福州大学数理与概率统计第六章 (2)-PPT资料40页
概率统计和随机过程课件第六章大数定律与中心极限定理
20
即对任意的 a < b,
liP m aY nnp b 1
bt2
e2dt
n n(1 p p ) 2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
证明：事 实 上 ， 据 二 项 分 布 的 定 义
n
Y n X i
i 1
其 中 X i 1 0事 事 件 件 A A 不 发 发 生 生
于常数 a , 记作
Yn
P a n
故
nA P p
n n
13
在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互 独立的服从 0-1分布的随机变量序列 {Xk} 的 算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p .
结果同样适用于服从其它分布的独立随 机变量序列.
14
Chebyshev 大数定律 设随机变量序列 X 1 ,X 2 , ,X n , 相互独立， (指任意给定 n > 1, X 1 ,X 2, ,X n相互独立)， X 1 ,X 2 , ,X n , 的数学 期望与方差设为
X ~ B(6000,1/6)
E (X)1000,D (X)npq5000 6
22
X近~似N100,506000
P X 10.01 60006
P X 10 6 0 0 0
10 61000 0941 0000
506 00 506 00
60 60
500 60 500 60
2 60 1 0.9624
且 X 1 ,X 2, ,X n具有相同的数学期望和方差
E 0有
ln im P1 nkn 1Xk0
或
ln i m P1 nkn 1Xk1
16
概率论与数理统计第六章
概率论与数理统计第六章一、估计及其性质“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。
用英文的话，可以表示成不同的单词：estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。
例如，已知总体服从正态分布[公式] ，但总体均值[公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值，[公式] 。
estimator：“估计量”（名词）[公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。
一般使用[公式] 表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。
estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数[公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。
例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。
随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。
对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。
如何比较它们的优劣呢？（1）均方误差MSE Mean Square Error评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。
也就是所谓的“均方误差”函数：[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：[公式]注意：[公式] 和[公式] 均为数值，[公式] 表示参数的真实值，[公式] 表示估计量的数学期望。
由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances），即[公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即[公式] 。
从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实值的距离。
左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；左下图：估计值离靶心较远，呈分散状，此时“方差”、“偏差”均较大；右下图：估计值离靶心较远，落点集中，此时“偏差”较大但“方差”较小。
概率论与数理统计A第6章
2)
n 1 x
x2 e 2
0
其中伽玛函数( x)通过积分
x0 x0
(x) ett x1dt, x 0 0
来定义.
注
已知
2
(1)就是
1 2
,2
分布.由定义X
2 i
~
2 (1),
即X
2 i
~
1 2
,2
.再由可加性知
2
n
X
2 i
i 1
~
n 2
,2 .
2分布的性质
1. 设 X1, X2, , Xn相互独立, 都服从正态分布
t (n)
t分布的上分位点的性质： t1 (n) t (n)
t分布的左侧分位点t (n)可查表 求得，例t0.975 (15) 6.262.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似
t (n) u
3、F分布
定义: 设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ),U 与V 相互
独立，则称随机变量
定理3
E(X) , D( X ) 2 n,
E(S2) 2
事实上
E(S 2 )
E
1
n
1
n i 1
Xi2
nX
2
n
1
1
n
i 1
E
(
X
i
2
)
nE( X
2 )
n
1
1
n
i 1
2
2
n 2
n
2
2
当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布 定理.
定理 4 (样本均值的分布)
设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
概率论与数理统计教程第二版茆诗松课件PPT第六章
ˆ 与样本值 x1 , x2 ,, xn 有关, 记为 这样得到的 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值 ,
ˆ ( X 1 , X 2 , , X n ) 参数 的最大似然估计量 .
