双曲线的简单几何性质2
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双曲线的简单几何性质(二)(2)
四、点拨升华：
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是
双曲线的简单几何性质(二)
B′
25
B
9
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x
B′
25
B
7
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
由此可知, PF右
x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c
min
ca.
a 常数 e : x 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢 ? 18
(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c 2 2 2 e , a b c ∵ a
5
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
高二数学双曲线的简单几何性质2
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a即Biblioteka (x c)2 y2 | x a2 |
c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F
x
化简 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) .
l' y
l
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了
高二数学双曲线的简单几何性质2
； 物联卡加盟
;
；
人觉得微笑很困难，以为是一个如何掌控面容的技术性问题，其实不然。不会笑的人，我总疑心是因为读书不够广博和投入。书是一座快乐的富矿，储存了大量浓缩的欢愉因子，当你静夜抚卷的时候（当然也包括网上阅读），那些因子如同香气蒸腾，迷住了你的双眼，你眉飞色舞，中了蛊似 的笑起来，独享其乐。也许有人说，我读书的时候，时有哭泣呢！哭，其实也是一种广义的微笑，因为灵魂在这一个瞬间舒展，尽情宣泄。告诉你一个小秘密：我大半生所有的快乐累加一处，都抵不过我在书中得到的欢愉多。而这种欣悦，是多么地简便和利于储存啊，物美价廉重复使用，且 永不磨损。 读书让我们知道了天地间很多奥秘，而且知道还有更多的奥秘不曾被人揭露，我们就不敢用目空一切的眼神睥睨天下。读书其实很多时候是和死人打交道，图书馆堆积的基本上都是思索者的木乃伊，新华书店里出售的大部分也是亡灵的墓志铭。你在书籍里看到了无休无止的时间 流淌，你就不敢奢侈，不敢口出狂言。自知是一切美好的基石。当你把他人的聪慧加上你自己的理解，恰如其分地轻轻说出的时候，你的红唇就比任何美丽色彩的涂抹，都更加光艳夺目。 ?你想美好吗？那就读书吧。不需要花费很多的金钱，但要花费很多的时间。坚持下去，持之以恒，优美 就像五月的花环，某一天飘然而至，簇拥你颈间。 每一天都去播种 ? 朋友，当我看你的信的时候，是一个阴雨绵绵的早上。我仿佛听到你在远处悠长的叹息。我认识很多这样的女人，青春已永远驶离她们的驿站，只把白帆悬挂在她们肩头。在辛劳了一辈子之后，突然发现整个世界已不再需 要自己。她们堕入空前的大失落，甚至怀疑自己生存的意义。 ? 女人，你究竟为谁生活？ 当我们幼小的时候，我们是为父母而活着的。我们亲呢的呼唤，我们乖巧的举动，我们帮母亲刷锅洗碗，我们优异的成绩给父亲带来欣喜……女孩以为这就是生存的意义。 当我们青春的时 候，我们是为工作和知识而活着。我们读书，我们学习，我们在自己的岗位上努力地工作着，我们得各式各样的奖状……女人以为这就是生存的意义。 当我们和人类的另一半结合在一个屋檐下的时候，我们以为太阳会在每一个早上升起，风暴会被幸福隔绝在遥远的天际。我们以丈夫的， 事业为自己的事业，无私地贡献出自己的一切。遵循美德，妻子以为这就是生存的意义。 当我们有了自己的孩子以后，我们视孩子胜过自己的生命。在母亲和孩子的冲突中，女人是永远的弱者。在干渴中，只要有一口水，母亲一定会把它喂给孩子。在风寒中，只要有一件衣，母亲一定会 披在孩子的身上……母亲以为孩子就是自己生存的意义。 终于，丈夫先我们而去，孩子已展翅飞翔。岗位上已有了更年轻的脸庞，整个世界已把我们遗忘。 这个时候，不管你有没有勇气问自己，你都必须重新回答：为谁而生存？ 