等比数列知识点总结及典型例题答案解析

合集下载

等比数列典型例题及详细解答

等比数列典型例题及详细解答(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·qn －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)G 为a ，b 的等比中项G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a .( × ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n －1. 5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案 27,81解析设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题型一等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9q ＝－13(舍去)， ∴S 5＝a 11－q 51－q ＝41－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4. 思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 题型二等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式．解由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)C (2)C 解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25， ∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C. (2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分] 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋12n 2n ＋1，n 为奇数，2＋12n 2n －1，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分] 当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分] 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分] 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧]1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n}也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1.2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 C解析因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 A解析由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n . 方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 015·1010B ．2 015·1011C ．2 016·1010D ．2 016·1011 答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 11－q 2m1－q a 11－qm 1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．答案 3解析由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q＝1－－253＝11. 8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)，∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2＝22n －12－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n . ∴S n ＝41－2n 1－2－n 2＋2n 2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)． 10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－449λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ9＝0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案 D解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.13．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 8 2n ＋1－2解析 ∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，∴S n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2. 14．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．答案 ①③解析设{a n }的公比为q ，验证①fa n ＋1fa n ＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③fa n ＋1fa n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，故①③为“保等比数列函数”． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

等比数列知识点总结与典型例题

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：仏= *go）（心2,且皿M）,q称为公比a n-\2、通项公式：=鱼/= A B"（3 工0, H 0）,首项：a x；公比：q推广：g = a,n q l~m。

q l~m吕oq“J血4”V 53、等比中项：（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做"与b的等差中项，即:"或A = ±亦注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2 ）数列仏｝是等比数列O町=% .%4、等比数列的前"项和S”公式：（1）当° = 1 时，S”=〃q（2）当沖时,h竺' \-q \-q= ——g”=A_AB”=/TB”_/r（A,B.A4为常数）\-q l_g5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的“，都有或也= §（§为常数，5工0）0｛©｝为等比数列⑵等比中项:町=%%（%%工0）0｛%｝为等比数列（3）通项公式:a…=A-B"（A• B H0）O｛a…｝为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若匕-=§（0工0）（“二2,且或a,* =qa” <=> ｛a n｝为等比数列5-i7、等比数列的性质：（2）对任何“nN•，在等比数列｛©｝中，有= a tn q n-m .（3 ）若m + n = s +/（/??,”,s、t 已N"）,则a n• a m = a x• q。

特别的，当m+n = 2k时,得a na m = af 等差和等比数列比较：法一：设此数列公比为g,则<经典例题透析类型一：等比数列的通项公式。

例].等比数列｛“”｝中，a ｝ -a 9 =64, 03+0?= 20,求如.思路点拨:山等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于①和q 的二元方程组，解出①和 <7,可得如;或注意到下标1+9 = 3+7,可以利用性质可求出岛、％再求5・解析:q ・dg =5=64a 3 + a 7 = a }q 2 + a" = 20 由（2）得:®op+ 护）=20................ （3 ） • • q > 0 •由（1）得：（“”）2=64 , A a }q 4 = 8 (4)20 = 5V 2/. 2q 4-5c/2 + 2 = 0,解得q~ =2或今?=J_ 2当/ =2时，e =2,5 ・严= 64；当亍=丄时,a 】=32,如=绚• q 10 = 1. 2法二：*.* q •佝=他 °①=64,乂如 + ①=20,・・・"3、5为方程x 2-20x + 64 = 0的两实数根,• “3 '^|| = “7*"，• •] = —'- = 1 丄女6/j j = 64 .总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少讣算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次U的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】%}为等比数列，a 1=3,39= 76 8,求06。

专题02 高中数学等比数列必备知识点与考点突破(解析版)

