几何光学中实正虚负法则的扩展应用
高中物理竞赛讲义 几何光学
专题十五 几何光学【扩展知识】一、光的独立传播规律当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：n n n c 1arcsin arcsin12== 四、成像公式若u 为物距，v 为像距，而f 为焦距，则有： 放大率：物长像长==u vm （线放大率） 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=u v k （面放大率） 说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距可以证明，球面镜的焦距f 等于球面半径R 的一半。
且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像七、透镜成像的作图法1．利用三条特殊光线2．利用副光轴【典型例题】例题1：（第一届全国物理竞赛题）如图所示，凸透镜L 的主轴与x 轴重合，光心O 就是坐标原点，凸透镜的焦距为10cm 。
有一平面镜M 放在y =-2cm 、x >0的位置，眼睛从平面镜反射的光中看到发光点A的像位于A2处，A2的坐标见图。
（1）求出此发光点A的位置。
（2）写出用作图法确定A的位置的步骤并作图。
例题2：（第六届全国物理竞赛题）在焦距为f的会聚薄透镜L的主光轴上放置一发光圆锥面，如图所示。
圆锥的中心轴线与主光轴重合，锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心轴线的夹角等于α，求圆锥面的像。
例题3：（第九届全国物理竞赛决赛题）在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm 凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源，如图所示。
（1）光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
（2）若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此时像的位置。
（3）继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜，求此时像的大小。
例题4：（第十一届全国物理竞赛题）照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示。
大学物理光学 第3章 几何光学的基本原理
二、 费马原理
光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。
nds 极值（极小值、极大值、恒定值）
B A
极小值：图（ｂ） 光的直线传播、 光的反射定律、 折射定律 极大值：图（c） 恒定值：图（a）
三、 单心光束 实像和虚像
1.单心光束：凡是具有单个顶点的光束﹙同心光束﹚。 ①发散光束：由一发光点发出的光束； ②汇聚光束：向中心会聚的光束。 （具有一定关系的一些光线的集合称为光束） 2.光学系统：由不同材料做成的不同形状的反射 面、折射面以及光阑组成的系统，其作用是变 换光束．反射镜、棱镜、透镜、光阑等是构成 光学系统的基本元件。
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
1.近轴： 很小，cos 1，l≈-s,l≈s,
0 会聚 n n ＝0 平面折射 2.光焦度公式： ＝ r 0 发散
单位：m-1，称为屈光度，用D表示。（共轭P131） 3.焦点和焦距 象方：F， 物方：F， 关系： 讨论：① （“－”表示 F 和 F 永远位于界面两方） if : n n, then f f ② ， 球面反射 （可看作是折射的特例）
四. 棱 镜
主截面：垂直于两界面的截面. 偏向角：出射线与入射线间的交角. ＝(i1-i2 )+(i1 -i2 )= i1 +i2 -A • 最小偏向角：
＝2i A , i i
1 1 1
A
0
A 计算折射率： sin sin i 2 n A sin i 应用：①折射计 sin 2 ②利用全反射 棱镜变更方向,反射光强几乎没有损失.
0 1 2
2
A , i i 2
2 2
(i i A)
2 2
几何光学总结
P
O 1
C2
n2
O 2 C 1
n 1
p′ 2
P′
P′ 1
p1
t
′ p1
p2
1 1 n2 − n1 1 1 = = − 薄透镜在空气中时 n1=1, n2=n f f′ n1 R1 R2
1 1 1 1 = = (n −1) − 空气中薄透镜的焦距： 空气中薄透镜的焦距： f f′ R1 R2
n1p′ y′ 球面折射成像的横向放大率： 球面折射成像的横向放大率： m = = − y n2p 符号法则： 符号法则：
1、物距 p 和像距 p’ 的正负可以用实正虚负来确定。 、 的正负可以用实正虚负来确定。 实正虚负来确定 2、物高 y 和像高 y’ 的正负规定。(同球面反射成像 、 的正负规定。 同球面反射成像 同球面反射成像) 3、当物体面对凸面时，曲率半径 R 为正；当物体面 、 物体面对凸面时， 凸面时
式中各量的符号规定遵从球面折射的符号法则: 式中各量的符号规定遵从球面折射的符号法则
1、物距 p 和像距 p’ 的正负可以用实正虚负来确定。 、 的正负可以用实正虚负来确定。 实正虚负来确定 2、当物体面对凸面时，曲率半径 R 为正；当物体面对 、 物体面对凸面时， 凸面时 凹面时，曲率半径 R 为负. 凹面时
或
1 1 1 + = p p′ f
p′ 薄透镜的横向放大率： m = m1 ⋅ m2 = − p
r
N
S′
n2 ∴S′N = SN n1
M
i
n2 n1
S′N 称为的 S 视深
S
•球面反射成像的物像公式 球面反射成像的物像公式: 球面反射成像的物像公式
第四讲《光学》--几何光学的基本原理
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例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质（虚像，实像）。
解：若光线自左向右进行，这时 • • 由近轴物像公式式： • •
• 所成的是在凹面镜后0.10m处的一个虚像。
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例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质。
n' f ' r n ' n
n ' n n ' f' r
O
F
C
n
n’
r
f’
22
F’
-f
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
物方焦点F : 与光轴上无穷远处像点对应的物点 物方焦距f ：与物方焦点对应的物距。 物方焦平面：过F点垂直于光轴的平面。 物方焦距：
1 2 1 2
n '[(r )2 (s r )2 2(r )(s r ) cos ]
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四、球面折射对光束单心性的破坏
Fermat原理
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
s 随 而变，光束的单心性被破坏。
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式 在近轴条件下，值很小
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
C
o
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三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
当
s ,
r 得 s ' f ; 2
凹面镜 r 0, 凸面镜 r 0,
f 0; f 0.
