2.1一元二次方程学案
2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案
第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。
_一元二次方程复习学案
《一元二次方程》复习导学案》考点分析：必考点：一元二次方程的解法及应用常考点：一元二次方程的概念及根的情况 本节重难点知识及体系构建3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【基础知识提前整理】---------课前预习1、只含 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的常见解法有 、 、配方法、 。
3、一元二次方程的求根公式是 。
4、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，Δ= ，Δ＞0，方程 ， Δ=0，方程 ，Δ＜0，方程 ，Δ≥0，方程 。
5、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，x 1 、x 2是方程的两个实数根，则x 1 +x 2= ， x 1 x 2= 。
应用问题中常用的数量关系及题型： 6、数字问题： （1）设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数为 ； （2）日历中前后两日差 ，上下两日差 。
7、体积变化问题： 8、打折销售问题（1）利润= -成本；（2）利润率=利润×100％. 9、行程问题10、教育储蓄问题（1）利息= ；（2）本息和= =本金х（1+利率х期数）；（3）利息税= ；（4）贷款利息=贷款数额х利率х期数考点、易错点探究：二、课内探究探究一：一元二次方程的基本概念典例1：已知方程24(2)(3)50m m m x m x --++++=是一元二次方程，求你M 的值。
变式训练：关于x 的方程是一元二次方程，则a=__________典例2：已知关于X 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2变式训练：若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+ m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论方程解的情况。
江西省萍乡市宣风镇中学九年级数学上册《2.1花边有多宽(1)》学案(无答案) 北师大版
用心 爱心 专心 江西省萍乡市宣风镇中学九年级数学上册《2.1花边有多宽（1）》学案 北师大版【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。
2．会识别一元二次方程，并能指出二次项系数、一次项系数、常数项。
【重点】一元二次方程的概念。
【难点】如何把实际问题转化为数学方程。
【学习过程】一、出示课题二、自学指导 指导1：阅读课本第46--47页，并填空。
指导2：把刚得到的三个方程化简，并回答下面的问题：1.每一个方程中含有几个未知数？2.未知数的最高次数是几次？3.它们是整式方程吗？三、归纳总结上面的方程都是只含有_______个未知数x 的_____式方程，并且都可以化为 (a,b,c 为常数，a 不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式： (a,b,c 为常数，a 不等于0) 一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为_____、_____、_____、二次项系数为：_____、 一次项系数为：_____四、随堂练习1． 把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．判断题：下列方程中，是一元二次方程的_________________.（填序号）（1）5x 2+1=0 （2）3x 2+x1+1=0 （3）4x 2=ax (其中a 为常数) （4）2x 2+3x =0 （5）5132+x =2x （6）22)(x x + =2x （7）｜x 2+2x ｜=4 3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。
五、看我有多棒（每题20分，共100分）1．一元二次方程的一般形式是__________.2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3. 方程2x 2=－8化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为_______，常数项为__________4. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.5．课本第49页的第3题。
一元二次方程复习精品学案
一元二次方程知识要点：1．关于一元二次方程：①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．2．关于配方法解一元二次方程：①首先将二次项系数变为1；②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac 0) 推导过程：利用配方法4．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：(1)=b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根(2)=b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根(3)=b2-4ac<0 方程没有实数根拓展：韦达定理设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=- ，x1 x2= ，利用公式法推导，其作用如下：①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)例题及分析：例1、判断下列方程哪些是一元二次方程：(1)3x2+4x-2=0；(2)x2-2x+3=6x-1；(3)7-x3=x+x2；(4)x2-2xy-4=0；（5）3x2=5-；(6)2-x2+y2=x+m(7)6x2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)例2、关于x的方程(m+3)x2-mx+1=0是不是一元二次方程的条件？例3、(1)用开平方法解方程（3x-1）2=9(2)用配方法解方程3x2－1=6x（3)用公式法解方程2x2+5x－3=0（4）用因式分解法解方程x2＋7x＋12=0例4、解关于x的方程x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）解：x2－mx2＋mx-3x＋2=0（1－m）x2＋（m-3）x＋2=0∵m≠1，∴1-m≠0，∴原方程为一元二次方程∵b2-4ac＝（m-3）2-4（1-m）·2＝（m＋1）2≥0x= =x1=, x2=1例5、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．