高数各章综合测试题与答案
大学高数测试题及答案
大学高数测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D4. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是：A. x^2B. x^3C. x*ln(x)D. x*ln(x) - x答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。
答案：3x^2+4x-52. 曲线y=x^2与直线x=2所围成的面积为______。
答案：4/33. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
答案：1/24. 函数y=e^x的泰勒展开式为______。
答案：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的值。
答案：f(2)=23. 求不定积分∫(2x^2-3x+1) dx。
答案：(2/3)x^3-(3/2)x^2+x+C四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么存在一点c∈(a,b)，使得∫(a到b) f(x) dx = f(c)(b-a)。
答案：略2. 证明：函数f(x)=x^2在R上是凸函数。
答案：略。
高数D综合测试题2参考答案
高数D 综合测试题3参考答案一、填空题（每题2分，共20分）1.函数21()1f x x =+-{|2,1}x x x 且≥-≠±. (解：210,202,1x x x x -≠+≥⇒≥-≠±)2.x x x x x sin sin lim +-∞→ =1.(解：sin 1sin 10lim lim 1sin sin 101x x x x x x x x x x→∞→∞---===+++) 3. 已知x x xa 3)1(lim +∞→= 6e ，则a =2.(解：3336lim(1)lim[(1)]2xx a a a x x a a e e a x x →∞→∞+=+==⇒=)4. 分段函数cos 0ln()xx y k x x ≤⎧=⎨+>⎩是连续函数，则k e .(解：0lim cos 1,lim ln()ln ,ln 1x x x k x k k k e -+→→=+=⇒=⇒=) 5．1-=x 为函数112-+=x x y 的第一类（可去型）间断点.(解：211111lim lim 112x x x x x →-→-+-==--) 6.2(1)1x x y x -=-的水平渐近线是1=y ，垂直渐近线是1-=x ．(解：2221111(1)1(1)(1)limlim ,lim lim ,lim 1112111x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-→∞---====∞=-+-+-) 7．设x y 3sin =，则=y d xdx x cos sin 32.8．11cos )x x dx -=⎰2π. (解：111cos )cos 22x x dx x xdx π--=+==⎰⎰⎰)9. 广义积分=+⎰+∞dx x 02112π. (解：2001arctan 12dx x x π+∞+∞==+⎰) 10.根据自由落体运动公式212s gt =（位移单位：米，时间单位：秒），物体在t =23秒时的瞬时速度等于1t =到2t =之间的平均速度．(解：1t =到2t =之间的平均速度为2113(2)(1)2222s s g g g -=⋅-=，瞬时速度,s gt '=由此可知32t =) 二、计算题（每题6分，共48分）1、求20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．2. 求不定积分⎰+dx ex11.解：令t =22221ln(1),1xtt e x t dx dt t =+⇒=-=-，212111()()ln 1111t t dt dt C t t t t t -=⋅=-=+--++⎰⎰=C + 3.求定积分120arctan x xdx ⎰.解： 3311113220000111arctan arctan 3311231x x x xx xdx x x dx dx x xπ+-=-=-++⎰⎰⎰112220011111()[ln(1+)](1ln 2)123112322126x x dx x x x πππ=--=--=--+⎰4.设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dxdy解：方程两边分别对x 求导，得,063cos 33322=+-+dx dy x dx dy y x 故 .23cos 22+-=y x x dx dy由原方程可得，0=x 时，0=y ，将0,0==y x 代入上式，即得.210==x dx dy 5. 已知()ln()z f u x xy =+，其中22u x y =-且f 二阶可导，求zx ∂∂，2z x y∂∂∂.解：2()ln()2()ln()1z yx f u xy x x f u xy x xy∂''=++⋅=++∂， 212()(2)4().z x x f u y xy f u x y xy y∂''''=⋅-+=-+∂∂ 6．求1sin xy y x x '+=的通解.解：111ln ln sin sin 1sin dx dx x x x x x x x y e e dx C e e dx C xdx C x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()1sin xdx C x =+⎰()1cos x C x=-+ 7．