专题02 等比数列必备知识点与考点突破【必备知识点】◆知识点1:等比数列1.等比数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0)q ≠.2.等比数列的判定(1)1n na q a +=(定义法); (2)2110nn n a a a -+=≠(中项法) (3) kn bn a p q +=⋅ (通项法)； (4)()1n n S A q =-(和式法).3.等比数列通项公式11n n a a q -=⋅或n m n m a a q -=⋅例:已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】 ∵121nn n a a a +=+， ∵111111222n n n n a a a a ++==⋅+， 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列；∵1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C例:已知等比数列{n a }中，满足11a =，2q，则（）A ．数列{2n a }是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{n a }中，102030,,S S S 仍成等比数列【答案】AC 【解析】由题意得：12n na ，所以2122n n a -=，则()2122321242n n n n a a ---==，所以数列{2n a }是等比数列，A 正确； 112nn a -=，所以121121122n n n n a a ---==，且111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，B 错误；122log log 21n n a n -==-，所以()221log log 121n n a a n n --=---=，C 正确；10203010203010203012121221,21,21121212S S S ---==-=-==----，因为2030102021212121--≠--，故数列{n a }中，102030,,S S S 不成等比数列，D 错误. 故选：AC◆知识点2:等比数列的性质设{}n a 为等比数列,公比为q ,则(1)若*,,,,m n p q m n p q +=+∈N ,则m n p q a a a a =.(2)若()*,,,,m n p m n p ∈N成等差数列,则,,mn p aa a 成等比数列.(3)数列{}n a λ(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列;数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列; 数列{}n a 是公比为|q|的等比数列;若数列{}n b 是公比为q '的等比数列,则数列{}n n a b ⋅是公比为q q '⋅的等比数列.(4)在数列{}n a 中,每隔()*k k ∈N 项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 1k q +.(5)在数列{}n a 中,连续相邻k 项的和(或积)构成公比为kq (或2k q )的等比数列.(6)若数列{}n a 是各项都为正数的等比数列,则数列{}log (0c n a c >且1)c ≠是公差为log c q 的等差数列. (7)等比数列{}n a 的连续m 项的积构成的数列: 222,,,m mm m mT T T T T ,仍为等比数列.例:在正项等比数列{}n a 中，35566829a a a a a a ++=，则47a a +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】在等比数列{}n a 中，22235566844774722()a a a a a a a a a a a a ++=++=+，于是得247()9a a +=，而0(N )n a n *>∈，所以473a a +=.故选：C例:已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差等列B ．数列{}2log n a 是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．数列{}2log n a 是递增数列【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则111121--===n n n n a a a q a ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A 错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n n a -=。

等比数列知识点,例题,练习

等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =±注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 8、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。