例6、求证方程(m－1)x2＋3mx＋m＋1＝0 (m≠1)，必有两个不相等的实数根．证明：∵m≠1∴m－1≠0∴此方程是关于x的一元二次方程△＝(3m)2－4(m－1)(m＋1)＝9m2－4m2＋4＝5m2＋4∵不论m取任何不为1的实数都有5m2≥0∴5m2＋4＞0即△＝5m2＋4＞0∴方程必有两个不相等的实数根例8、如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？例9、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．例10、解方程x2-2|x|-1=0．提示：原方程化为|x|2-2|x|-1=0，例11、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．例12、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？例13、已知三个连续奇数的平方和为371，求这三个奇数．例14、有一个直角三角形三边的长为三个连续整数，求三边的长．练习及答案一、选择题1．方程x2=x的解[ ]A．0 B．1 C．0或1 D．0或-12．关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋（m2＋2m－3）=0有一个根是零，则m的值为[ ]A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或33．如果一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个根是0和-2，则m＋n等于[ ]A．2 B．4 C．-2 D．-44．如果方程2x2-x-3m=0与2x2＋3x＋m＝0有一个根相同，则m一定等于[ ]A．0 B．1 C．2 D．0或15．若c是实数，且x2-3x+c=0的一个根的相反数是x2＋3x－c＝0的一个根，则x2－3x ＋c=0的解是[ ]A．1，2 B．-1，-2 C．0，3 D．0，-3二、填空题1．方程x（x-4）＝4的根是______．2．方程（3x－1）2=（2x－3）2的根是______．3．关于t的方程t2－7mt－18m2=0的根是____．4．关于y的方程y（y＋b－1）=b的根是______．5．方程9（x+2）2=16的根是______．6．方程（m2－3）x2－（m＋1）x＋1=0，当m______时是一元二次方程，其判别式△=_______，m=_______时是一元一次方程．7．已知方程（2a－b）x2＋（2b－c）x＋2c－a＝0有一个根是1，则a＋b+c=_______．8．若二次方程k（x－1）2＋x=2无实数根，则k的最大整数值是______．三、解答题1．用配方法解方程2x2＋7x－4=02．用适当的方法解下列方程（1）4（x＋3）2=25（x－2）2；（2）（x-2）（x-3）=1；（3）3x2-7x-6=03．解方程：（2x+1）2＋3（2x+1）＋2＝04．解关于x的方程（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）=0（a≠b）5．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2＋5x-1=0；（2）9x2－6x＋1=0；（3）2x2＋1=-x6．已知两数和为7，积为-6，求两数．思考并总结：a为何值时，方程8x2＋（a＋1）x＋（a－8）＝0（1）两根异号（2）两根均为负根（3）有一根为1（4）有一根为0（5）两根互为相反数（6）两根互为倒数,。
一元二次方程学案
一元二次方程一，教学目标1，让学生熟练的掌握一元二次方程的解法及应用二，教学重难点（1）一元二次方程的实际应用，进一步体验到列一元二次方程解应用题的应用价值。
（2）进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能。
三，教学过程（一）、一元二次方程的概念在整式方程中只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2这样的整式方程叫一元二次方程1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式 02=++c bx ax （ 0≠a )例：1，已知关于x 的方程()2220m m xx m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）让学生明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
例：1、(2009·日照中考)若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2解析：选D.将n 代入方程，方程两边同时除以n 求解，可得m +n=－2.2、（2008·烟台中考）已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．abC ．a b +D ．a b - 解析：选D.将－a 代入20x bx a ++=中，则a 2－ab+a=0，则a －b+1=0∴a －b=－1（恒为常数）3、（2008·东营中考）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0 答案：B4、（2007·荆州中考）若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝ ．答案：2或－4；（3）．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解。
一元二次方程复习学案
一元二次方程复习（1）学习目标：（1）会判断一个方程是否是一元二次方程，及其一般形式的注意点.（2）复习用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程； 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法。
教学重难点：重点： 一元二次方程的解法。
难点：根据方程特征，灵活选择适当的方法解方程。
学习过程：一、 课前预习：（15分钟）复习课本基础知识，自主完成习题1、定义：只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是____________。
其中____叫二次项，_____是二次项系数；_____叫一次项,______是一次项系数；______叫常数项。
3、将方程 8652-=x x 化为一元二次方程的一般形式是：_____________，它的二次项系数是____，一次项系数是___，常数项是___.4、在下列方程 2222)2(,01,1,012x x x x x y x =-=-=+=+ 中，是一元二次方程的有___________ 。