丈夫孩子事业……这些沉甸甸的谷穗里，都有女 人的汗水，但他们毕竟不是女人自身。女人是属于自己的，暮年的女人，象秋天的一株白杨，抖去纷繁的绿叶，露出树干上智慧的眼睛，独自探索生命的意义。 生命对于每个人，都是上苍只有一次的馈赠。女人要格外珍惜生存的机遇，因为她们的一生更多艰难。我们是为了自己而生活着， 不是为其它的任何人。尽管我们曾经如此亲密，尽管我们说过不分离。但生命是单独的个体，无论怎样血肉交融，我们必须独自面临世界的风雨。 女人要学会播种，即使是在一个没有收获的季节。女人太习惯以谷穗衡量是否丰收，殊不知有时播种就是一切。开心的钥匙不是挂在山崖上， 就在我们伸手可及的地方。 只要你感到是为自己而生活，世界也许就会在眼中变一个样子。写文章，为什么一定要发表？自己对自己倾诉，会使心灵平和。练书法，为什么一定要展览？凝神屏气地书写，就是与天地古今的交融。教学生，为什么一定要到学校？做善事，为什么一定要别人 知晓？ 他人的评判固然重要，但最重要的是我们对自己的评判，这是任何人也无法剥夺的权力。只要女人自己不嘲笑自己，只要女人不自认为自己不重要，谁又能让你低下高贵的头？ 生命是朴素的，它让女人领略了风光之后，回归到原始的平静。在这种对生命本质的探讨中，女人 更深刻地认识自身的价值。 在生命所有的季节播种，喜悦存在于劳动的过程中。 城里人与乡下人 ?最近几个月来，吃过的最美味的一餐饭，是在乡间的小山村。正午时，背靠着池塘，在秫秸搭成的简易凉棚下，主人端上自家种的玉米和土豆，还有刚刚从水中打捞的半尺长的鱼，架在炭火上 烤熟。 ? 那鱼被从中间剖开，平铺在红红的火焰上，一条好像变成了两条。浑身披盐挂霜，硬而微黄，好似生了薄锈的盔甲。吃到嘴里，鱼刺和鱼肉都是干脆而火爆的，“咯吱吱”，似嚼着一袭土色的蓑衣。 ? 我问主人，“用了什么调料？” ? 老大爷嘬着旱烟嘴，含混地回答：“盐。” ? 我说：“还有呢？” ? 主人吐出一口烟雾，清晰地答：“没有了。” ? 我不相信地反问：“没有花椒、大料？没有豆豉、辣椒？没有蚝油、香叶？没有……” ? 主人打断我：“你说的那些都没有，光是盐。” ? 我说：“今天才知道，盐是这样好吃啊。” ? 主人就笑了，说：“你这个人啊， 整岔了。盐并不好吃，好吃的是我们给自己预备的这些个物产。乾隆年间老一辈子怎么着种，咱现在还是怎么着种。我们给自己吃的东西，用的是土法，没有化肥，没有农药，更没有激素。” ? 说到这里，他沧桑的脸上露出一点点不怀好意的浅笑，说：“有件事，我一直整不明白，总想找个 不见怪不爱生气的城里人打听打听。” ? 我说：“您打听吧，我不见怪也不生气。” ? 老人家清了清嗓子，说：“我们在庄稼和菜叶上，用了那么多化肥和农药，眼看着活蹦乱跳的虫子眨眼间就扑拉拉死了一地，可你们城里人一年到头吃的就是这种粮食和菜，怎么到如今还没有被药死 呢？” ? 他原本就有地方口音，因为踌躇加之不好意思，让方言味变得更加浓厚。“药死”这个词，在他的发音里，说成“约死”。我听懂了他的话，一时不知如何回答是好。第一个反应是为自己吞下那么多的农药和化肥加激素却“‘约’而不死”，依然活蹦乱跳地大吃东西而深感惭愧。我 说：“抱歉啊，我也不知道自己至今为什么还没有被‘约死’……” ? 在一旁偷听我们对话的一个小伙子，挺身而出解了我的围。 ? 他说：“早年间有一个广告，唱的是‘我们是害虫，我们是害虫……’记得吗？人就像害虫。打了农药，有些人生了癌症等恶病死了，有的就产生了抗药性， 不死。你们这些不死的人，就像活下来的害虫，有了抗体，反倒更坚强了。” ? 周围的人偷听到我们的话，七嘴八舌道：“是啊，是这样。你看蟑螂，你看老鼠，不是一直被各种药饵毒杀吗？绝了吗？没有！越杀越多。城里人也跟它们似的，毒不死的。” ? 我拿捏不准自己作为城里人的一 员，在农药和化肥的围攻浸淫中，至今活着，是该自豪还是该悲哀呢？ ? “我们从来不吃给城里人准备的东西。我们把给自己吃的东西和卖给城里人的东西，分成两个地块，绝不掺和。今天给你们吃的，就是平日留给俺们自己吃的东西。”老人家非常热情地说。我望着他善良而沧桑的脸，心 中满是惘然。 ? 泾渭分明地把种粮的人和吃粮的人齐刷刷分开，给自己留下清洁的食品，然后用慢性毒药去“约”他人，这是生存的智慧还是蓄意的谋杀？ ? 我不敢生出责备老人的意思，倘若自己是农人，很可能也出此下策。面对现今中国的普遍现象，无奈，只得寄希望能变成杀不死的青 虫。 ? 前两天看报纸，中国的城镇人口已经达到了62％以上。可否这样说：大部分中国人现在吃的食品，其实是那少部分人不喜欢吃，不屑于吃，也不敢吃的。 ? 想起“己所不欲，勿施于人”的古训。那是儒家思想的精华，也曾是中华民族根深蒂固的信条。