12 April 2016
L( ) 1
n
I
i 1
n
{0 xi }
1
n
I{ x
( n ) }
要使L( )达到最大，首先一点是示性函数取值 n n 应该为1，其次是1/ 尽可能大。由于1/ 是 的单调减函数，所以 的取值应尽可能小，但 示性函数为1决定了 不能小于x(n)，由此给出 的极大似然估计 ˆ x( n ) 。
经计算有
x 28.695,
2 sn 0.9185,源自m0.5 28.6由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别 为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体 分布，其理论基础是格里纹科定理。
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第六章 参数估计
第6页
二、概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计 设总体具有已知的概率函数 P(x, 1, …, k)， x1, x2 , …, xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k 存在，若1, …, k 能够表示成 1, …, k 的函数 j = j(1, …,k)，则可给出诸j 的矩法估计为
数作出估计。
参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
12 April 2016
第六章 参数估计
第3页
设 x1, x2,…, xn 是来自总体 X 的一个样本，
ˆ ˆ( x ,, x ) 我们用一个统计量 的 1 n ˆ 取值作为 的估计值， 称为 的点估计 ˆ （量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理 性即可。这就涉及到两个问题：
概率论与数理统计第6章
第六章6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有,95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆， 标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.（1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; （2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解:由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N （0，1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P 9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6。
8 设总体X ~N （150,252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤。
解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ= 2857.09615.09772.0=-=第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。
第六章 统计学 概率分布
1 Z 2 / 2 y e 2
当样本均数等于总体均数时，方程可写成 1 Y e0 2
当标准差为1时
1 1 0 Y e 0.3989 2 2
在中央点的y值最高，即y的最大值为0.3989
（二）正态分布的特征
1.图形以均数为中心左右对称，且M＝Md＝Mo，此点y值 最大（0.3989） 2.正态分布的中央点（即平均数点）最高，然后逐渐向 两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于±1σ处但终不能与基线相交 3.正态曲线下面积为1，以均数为中心，左右各0.50 4.正态分布是一族分布，图6.2 5.正态分布有两个重要参数μ＝0，σ＝1，写作N(0，1)， 根据Z分数的性质，很容易转换标准正态分布，查附表 1即可 6.正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数 量关系
例6-6 有10道正误题，答题者答对几道题才能认为
他是真会，或者说他答对几题才能认为不是出于猜测 因素？
解：已知猜对于猜错的概率p＝q＝1/2＝0.5，
np=5,此二项分布接近正态分布，故：
np 10 0.5 5
10 0.5 0.5 1.58
根据正态分布概率,当Z=1.645时,该点以下包含了 全体的95%。如果用原分数表示,则为：
（二）二项分布
二项分布是指试验仅有两种不同性质
结果的分布。 这两个结果是对立的，因而二项分布 又可说是两个对立事件的概率分布
如考试中的通过与不通过， 是非题的是与否
二项分布可用n次方的二项展开式来表达
( p q) n Cnx p x q n x
x 1 n
( x 0,1,2, , n为正整数）
6第六章概率与抽样分布.ppt
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354
(4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9545
三、t—分布
1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立，则
T ~ t(n). /n
t(n)称为自由度为n的t分布。
t(n) 的图形为
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。
(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
3.分位点limf(t)(t)
1
t2
e2,x
n
[ 例 ] 1人 00 X 的 ~ N ( 1,8 身 7 2 ) 0 P { 1 高 5 x 1 4 } 8 ?6
P { 1 5 x 1 4 } 8 P { 6 Z Z /2 2 } 9 .4 5 % 5
当 Z 1 P 0 .6; 8 当 Z 2 1 . 7 9 6 P 0 .95
第六章 概率与抽样分布
STAT
教学重点 教学过程 教学总结
第六章 概率与抽样分布
• 第一节
★• 第二节
• 第三节 • 第四节
概率基础 随机变量及其概率分布 抽样分布 大数定律与中心极限定律
一、正态分布
• 1. 描述连续型随机变量的最重要的分布 • 2. 可用于近似离散型随机变量的分布
– 例如: 二项分布
正态分布
(例题分析)
【例】设X~N(5，32)，求以下概率
概率统计和随机过程课件第六章大数定律与中心极限定理
P(|
X
|
)
E(| X
k
|k
)
推论 2 ——切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在，
则对于任意实数 > 0,
P(|
X
E(X
)
|
)
D( X
2
)
或 P(| X E(X ) | ) 1 D( X )
课件
2
3
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与 1/6 比较上下小于1%的概率.
k 1
课件
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定理2 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
Yn 是n次独立试验中事件A出现的次数，
p为A发生概率，即
Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x 1
x t2
6000 6
1059 k 941
Ck 6000
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson 分布近似计算：
取 = 1000
P
X 6000
1 6
0.01
P940
X
1060
1059 1000k e1000 0.937934
k 941
k!
课件
5
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分析共67页PPT
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。•Biblioteka 48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利