5、方程()1142=+-x 的解___________方程()()321=++x x 的解是____________.二、课内探究：（45分钟）（一）自主学习：归纳一元二次方程的解法（同学们观察题目，然后指明每一道题目的解法，用适当的方法求解下列方程最后总结归纳用哪种方法解最合适）(1)3)10(2=-x (2)0362=+-x x(3)041092=++x x (4)0522=-x x（二）合作探究：（学生独立思考并解决学案中问题1，其中生板演第1（1）、（2）、（3）题，自己点评。
第2题通过变式训练考查一元二次方程根的判别式的三种情况，先由每个小组组长或代表点评。
老师最后点评）1、不解方程判断下列方程解得情况（1）x²-3x+2=0 （2）4x 2-3x-1=x-2 (3)3x 2+x-2=02、已知一元二次方程3x 2-2x+a=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围。
预习九,学案九 17.2.1.1 解一元二次方程- -配方法
预习九，学案九 17.2.1.1 解一元二次方程- -配方法¤ 预习1.直接开平方法解一元二次方程对于形如x 2=m 或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.x 2=m 的解为x=m ±,即m x m x -==21,(ax+n)2=m 转化为ax+n=m ±,即ax+n=m ,或ax+n=－m ,这两个一元一次方程来解. 因为负数没有平方根,所以当m<0时,x 2=m 或(ax+n)2=m 无解2.运用配方法解一元二次方程通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m 的形式,再运用直接开平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步骤如下:(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解. 示例:解方程x 2+6x +4=0解： x 2+6x =−4x 2+6x +9=−4+9(x +3)2=5x +3=±√5 ∴ x 1=√5−3 x 2=−√5−3¤ 学案1.解下列方程:（1）x 2=5 （2）3x 2=12（3） (x +3)2=5 （4）x 2+6x +9=42.用配方法解一元二次方程的关键是配方，复习完全平方公式，并完成填空： a 2+2ab +b 2=(a +b )2 a 2−2ab +b 2=(a −b )2(1)x 2+10x+______=(x+____)2 (2)x 2-12x+______=(x-____)2(3)x 2+5x+_____=(x+____)2 (4)x 2- 2×3x+_____=(x-____)23.用配方法解下列方程(1)x 2+4x －9=0; (2)3x 2=－6+8(3) 9x 2−18x +15=0 (4) 3x 2−6x +4=0¤ 精练1.①+-x x 212 =(x － )2 ②++x x 252 =(x+ )2 2.若(2x －1)2=1－m 有实数解,则∣m －1∣= 。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程学案：一元二次方程的概念与解法讲义(不含答案)
一元二次方程的概念与解法讲义【学习目标】1．了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数； 2．了解一元二次方程的根的意义；3．能够根据一元二次方程的定义求解待定字母的值；4．会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．【教学重难点】掌握一元二次方程的解法．考点1：一元二次方程的概念 知识点与方法技巧梳理：1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 我们把ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．【例1】1下列方程：①13122=-xx ；②05222=+-y xy x ；③0172=+x ；④022=y ． 其中一元二次方程是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和③ 【变式】下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20y x-= B ．210x y -+= C ．3210x x -+= D ．220x x +-=【例2】关于x 的方程01)2(22=-+--mx x m m 是一元二次方程，则m ＝___________．【变式1】已知2(4)(4)30m m xm x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m ＝___________．【变式2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，求代数式22016()a b c -+的值．【例3】把一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 化成一般形式为______________________． 【变式】把一元二次方程(82)(52)18x x --=化成一般形式______________________．考点2：用直接开平方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：直接开平方法：如果方程2()x m n +=（n ≥0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解． 【例】用直接开平方法解下列方程： （1）2250x -=（2）212(1)90x +-=【变式】用直接开平方法解下列方程： （1）214m +=（2）24(31)124x --=（3）900)12(16002=-x （4）08)12(212=--x （5）22(32)(4)x x -=+（6）224(2)(23)x x -=+考点3：用配方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：配方法：通过配成完全平方公式的方法来求出方程的解．用配方法解一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使得方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为2()x m n +=；⑤如果n ≥0就可以用两边直接开平方法来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无实数解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． 【例】用配方法解下列方程： （1）2147x x -=（2）23395x x x ++=+【变式】用配方法解下列方程： （1）0342=+-x x （2）212280x x +-= （3）22129x x -=（4）161442=++x x （5）2132x x x ++=-+（6）24123x x x -+=+考点4：用公式法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．求根公式是通过配方推导出来的． 