求微分方程220'''y y y -+=的通解.解：特征方程为2220,r r -+=特征根1,21r i =±，齐次方程的通解为12(cos sin )x Y e C x C x =+.8.22, 2, , 1 Dx d D y y x xy y σ其中是由所围成的区域===⎰⎰. 解：⎰⎰Dd y x σ2222231221111()3y y y yx dy dx x dy y y ==⎰⎰⎰22254111111()()3324y y dy y y =-=+⎰6427=三、证明题（每题5分，共10分）1. 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．再由021)(2>++='x x x f ，知函数)(x f 单增．故方程062132=+++x x x 只有一个实根． 2. 证明：当0,1x n >>时，有(1)1nx nx +>+.证明：（法一）()(1)1,(0)0,nf x x nx f =+--=设 '110,1()(1)[(1)1]0,()n n x n f x n x n n x f x -->>=+-=+->时，单调递增， 0x f ∴>当时，()(0)0(1)10(1)1n n x f x nx x nx >=+-->+>+，即，（法二）()(1)[0,]nf x x x =+设，在上利用拉格朗日中值定理可知至少 (0,)x ξ∃∈， 使得'()(0)()(0)f x f f x ξ-=-，即11(1)(10)(1)(0)(10)(1)1n n n n n x n x nx x nx ξ--+-+=+->+⇒+>+.四、应用题 1．（6分）对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t 小时之后，生产出t t t t Q 129)(23++-=个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？ 解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ．又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()x t 在[3,)+∞上单调减少．故当3=t 时，)(t x 达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．2.（9分）已知温度为T 的物体，在温度为0T 的环境中冷却的速率与温差0T T -成正比.某同学习惯喝50º的温水,他将一杯100º的开水, 放在20º的教室里,(1)求这杯水温度的变化规律；(2)问过多长时间后水就可以喝了?解：(1)温度变化满足方程(20)(0)100⎧=--⎪⎨⎪=⎩dTk T dt T 经过分离变量dT =-kdt T-20⎰⎰,解得ln(20)ln ln ktT e C --=+，由此得到温度变化规律为20-=+kt T Ce .代入初值0,100,==t T 得到80,C =因此温度变化规律是8020.-=+ktT e(2)令50,T =,则(ln8ln3)/0.98/.=-=t k k3. （7分）设曲线方程是y =(1)求该曲线过点(1,2)的切线方程；(2)求上述切线与曲线y =x 轴围成的平面图形D 的面积；(3)求由平面图形D 绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 解：(1) 1(1)1y ='==，切线方程是21y x -=-，即1y x =+.(2)11211()()S f x dx f x dx -=-⎰⎰1110(1)x dx -=+-⎰⎰113221(1)423x x -+=- 23=(3)1122211()()V f x dx f x dx ππ-=-⎰⎰11221(1)x dx dx ππ-=+-⎰⎰113201(1)23x x ππ-=+- 23π=。
高数一第三章测试题
第三章测试题一、单项选择题）存在，1.如果f ′（x点可微是f（x）在该点可导的2.设函数f（x）在xA.充分必要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件3.设函数y=2f（x2），则y′=4.下列函数中，在点x=1处连续且可导的函数为5.过点（1，-2）且切线斜率为2x+1的曲线方程y=y（x）应满足的关系是A.y′=2x+1B.y′′=2x+1C.y′=2x+1，y（1）=2D.y′=2x+1，y（1）=-26.设y=f（-x），7.函数，在点x=2处A.无定义B.间断C.不可导D.f′（2）=08.A.0B.-2C.不存在D.29.设A.1B.∞C.0D.210.11.设，则f（x）不可导的点为A.x=0B.x=0、x=1C.x=-1D.x=112.设y=x（x-1）（x-2）…（x-20），则f′（0）=A.20！B.0C.∞D.-20！13.设f（x）为可微函数，则在点x处，当△x→0时，△y-dy是关于△x的（）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小14.设y=（1-x）-2，则y（n）=A.n!（1-x）n+1B.（n+1）!（1-x）-（n+2）C.-n!（1-x）n+1D.-（n+1）（1-x）n+215.设f（x）在（-∞，+∞）内为可微的奇函数。
若f′（x0）=b≠0，则f′（-x）=A.0B.C.-bD.b16.如果f（x）在x点可微，则A.∞B.0C.1D.-117.当|△x|很小且f′（x0）≠0,函数在x=x处改变量△y与微分dy的关系是（）。
