2017年广东省茂名市高州中学高二上学期数学期中试卷和解析(理科)

2016-2017学年广东省茂名市高州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x＜1}，则M∩N=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜1}D．{x|x＜2}2．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）A．②④B．①③C．①②D．②③3．（5分）数列{a n}是等差数列，a1+a2=4，a5+a6=20，则该数列的前10项和为（）A．64 B．100 C．110 D．1204．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a．b．c成等比数列，且2c﹣4a=0，则cosB=（）A．B．C．D．6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．167．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）设x＞0，y＞0，A、B、P三点共线且向量=x+y，则+的最小值（）A．4 B．2 C．9 D．1010．（5分）函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0 B．C．﹣1 D．111．（5分）若不等式a2+8b2≥λb（a+b）对任意的实数a，b均成立，则实数λ的取值范围为（）A．[﹣8，4]B．[﹣4，8]C．[﹣6，2]D．[﹣2，6]12．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=．14．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为．15．（5分）在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．16．（5分）如图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．则四边形OACB的面积最大值是．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，甲、乙两位同学要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠CDB=90°求A，B两点间的距离．18．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．20．（12分）设{a n}是各项都为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S n•b n}的前n项和T n．21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．2016-2017学年广东省茂名市高州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x＜1}，则M∩N=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜1}D．{x|x＜2}【解答】解：M={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|x＜1}，则M∩N={x|﹣2＜x ＜1}，故选：A．2．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）A．②④B．①③C．①②D．②③【解答】解：①若a＞0＞b，则＞，故①错误；②若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故②正确；③若a＞|b|，则a＞b，故③正确；④若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2．故④错误；故选：D．3．（5分）数列{a n}是等差数列，a1+a2=4，a5+a6=20，则该数列的前10项和为（）A．64 B．100 C．110 D．120【解答】解：设公差为d，a1+a2=4，a5+a6=20，则，解得a1=1，d=2，∴S10=10×1+=100，故选：B．4．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【解答】解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选：B．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a．b．c成等比数列，且2c﹣4a=0，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵a．b．c成等比数列，可得：b2=ac，又∵c﹣4a=0，可得：c=2a，b=a，∴cosB===．故选：B．6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a 1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A．7．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3）∴=（cosα﹣3）•cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选：B．8．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=f（x）=满足f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，可排除C，D，或当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x∈（0，）时，y=f（x）＞0函数图象在第一象限，可排除B，故选：A．9．（5分）设x＞0，y＞0，A、B、P三点共线且向量=x+y，则+的最小值（）A．4 B．2 C．9 D．10【解答】解：∵A、B、P三点共线且向量=x+y，∴x+y=1，∵x＞0，y＞0，∴+=（+）（x+y）=5++≥5+2=9，当且仅当=，即y=2x时，取等号，∴+的最小值为9．故选：C．10．（5分）函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0 B．C．﹣1 D．1【解答】解：∵函数f（x）=sinx在区间[﹣，]上单调增，且f（a）=﹣1，f（b）=1∴令a=﹣，b=则=1故选：D．11．（5分）若不等式a2+8b2≥λb（a+b）对任意的实数a，b均成立，则实数λ的取值范围为（）A．[﹣8，4]B．[﹣4，8]C．[﹣6，2]D．[﹣2，6]【解答】解：b=0时化为：a2≥0，可得λ∈R．b≠0，化为：﹣+8﹣λ≥0恒成立，∴△=λ2﹣4（8﹣λ）≤0，即λ2﹣4λ﹣32≤0，解得﹣8≤λ≤4，∴实数λ的取值范围为[﹣8，4]．故选：A．12．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200【解答】解：∵，由a n=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1•（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=．【解答】解：∵α∈（0，π），cosα=，∴sinα==，∴根据诱导公式，得：sin（π﹣α）=sinα=．故答案为：．14．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx﹣3过定点D（0，﹣3），则k AD=，k BD==﹣3，要使直线y=kx﹣3与平面区域M有公共点，由图象可知k≥3或k≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）15．（5分）在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．16．（5分）如图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．则四边形OACB的面积最大值是2+．【解答】解：设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得：AB2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα，所以四边形OACB的面积为：S=S△AOB+S△ABC=OA•OBsinα+AB2=×2×1×sinα+（5﹣4cosα）=sinα﹣cosα+=2sin（α﹣）+，∵0＜α＜π，∴当α﹣=，解得α=π，即∠AOB=时，四边形OACB面积取得最大值，最大为2+．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，甲、乙两位同学要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠CDB=90°求A，B两点间的距离．【解答】解：∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，又CD=40，∴BD=CD=40，在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°，∠ADC=30°，∴∠CAD=45°，又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，由正弦定理得：AD==20（+1），在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos60°=400（+1）2+402﹣800（+1）=2400，解得：AB=20．18．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，从而估计运动会期间不下雨的概率为．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为B n，比较++…+与1的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2 …①当n=1时，a1=2；n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+2 …②；∴由①﹣②得：a n=2a n﹣1∴{a n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an=2n．又∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0即：b n+1﹣b n=2，又b1=1，∴{b n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B n=．∴，∴++…+==1﹣＜1．20．（12分）设{a n}是各项都为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设各项都为正数的等比数列{a n}的公比是q，且q＞0，等差数列{b n}的公差是d，∵a1=b1=1，a3+b5=13，a5+b3=21，∴，即，整理，得2q4﹣q2﹣28=0，q＞0解得d=2，q=2，∴a n=2n﹣1，b n=1+（n﹣1）d=2n﹣1．（Ⅱ）∵{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S n==2n﹣1，∵b n=2n﹣1，∴S n•b n=（2n﹣1）•（2n﹣1）=（2n﹣1）•2n﹣2n+1，∴T n=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n，设S=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，①则2S=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1，②①﹣②，得：﹣S=2+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣（2n﹣1）•2n+1=2n+1﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1，∴S=2+（n+1）•2n+2，∴T n=[1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]﹣2（1+2+3+…+n）+n=2+（n+1）•2n+2﹣2×+n=（n+1）•2n+2﹣n2+2．21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．【解答】解：（1）因为f（1）=0，所以a+b+c=0，又因为a＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，因此ac＜0，所以△=b2﹣4ac＞0，因此f（x）的图象与x轴有2个交点．（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，因为f（1）=0，所以f（x）=0的一根为x1=1，因为x1+x2=﹣，x1x2=，所以x2=﹣﹣1=，因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，所以﹣2＜x2＜0．因为要求f（m）=﹣a＜0，所以m∈（x1，x2），因此m∈（﹣2，1），则m+3＞1，因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；所以f（m+3）＞f（1）=0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，因为f（x1）≠f（x2），所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。