一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是24b b ac x -±-（b2－4ac ≥0）．应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定系数a 、b 、c 的值；③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥0，则代入求根公式，求出x 1、x 2；若b2－4ac ＜0，则方程无实数解． 【例】用公式法解下列方程：（1）0232=--x x（2）52)2)(1(+=++x x x【变式】用公式法解下列方程： （1）0822=--x x （2）02722=+-x x （3）2134x x =（4）(2)50x x --=考点5：用因式分解法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：因式分解法：用因式分解求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法． 因式分解法的理论根据是：由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0．因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积（提公因式或乘法公式或十字相乘法等） ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握．解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 【例】用因式分解法解下列方程： （1）0232=+-x x （2）01762=+-x x （3）272x x =（4）3(23)23x x x +=+【变式】用因式分解法解下列方程： （1）23x x =（2）4(21)3(21)x x x -=- （3）2(31)31x x x -=-（4）23(2)4(2)x x -=- （5）22150x x --=（6）246100x x --=【能力提升】 1．已知11(1)401m x m x m ++--=+是关于x 的一元二次方程，则m 的值为___________． 2．关于x 的方程是(m2－1)x2＋(m －1)x －2＝0．①当m __________时，方程为一元二次方程；②当m __________时，方程为一元一次方程．3．已知关于x 的一元二次方程22(1)a x x a --+＝1有一个根为0，则a 的值为___________． 4．一元二次方程264x x -+＝0可以化成2()x m +＝n 的形式，则m ＝_________，n ＝_________． 5．已知三角形的两边长分别是2和9，第三边长是一元二次方程21448x x -+＝0的两根，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．19 6．方程2230x x --=的解是______________．7．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)a b a b +++＝12，则这个直角三角形的斜边长为___________．8．已知一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b 112a a --，则此一元二次方程的解是______________．9．已知x 1，x 2是二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，记S 1＝x 1＋x 2，S 2＝x 12＋x 22，…，S n ＝x 1n ＋x 2n ，则 aS n ＋bS n －1＋cS n －2的值为___________．10．已知a 是方程x2－3x ＋1＝0的一个根，求下列各式的值：（1）24291a a a -+ （2）223251a a a -++． ★★熟记一元二次方程的概念和几种解法，下次课要背或默写． 作业1．用配方法解一元二次方程2810x x --=，配方后得（ ）A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -= 2．已知2是关于x 的方程x2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值为___________．3．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a2－1＝0的一个根是0，则a 的值为___________．4．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程268x x -+＝0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 6．解下列方程： （1）211063x x +-=（2）)3)(21()12(5+-=-x x x。
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第二章 一元二次方程 花边有多宽（1） 学习目标： 1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2、会识别一元二次方程及各部分名称。
一，自主探究 活动内容： 问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。 根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？
问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？ 得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？
根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？
二，总结归纳 活动内容： 归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。 一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。 经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。 应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0； (2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。 判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。
三，学以致用 活动内容：
1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、
8一次项系数和常数项． 2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