等比数列考点及经典例题讲解

等比数列及其前n 项和考纲解读 1.利用等比数列的通项公式前n 项和公式进行基本量的计算；2.利用等比数列的有关性质进行运算；3.结合常见变形判断证明等比数列．[基础梳理]1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k .[三基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案：12,484．(必修5·习题2.5B 组改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案：345．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 2＋a 3＝－3，则公比q 为__________．答案：3[考点例题]考点一等比数列的性质及基本量的计算|方法突破[例1] (1)(2018·甘肃两市六校联考)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n－2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(2)已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.(3)(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. ①求{a n }的通项公式；②求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．[解析] (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ，化简得，2q 2－5q ＋2＝0，即(2q －1)(q －2)＝0，由题意知，q >1.∴q ＝2.(3)①设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .②由①可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． [答案] (1)A (2)2[方法提升]解决等比数列的基本运算常用方法[跟踪训练]1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，所以2a 1＋3a 1q ＝1 ①，a 1q 2＝3a 1q 3②，由②得q ＝13，代入①得a 1＝13，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n ，S n ＝13×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12×⎝⎛⎭⎫1－13n ，则2S n ＋a n ＝1. 答案：A2．(2018·沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()A．16 B．8C．4 D．2解析：由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－a27＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝b27＝16，故选A.答案：A考点二等比数列的判定或证明|方法突破[例2](1)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列(2)已知数列{a n}的前n项和为S n＝a n－1(a是不为0的实数)，则{a n}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列(3)(2018·泰安模拟)数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)，设b n＝a n＋1－2a n.①求证：{b n}是等比数列；②设c n＝a n3n－1，求证：{c n}是等比数列．[解析](1)设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a26＝a3·a9.(2)当a＝1时，{a n}的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a≠1时，由S n＝a n－1知，{a n}是等比数列，但不是等差数列，故选C.(3)证明：①a n＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－4a n－2＝4a n＋1－4a n.b n＋1 b n＝a n＋2－2a n＋1a n＋1－2a n＝(4a n＋1－4a n)－2a n＋1a n＋1－2a n＝2a n＋1－4a na n＋1－2a n＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{b n}是公比为2，首项为3的等比数列．②由①知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.所以a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1.所以a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2.所以数列{c n }为等比数列．[答案] (1)D (2)C[方法提升]等比数列的判断与证明的常用方法[跟踪训练]1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：由已知得a n ＋1a n ＝－13，则数列{a n }是公比为－13的等比数列，因为a 2＝－43，所以a 1＝4，则数列{a n }前10项的和S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C2．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，….判断{b n }是否为等比数列？解析：∵lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a 22＝a 1a 4. 又设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即d 2＝a 1d .当d ＝0时，{a n }是一个各项均为正数的常数列， ∴{b n }是等比数列．当d ≠0时，d ＝a 1>0，a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ，b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ＝12d ·⎝⎛⎭⎫12n －1.故{b n }是首项为b 1＝12d ，公比为12的等比数列．考点三等比数列前n 项和及综合应用|方法突破角度1 等比数列的求和问题[例3] (1)(2018·大同模拟)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18C.578D.558(2)(2018·唐山模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为__________．[解析] (1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.[答案] (1)A (2)93 [方法策略][跟踪训练]1．(2018·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝__________.解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又因为数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.答案：1207角度2 等比数列的综合问题[例4] 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[解析] (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎨⎧32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n2－1)，n 是偶数.[方法提升][跟踪训练]2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1. [真题感悟]1.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－82.[考点三](2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.解析：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6.答案：63.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n的最大值为________．解析：设公比为q ， ∴a 1＋a 1q 2＝10，① a 1q ＋a 1q 3＝5，② ∴①②得1＋q 2q (1＋q 2)＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝8.∴a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1. 当n ≥5时，a n <1. ∴a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64. 答案：64。

等比数列知识点并附例题及解析

等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：2、通项公式：一a1qn？1.a1nq？A.bn？a1？Q0，a？B0第一项：A1；工笔：qqana？QN阿曼曼？QQ0 n？2和N？n*Q被称为公共比率an？1.晋升：安？amqn？Mqn？M3.等比平均项：（1）如果a,a,b成等比数列，那么a叫做a与b的等差中项，即：a2?ab或A.注：只有两个具有相同符号的数字具有相等比率的中间项，并且它们的相等比率的中间项具有两个（（2）系列？一这是一个等比序列吗？an2？一1.一14.等比序列的前n项和Sn的公式：（1）当q?1时，sn?na1（2）当q?1时，sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq1?qa1a?1qn?a?a?bn?a'bn?a'（a,b,a',b'为1?q1?q常数）5.比例顺序的判断方法：（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或为等比数列（2）等比例中位数：an2？一1安？1（an？1an？1？0）？{an}是比例序列（3）的通项公式：an？A.bn？A.B0{an}是等比序列6和等比序列的证明方法：an?1?q(q为常数，an?0)?{an}an依据定义：若一QQ0 n？2和N？n*？还是一个？1.卡恩？{an}是等比序列吗？17.等比序列的性质：（2）对任何m,n?n*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。

（3）如果我？NsT（m，N，s，T？N*），那么？是像尤其是当我？N在2K，一个？是Ak2注：A1？一a2？一1.a3an？2.ak（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{}，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n}bnan（k为非零常数）均为等比数列。

（5）序列{an}是一个等比序列。

每k（k？N*）取出一件物品（am、am？k、am？2K、am？3k、？）这仍然是一个等比序列（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列（7）若{an}为等比数列，则数列sn，s2n?sn，s3n?s2n,???，成等比数列（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列a1？0，那么{an}是递增序列{（9）① 什么时候问？1，A1？0，那么{an}是递减序列A1吗？0，则{an}是递减序列② 当0{③ 什么时候问？1、序列为常数序列（此时序列也是等距序列）；④ 什么时候问？0，该序列是一个摆动序列。