A.△y< dyB.△y>dyC.△y=dyD.△y≈dy18.设y=lnx，则y（n）=A.（-1）n n!x-nB.（-1）n（n-1）!x-2nC.（-1）n-1（n-1）!x-nD.（-1）n-1n!x-n+119.设在x可导，则A.m=x，n=0B.n=0，n=x2C.m=2 x0，n=-x2D.m=2 x0，n=x220.某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=f（P），且当P=P时，需求弹性为0.8，若此时再涨价2%，需求将减少（）A.1.6B.1.6%C.0.8D.0.8%21.y=|sinx|在点x=π处的导数是（）A.0B.1C.-1D.不存在22.设A.0B.an!C.aD.an二、计算题（一）。
(完整版)高等数学测试题及解答上部分1-6章-副本
第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin，则)(cos x f 。
2、)1()34(lim22x x x x。
3、0x时，x x sin tan 是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0xx kx成立的k 为。
5、xe xxarctan lim 。
6、,0,1)(xb xx ex f x在0x 处连续，则b。
7、xx x6)13ln(lim。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1x y的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim xxaxa x 。
11、已知当0x时，1)1(312ax 与1cosx 是等价无穷小，则常数________a。
12、函数x x x f 13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22xxn。
14、设8)2(lim xxa x a x ，则a________。
15、)2)(1(lim n nn nn=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l 上的偶函数，)(x h 是],[l l 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f ；（Ｂ）)()(x h x f ；（C ）)]()()[(x h x g x f ；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x 11)(，31)(x x ，则当1x时有。
（Ａ）是比高阶的无穷小；（Ｂ）是比低阶的无穷小；（C ）与是同阶无穷小；（D ）~。
3、函数)1(0,1111)(3xkx x x x x f 在0x 处连续，则k。
（Ａ）23；（Ｂ）32；（C ）1；（D ）0。
4、数列极限]ln )1[ln(lim n n n n。
（Ａ）1；（Ｂ）1；（C ）；（D ）不存在但非。
高数D综合测试题5参考答案
高数D 综合测试题5参考答案一、填空题(每题3分,共30分) 1.函数(,)f x y =的定义域是22{(,):1}x y x y +<.2. 若23()(2519),f x x x =-+ 则(7)()f x =0 . (解:函数为6次多项式,求7阶导数,值为零)3. 若分段函数1(1),0,()5,0,x x x f x a x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩是连续函数，则a =15e .(解:15115500lim(1)lim(1)55x x x x x xe ⋅→→+=+=) 4. 图形21x y x =+的垂直渐近线为1x =- .(解:21lim 1x x x →-=∞+)5. 若(),x z xyf y =()f u 可导，则z z x y x y ∂∂+=∂∂2()xxyf y .(解:21[()()][()()]2()z z x x x x x xxy x yf xyf y xf xyf xyf x y y y y y y y y∂∂-''+=+⋅++⋅=∂∂) 6. 函数233y x x =-的拐点为(1,2) .(解: 263,66,y x x y x '''=-=-令0y ''=可得1x =,由于60,y '''=-≠故拐点为(1,2)) 7. 反常积分131dx x π+∞=⎰2π.(解: 213211122dx xx πππ+∞+∞=-=⎰)8. 设22ln()z x y =+，则全微分dz =222222x ydx dy x y x y+++. 9. 已知函数arcsin()z x xy =+，则(0,1)zy ∂=∂0. (解:arcsin()()dz dx d xy dx xy dx =+=+=+故(0,1)0z y∂==∂)10.设22:4D x y +≤，则22()Df x y dxdy +⎰⎰写成极坐标系下的二次积分形式为2220()f r rdrd πθ⎰⎰.二、单项选择题(每题2分,共10分)1.若()sin ,f x x '=则()f x 的原函数之一是（D ） A.1sin x + B.1sin x - C.1cos x + D.1cos x -2.0x =是函数1sin y x x=的（A ）型间断点.A. 可去B. 跳跃C.无穷D.震荡 3.变量11xy e =-在（C ）的过程中是无穷小量. A.0x +→ B.0x -→ C.x →∞D.1x →(解:由于1111100lim ,lim 0,lim 1,lim ,xxxxx x xx e e e e e +-→∞→→→=∞===故选择C.) 4.