gal，显然需要多 次往返C1和C2之间。 2、每次出发，要求吉普车满载，而返回时，要求吉 普车的燃油刚好用尽。
数学建模算法培训 基本算法
——倒推算法 倒推算法
2011-7-19
数学建模算法培训 刘璟忠
1
倒推算法（ 倒推算法（back evolve algorithms） ）
倒推法是从某个目标或某个解出发，倒推到该问 题的初始条件。如果这个过程是可逆的，则从问题的 条件可以推出问题的解。 条件： 1、问题必须有唯一解 2、在问题中出现的函数必须是单值的。或者说， 对于每一条输出信息，可以找到唯一的一条输入信息 （即1对1运算）