现今在“吃”这个天大的问题上， 怎么美德尽失？ ? 分手的时候，老人很开心地告诉我们，他的一双孙儿女都考上了大学，以后也要成为城里人了。 名家散文汇编：毕淑敏2 豆角鼓 ? 有一个在幼儿园就熟识的朋友，男生。那时，我们同在一张小饭桌上吃饭。上劳动课的时候，阿姨发给每人一面跳新疆舞用的小铃鼓，里头 装满了豆角。当我摘不完豆角筋的时候，他就会来帮我。我们就把新疆铃鼓称为“豆角鼓”。 以后几十年，我们只有很少的来往，但彼此都知道对方在城市的某一个角落里愉快地生活着。一天，他妻子来电话，说他得了喉癌，手术后在家静养，如果我有时间的话，能不能给他打个电话。他 妻子略略停了一下说：“和他通话时，请您尽量多说，他会非常入神地听。但是，他不会回答你，因为他无法说话。” ? 第二天，我给他打了电话。当我说出他的名字后，回答是长久的沉默。我习惯地等待着回答，猛然意识到，我是不可能得到回音的。我便自顾自地说下去，确知他就在电线 的那一端，静静地聆听着。自言自语久了，没有反响也没有回馈，甚至连喘息的声音也没有，感觉很是怪异，好像面对着无边无际的棉花垛…… ? 那天晚上，他的妻子来电话说，他很高兴，很感谢，希望我以后常常给他打电话。 ? 我答应了，但拖延了很长的时间。也许是因为那天独自说话 没有回声的感受太特别了。后来，我终于再次拨通了他家的电话。当我说完“你是××吗？我是你幼儿园的同桌啊……”我停顿了一下，并不是等待他的回答，只是喘了一口气，预备兀自说下去，就在这个短暂的间歇里，我听到了细碎的哗啦啦声……这是什么响动？啊，是豆角鼓被人用力摇 动的声音！ ? 那一瞬，我热泪盈眶。人间的温情跨越无数岁月和命运的阴霾，将记忆烘烤得蓬松而馨香。 ? 那一天，每当我说完一段话的时候，就有哗啦啦的声音响起，一如当年我们共同把摘好的豆角倒进菜筐。当我说再见的时候，回答我的是响亮而长久的豆角鼓声。 ? 爱的回声是美丽的 手语或一个温暖的眼神。 ? 当我们对一个陌生人给予热情的帮助时，爱的回声是一句真诚的“谢谢您”；当我们给朋友或同学、同事以爱的帮助时，爱的回声是一抹灿烂的微笑…… 努力奉献出我们的爱吧。一旦付出，就一定会有回声，就像这动听的豆角鼓。 ? 爱怕什么? ?爱挺娇气挺笨 挺糊涂的，有很多怕的东西。 爱怕撒谎。当我们不爱的时候，假装爱，是一件痛苦而倒霉的事情。假如别人识破，
高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)(精)
对 称 性
顶 点
标 x a 轴和 y a 原点 都对 或 称 y a
制作 09 2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
制作 09 2009年下学期
例题讲解
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
[例1] 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图2.3-8(1)), 它的最小半径为12m, 上口半径为13m, 下口半 径为25m, 高为55m, 试选择适当的坐标系, 求出 此双曲线的方程(精确到1m)。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
图 象
范 围
xa 或 x a
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或 x a
ya 或 y a
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或
对 称 性
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)()
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线
1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x
双曲线的简单几何性质(第二定义)
点，焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的？ 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
a2 y c
y F o F′
a2 y c x
a2 y c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
例：点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 ,求点M的轨迹.