若(,)z f x y =在点000(,)P x y 处的两个偏导数存在，则函数在该点（D ） A. 有极限 B. 连续 C. 可微 D. 有切线5.若函数,0,(),0,x e x f x a bx x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =处可导，则有（ B ）A.0,0a b ==B.1,1a b ==C.0,1a b ==D.1,0a b ==(解:0lim ()lim()(0),lim ()lim 11,xx x x x f x a bx a f f x e a ++--→→→→=+====⇒=而 0000()(0)11()(0)1lim lim ,lim lim 1100x x x x x f x f bx f x f e b b x x x x++--→→→→-+---====⇒=--.)三、计算及证明题(每题6分,共48分)1.求极限111lim[].1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解:原式111111111lim (1)lim (1).233521212212n n n n n →∞→∞=-+-++-=-=-++ 2.求极限ln(1)lim .x x e x →+∞+解:ln(1)lim x x e x →+∞+11lim lim 1.1101x x x x x e e e -→+∞→+∞====+++ 3.求不定积分3).x e dx +⎰解:3)x e dx +⎰arcsin 3.x x e C =+++4.求定积分31ln .xdx ⎰解:31ln xdx ⎰333111[ln ]13ln3[]3ln3 2.x x dx x =-=-=-⎰5.方程1y y xe =-确定隐函数()y y x =，求.y '解:方程两边关于x 求导，得yyy e xe y ''=--，从而得到.1yye y xe'=-+ 6.用二重积分计算抛物线22y x =-与直线21y x =+所围成图形的面积. 解：抛物线与直线的交点为(1,1)--和(3,7)，213, 221x x y x -≤≤-≤≤+，所围成图形面积为232132121()(23)x x Dd dy dx x x dx σ+---==-+⎰⎰⎰⎰⎰2331132[3].33x x x -=-+=7．证明方程531x x -=在1与2之间至少存在一个实根.解：令5()31F x x x =--，则()F x 在闭区间[1,2]连续，且(1)30F =-<，(2)250F =>，由零点定理，至少存在一点(1,2)ξ∈，使得()0F ξ=,即方程531x x -=在1与2之间至少存在一个实根.8.求微分方程222x y xy xe -'+=的通解. 解：（法一）利用通解公式：()()[()]P x dxP x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰可知22222222[(2)][(2)]().xdx xdxx x x x x y e xe e dx C e xe e dx C e x C -----⎰⎰=+=+=+⎰⎰（法二）两边乘以2x e ，得2()2x ye x '=，即，2()2x d ye xdx =，两边关于x 积分，得22x ye x C =+，解得 22()x y x C e -=+，其中C 为任意常数.四、（10分）求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解：24y x '=-+,过点(0,3)-的切线方程：43y x =-，与x 轴交点3(,0)4过点(3,0)的切线方程：26y x =-+，两条直线方程的交点：3(,3)2.所围图形为两个X 型区域：233, 434342x x x y x ≤≤-+-≤≤-，233, 43262x x x y x ≤≤-+-≤≤-+. 所围图形面积：22343326233434324()()x x x x x x dy dx dy dx --+-+--+-+⎰⎰⎰⎰33322333223333244211135(3)[][(3)].3364x dx x dx x x =+-=+-=⎰⎰ 五、（6分）求函数2332y x x =-的单调区间与极值.解：定义域为(,)-∞+∞，131y x-'=-=，令0y '=，解得驻点：1x =. 奇点：0x =，可知单调递增区间为(,0],[1)-∞+∞，单调递减区间为[0,1],极大值(0)0y =，极小值1(1)2y =-.六、(6分)设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点ξ使得()0.f ξ'=证明：由积分中值定理可得1211312()(),[,1]33f x dx f ξξ=∈⎰即1213()3()(0),f f x dx f ξ==⎰在1[0,]ξ上用罗尔定理，可知1(0,)(0,1)ξξ∃∈⊂使得()0.f ξ'=。
高数答案(全集)第六、七、八章
1 •设总体X服从参数为■的泊松分布，X-X2,…,Xn为来自总体X的样本，求
(1)X「X2,…，Xn的联合分布；
(2)E(X), D(X)和E(S2)其中X,S2分别为样本均值和样本方差。
2
2•设总体X的均值为J,方差为二，X「X2,…,X2n为来自总体X的容量为2n的样
2nn
I
本令求XXi,Y=為(Xi• Xn i-2X)，求E(y)
2ni mi d
3 .设从总体N(52,6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在50.8至
53.8之间的概率.