易错易混点 1. 下列关于x的方程：(1) ax2+bx+c=0 ；(2)532aa；(3)0322xx；
(4)0223xxx中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。 (1)一变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足_________。 (2) 二变：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程，则m的值为__________。
3. m为何值时，关于x的方程023112mxxmm是一元二次方程？ 四，课堂小练 【基础训练】（100分） 1、一元二次方程的一般形式是_________________（a，b，c为常数，a≠０）二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______. 2、填表
方 程 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3、请在一元二次方程的后面打“√” (1)7x2－6x＝0 （ ） (2)2x2－5xy＋6y＝0 （ ）
(3)2x2－x31－1 ＝0 （ ） (4)x2＋2x－3＝1＋x2 （ ） 4、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？(只列方程) 5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽? (只列方程)
五，反思总结 活动内容： 让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 课后练习： 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ax2+bx+c=0 B. k2x+5k+6=0
C. 02142333xx D. (m2+3)x2+2x-2=0 2. 若下列方程是关于x的一元二次方程，求出m的取值范围。 (1) 51122xmxm； (2) 0327124mxxmm 3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1-x)2=300 4. 某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x，则第一次降低成本后的成本为___________，第二次降低成本后的成本为____________，这样可列方程得__________________。
5. 已知：直角三角形的周长为62，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积。 6. 如图 Y2—01①所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长？ 若设小正方形的边长为x cm，那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm和________cm，根据题意，可得方程__________________整理成一般形式得________________。 Y2—01 第二章 一元二次方程 花边有多宽（2） 学习目标： 1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，继续深化对一元二次方程的认识。 2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。 一， 复习回顾 活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：
182x52x8，即：0111322xx；
222
1076x，即：01512xx2。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？
二， 情境引入 活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：182x52x8，即：0111322xx； （1）x可能小于0吗?说说你的理由．
（2）x可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流． （3）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2-13x+11 （4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
三， 做一做 活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)
满足方程2221076x，把这个方程化为一般形式为01512xx2 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? （4）x的整数部分是几?十分位是几? 四， 练习提高 活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？ 【基础训练】（100分） 1、把下列一元二次方程化为一般形式
1)4(2xx _____________________,(x－2)2=5 ______________________,
2、方程012322xx的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A、2、 23、1 ； B、2、 3、1 ； C、2、 21、1 ； D、2、 23、 3、082,0105,1,5)2)(1(42222xxxyxxx中, 一元二次方程的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、观察下列等式：
73452331210122222222、、、，
用含自然数n的等式表示这种规律为 5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 【探究提高】（20分） 6．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作. 五， 课堂小结 活动内容：互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。 学习自评 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
①ax2=bx；②312232xx；③ 0122xx；④0212xx；⑤
112yy；⑥8132xxx A. ①②④⑥ B. ② C. ①②③④⑤⑥ D. ②③ 2. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使矩形四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度应为多少？设矩形四周留下草地的宽为x米，根据题意下列方程不正确的是（ ） A. 48-(16x+12x-4x2)=16 B. 16x+2x(6-2x)=32 C. (8-x)(6-x)=16 D. (8-2x)(6-2x)=16