数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读

3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。
2.2 简单迭代法
思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。
步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).
3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。
k
xk
f(xk)
1
-1.01393
0.0415678
2
-1.0002
0.000607777
3
-0.999999
-3.11969e-006
4
-1
2.11001e-010
表4-2
区间[1.5,1.8]结果x=1.69028
k
xk
f(xk)
1
1.64403
-0.676455
2
1.68071
-0.151106
14
1.69029
1
1.725
8
1.69043
15
1.69029
2
1.6875
9
1.69014
16
1.69029
3
1.70625
10
1.69028
17
1.69028
4
1.69687
11
1.69036
18
1.69028
5
1.69219
12
1.69032
6
1.68984
13
1.6903
表1-3
简单
初值-1.5
12
-1.50489
18
-1.50505
表2-1
初值-1
k
x
1
-1
2
-1
表2-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
k
xk
1
1.6
8
1.68862
15
1.69023
2
1.65669
9
1.68927
16
1.69025
3
1.66987
10
1.68967
17
1.69027
4
1.6779
11
1.68991
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3.判断f(x2)是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代，否则输出x2.x2即为方程的近似解。
第
测试结果
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
二分法
[-1.6,-1.3]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.45
5
-1.50156
10
-1.50493
cout<<x0<<endl;
doublex1=fitera(x0);
while(fabs(x1-x0)>precision){
x0=x1;
x1=fitera(x0);//没有到达精度要求继续迭代
cout<<x1<<endl;
}
returnx1;//返回最终结果
}
//===============牛顿迭代法==================
x1=newtonitera(x0);//继续迭代
cout<<x1<<endl;
}
returnx1;//返回最终结果
}
//==================双点弦法迭代======================
//构造弦截法的迭代公式
doubletwopointchord_f(doublex0,doublex1){
3
1.69126
0.0157988
4
1.69027
-0.000313515
5
1.69028
-6.3006e-007
表4-3
从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦截法的收敛速度。二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算，牛顿迭代法虽然收敛高，但要求导数，计算的复杂度高！双点弦法随稍慢于牛顿跌代法，可以用差商代替牛顿迭代法中的导数，降低了计算的复杂度！
rn[m]=i*foot-8;
m++;
}
}
}
//=====================二分法==========================
doubleDichotomy(doublea,doubleb){
doublemid=0;
inti=0;
while(fabs(b-a)>precision){
//计算函数的一阶导数fderivatives（double x）
doublefderivatives(doublex){
return5*pow(x,4)-9*(x,2)+1;
}
//构造牛顿迭代公式newtonitera(double x)
doublenewtonitera(doublex){
if(fderivatives(x)==0)return-1;//若导数为0则停止迭代
result=Dichotomy(rn[i],rn[i]+foot); //将区间端点带入公式
cout<<"求得近似解为"<<result<<endl;
}
cout<<"------------------------迭代法----------------------"<<endl;
for(i =0;i<3;i++){
附录：源程序清单
#include<iostream>
#include<math.h>
usingnamespacestd;
doublefoot=0.3;//定义寻根步长
inta=-8,b=8;
double*rn=newdouble[5];//解的区间
double*r=newdouble[5];//方程近似解
cout<<"f(x3)"<<f(x3)<<endl;//输出x3的函数值
x0=x1;
x1=x3;
x3=twopointchord_f(x0,x1);//没有到达精度要求继续迭代
// cout<<x3<<endl;
}
cout<<f(x3)<<endl;
returnx3;//返回最终结果
}
//测试
voidmain(){
double result=0;
cout<<"有根区间为["<<rn[i]<<" "<<rn[i]+foot<<"]"<<endl;
double x0 =r[i]; //取得初值
result=itera(x0); //带入公式
cout<<"求得近似解为"<<result<<endl;
//构造迭代公式
doublefitera(doublex){
doubleresult=0;
doublexx=3*pow(x,3)-x+1;
if(xx<=0){
xx=-xx;
returnpow(xx,1.0/5.0)*(-1);}
else
returnpow(xx,1.0/5.0);
}
//简单迭代
doubleitera(doublex0){
k
xk
f(xk)
1
-1.5
0.03125
5
-1.50667
0.0784566
2
-1.66149
0.376502
6
-1.505
-0.010079
3
-1.47175
-1.56322
7
-1.50507
0.000440988
4
-1.492
0.186801
8
-1.50507
2.30387e-006
表4-1
区间[-1.2,-0.9]结果x=-1
mid=(a+b)/2;
if(f(a)*f(mid)<=0)b=mid;//判断与端点函数值得符号
elsea=mid;
cout<<mid<<endl;
}
r[x_count++]=mid;
returnmid;//返回最终结果
}
//================简单迭代法=========================
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
1
1.6
5
1.69024
2
1.68602
6
1.69027
3
1.68893
7
1.69028
4
1.68985
8
1.69028
表3-3
双点
区间[-1.6,-1.3]结果x=-1.50507
k
xk
f(xk)