4.设Xi,X2/,Xio为来自总体N(0,0.32)的一个样本。求
填空题(第5— 8题)
5 •在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称重结果相互独立且服从正态分布
9设总体X服从N（d；「2）其中」为已知，而 匚2未知，（X^Xz'Xs）是从总体中抽取
的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是（）
3Xi2
(C) F;(C)X12u
i=1a
N(a,0.22)，若以Xn表示n次称重结果的算术平均值，贝U为使P{ X^^ 0.1} >0.95，
n的最小值应不少于自然数.
2
6.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N（0,3）而X「X2,…,X9和
丫1,丫2,…，丫9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量
Xj+X2+ …+x9
U129
J/+丫22+ …+丫92
服从分布，参数为
2nx「
7设Xi,X2，…，Xn是正态总体X〜N（j；「）的一个样本，则（一1）~
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)2
第七单元 空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。
2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。
3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。
4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。
5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。
6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。
7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角，则__________=k 。
8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。
9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。
10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。
11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。
12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。
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第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
因为211n n a a n ++=+，所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C;5、B. 二、1、1;2、()4,2-；3、32;4、2π3；5、cos1sin1-. 三、1、答案：[)0,6。
2、答案:53ln 284- 提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值。
而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑，分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+。
提示： ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn nn n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑ 提示：()2011112!1!2!2nnn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ∞==--∈-∑提示:先解一阶线性微分方程,求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示：设()1nn f x x nx =+-，则()()0,0n f x x '>>，故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知，00110n x x n n -<=<，故当1α> 时，级数1n n x α∞=∑收敛。
四、提示:()()2111n n a a n n n ++=+,()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+，所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于（ ) (A) 1;- (B) 0; （C) 1; (D) 2。
2、设闭曲线c 为1x y +=的正向,则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于( )（A) 0; （B) 2; (C) 4; （D) 6。
3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于( )(A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a (D ） 0。
4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，则d cx s ⎰等于（ )(A) 23;a (B) 0; (C ） 2;a (D)213a 。
5、设∑为下半球z =Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y ∑⎰⎰不等于（ )(A) d ;v Ω-⎰⎰⎰(B) 2πd dr θ⎰⎰;（C) 2πd d ;ar θ-⎰⎰(D ）()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a+=,则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( ）4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧,则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于( )5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x -++⎰与路径无关,其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题 1、求()()xy sin d cos d LI ey b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧。
2、计算2d LI y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩。
3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面,(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧。
6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1x f x +→=，求()f x 。
答案:()e ()e 1x xf x x=- 提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性,知2()()()e 0xxf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可。
四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤,L 为D 的正向边界，试证：（1）sin sin sin sin e d e d e d e d y xy xLLx y y x x y y x ---=-⎰⎰； （2）2sin sin 5πed e d 2yx Lx y y x --⎰≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、1、3πa -；2、4π-；3、；4、4π3；5、211x+。
三、 1、答案:23ππ222I a b a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭。
提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3LLLLI y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰. 3、答案:ξηζ===max 9W abc =. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1，功W 为 120d d d 3d OMW yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=++==⎰⎰再求W ξηζ=在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可。