等比数列知识点总结典型例题

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔= 3、等比中项：〔1〕如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔〔2〕数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：〔1〕当1q =时，1n S na = 〔2〕当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---〔,,','A B A B 为常数〕 5、等比数列的判定方法：〔1〕用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列〔2〕等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列〔3〕通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：假设()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质：〔2〕对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

〔3〕假设*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，那么n m s t a a a a ⋅=⋅。

等比数列的前n项和典型例题含解答

倒序相加法
总结词
将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。
详细描述
首先将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。这种方法适用于公比q满足q≠1的情况。
错位相减法
总结词
将等比数列的一项乘以公比的负一次方后错位相减，得到一个等差数列，再求和。
VS
详细描述
$frac{a_5}{a_4} = frac{32}{-16} = 2$
由于相邻两项之比相等，所以这个数列是等比数列。04CHAPTER
等比数列前n项和的实际应用
在金融中的应用
贷款还款
等比数列前n项和公式常用于计算贷款的分期还款额，例如房屋贷款、汽车贷款等。
投资回报
在投资领域，等比数列前n项和公式可用于计算复利，即投资的利息或收益会逐年增长。
化。
元素周期表
元素周期表中的元素按照原子序数排列，形成等差数列，而元素的某些性质则可能呈现等比数列的变化趋势。
05
CHAPTER
等比数列前n项和的练习题及答案
练习题一及答案
题目：求等比数列 1, 2, 4, 8, ... 的前n项和。
等比数列的前n项和公式为
将 $a_1 = 1$ 和 $r = 2$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
等比数列的前n项和公式为
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
在此添加您的文本16字
将 $a_1 = frac{1}{2}$ 和 $r = frac{1}{2}$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{frac{1}{2}(1 - (frac{1}{2})^n)}{1 frac{1}{2}} = 1 - (frac{1}{2})^n$

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

类型二：等比数列的前n 项和公式例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q.举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。

【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5.【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。

类型三：等比数列的性质例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++.举一反三：【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。

类型四：等比数列前n 项和公式的性质例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

举一反三：a中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.【变式1】等比数列{}na的前n项和为S n, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【变式2】已知等比数列{}na的项都是正数，若S n=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，【变式3】等比数列{}n求n.a中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.【变式4】等比数列{}na中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。

【变式5】等比数列{}n类型五：等差等比数列的综合应用例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x, xy 。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。

举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6．已知数列{a n}的前n项和S n满足：log5(S n+1)=n(n∈N+),求出数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是何种数列？思路点拨：由数列{a n}的前n项和S n可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a n}类型.举一反三：【变式1】已知数列{C n}，其中C n=2n+3n，且数列{C n+1-pC n}为等比数列，求常数p。

【答案】p=2或p=3；【证明】设数列{a n}、{b n}的公比分别为p, q，且p≠q【变式3】判断正误： (1){a n }为等比数列⇒a 7=a 3a 4； (2)若b 2=ac ，则a ，b ，c 为等比数列；(3){a n }，{b n }均为等比数列，则{a n b n }为等比数列；(4){a n }是公比为q 的等比数列，则2{}na 、1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列；(5)若a ，b ，c 成等比，则log m a ，log m b ，log m c 成等差.类型七：S n 与a n 的关系例7．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足21056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =na-n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列。

上述两个命题中，真命题为个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .解析：法一：设此数列公比为q ，则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(2)得：241(1)20a q q += (3)∴10a >.由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)(3)÷(4)得：42120582q q +==， ∴422520q q -+=,解得22q =或212q =当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=；当212q =时，132a =，101111a a q =⋅=. 法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=, ∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，∴⎩⎨⎧==41673a a 或 ⎩⎨⎧==16473a a ∵23117a a a ⋅=, ∴271131a a a ==或1164a =. 总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【答案】±96法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96；法二：a 52=a 1a 9⇒a 5=±48⇒q=±2，∴a 6=±96。