双曲线的简单几何性质 （二）
双曲线的第二定义
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
三.知识迁移，深化认识 例2 ：求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心 率为 e=2 的双曲线标准方程. 解:依题意设双曲线标准方为
由已知有 a 解得
3 c
2
c 2 a
2
x2 y2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
a 6,c 12
所求双曲线的标准方程为
b 108 x y 1 36 108
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
二、双曲线的第二定义
a 轨迹是双曲线,这就是双曲线的第二定义，定点是双曲 线的 焦点,定直线叫做双曲线的准线,,常数e是双曲线的离心率.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离的比是一个常数 e (e 1) 时,这个点的
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b a2 是相应于右焦点F(c, 0)的 x c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x F′ c 的左准线
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【课堂作业】 1、 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论实数k的 取值范围. (1) 直线与双曲线有两个公共点. (2) 直线与双曲线有且仅有一个公共点. (3) 直线与双曲线没有公共点.
2.经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2
3
的弦AB, 求 AB。
3.直线L与双曲线x2-4y2=4交于A,B两点,若线段AB的中 点坐标为(8,1),求直线L的方程。
例1: 已知双曲线x2-y2／2=1,直线l:y=k(x-1)+1, 试讨论实数k的取值范围. (1) 直线与双曲线有两个公共点. (2) 直线与双曲线有且仅有一个公共点. (3) 直线与双曲线没有公共点.
y 1 的左焦点F1,作倾斜角为 例2：过双曲线 x 6 3 的弦A 3x y 是（ B ）
3 0 被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长
A:1 B:2 C:3 D:4
2 y 2 1 4 条直线与双曲线 x 2过点A(0,2)可以作___ 4 有且仅有一个公共点.
3.直线L与双曲线x2-4y2=4交于A,B两点,若线段AB的中 点坐标为(8,1),则直线L的方程为__________. 2x-y-15=0
x y 5.如果双曲线 2－ 2＝1 的两条渐近线互相垂直，则双曲 a b 线的离心率为( A )A. 2 B． 2 C. 3 D． 2 2
4.双曲线 3x2－y2＝3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A．y＝± 3x B．y＝± x C．y＝± 3x D．y＝± x 3 3 2 2
探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系？ 2.判断下列直线和双曲线x2-y2=1的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ 3 =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?
【归纳延伸:】1:直线和双曲线的位置关系有三种： (1)相切(2)相离,(3)相交. 有一点必须注意: 直线与双曲线有唯一公共点是 直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2 : 直线与双曲线相交时,用“设而不求”的思路求弦 长是一种常规的方法. 3：弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点 差法． 4：解题时要考虑直线斜率不存在的情形，相交弦或中 点弦问题一定要保证相交．
学习目标： 1.掌握直线与双曲线的位置关系； 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题； 3.了解与双曲线有关的应用问题．
复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2：点与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？
x2 y2 x2 y2 3 椭圆 ＋ 2＝1 和双曲线 2－ ＝1 有共同的焦点， 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A．± 5 B．± 3 C．25 D．9