几何光学的原理及应用
几何光学的原理及应用1. 介绍几何光学是光学研究的一个分支，主要研究光的传播和反射等基本性质，以及透镜、棱镜等光学器件的原理和应用。
本文将介绍几何光学的基本原理，并探讨其在现实生活中的应用。
2. 几何光学的基本原理2.1 光的传播光是一种电磁波，传播速度为光速。
根据光的传播原理，光沿直线传播，在均匀介质中，光线传播路径呈直线。
当光经过不同介质的界面时，会发生折射和反射。
2.2 折射定律当光从一种介质射入另一种介质时，会改变传播方向，这种现象称为折射。
折射定律描述了光线在两种介质之间的折射关系，即入射角、出射角和两种介质的折射率之间的关系。
折射定律可以用数学表达式n₁sinθ₁=n₂sinθ₂表示，其中n₁和n₂分别为两种介质的折射率，θ₁和θ₂分别为光线的入射角和出射角。
2.3 反射定律当光线从一种介质射入另一种介质的界面时，部分光会被反射回原介质中，这种现象称为反射。
根据反射定律，入射角等于反射角，即入射角和反射角相等。
3. 几何光学的应用3.1 透镜透镜是一种光学器件，由一块光密介质组成，可以将光线聚焦或发散。
根据透镜形状和折射率的不同，可以分为凸透镜和凹透镜。
透镜在光学成像、眼镜、望远镜等领域有广泛的应用。
3.2 光纤通信光纤通信是一种利用光传输信息的通信技术。
光纤是一种非常细的光导体，采用反射的原理传输光信号。
光纤通信具有传输速度快、抗干扰能力强、信息容量大等优点，广泛应用于电话、互联网、电视等领域。
3.3 显微镜显微镜是一种利用光学原理观察微小物体的器具。
通过透镜聚焦光线，使目标物体放大，并且使用目镜和物镜组合的方式观察物体细节。
显微镜在生物学、医学、材料科学等领域有重要应用。
3.4 照明设计几何光学在照明设计中也有重要应用。
通过光的反射、折射等原理，设计照明器具的形状和光线发射方向，可以改变照明效果。
合理的照明设计可以达到节能、明亮、舒适的照明效果。
3.5 摄影学摄影学是研究光线在器材中的传播和成像原理的科学。
几何光学符号法则
几何光学符号法则
几何光学是研究光的传播和反射、折射等现象的分支学科，其中使用了一些符号和法则来描述光线的行为。
以下是几何光学中常用的一些符号和法则：
1.光线符号：用直线箭头表示光线的传播方向，箭头的方
向表示光的传播方向。
2.光线传播法则：光线在同质介质中直线传播，且在传播
方向上不相交。
3.入射角和折射角：根据斯涅尔定律，光线从一种介质射
入另一种介质时，入射角（入射光线与法线之间的夹角）和
折射角（折射光线与法线之间的夹角）满足折射定律。
4.球面镜符号法则：凸面镜和凹面镜分别用“F“和“F’“表示
焦点，用“C“表示曲率中心，用“2F“表示镜的中心位置。
5.焦距公式：对于薄透镜或球面镜，焦距可以通过公式1/f
= 1/v - 1/u来计算，其中f为焦距，v为像距，u为物距。
6.成像法则：根据光的传播路径，可以使用光线追迹法、
反射法和折射法等方法确定光线的成像位置和特点。
这些是几何光学中常用的一些符号和法则，用于描述光线传播、折射、反射和成像等现象。
在实际应用中，通过这些符号和法则，可以进行光学系统的设计、成像分析和光线追迹等操作。
高中物理光学讲座 (4)
1.5、透镜成像（1）三条特殊光线①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。
（2）一般光线作图：对于任一光线SA ，过光心O 作轴OO ’平行于SA ，O O '与焦平面M M '交于P 点，连接AP 或AP 的反向延长线即为SA 的折射光线*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。
一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
薄透镜成像公式是：f u 111=+υ式中f 、u 、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。
若令f u x -=，f x -='υ，则有2f x x ='图1-5-1图1-5-2该式称为“牛顿公式”。
式中x 是物到“物方焦点”的距离，x '是像到“像方焦点”的距离。
从物点到焦点，若顺着光路则x 取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x '取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清x x ',的意义。
下面用牛顿公式讨论一个问题。
一个光源以v=0.2m/s 的速度沿着焦距f=20cm 的凸透镜向光心运动，当它经过距光心cm u 301=和cm u 152=的两点时，求像所在的位置及速度。
cm f u x 1011=-=，cm f u x 522-=-= 代入牛顿公式得cm x 401='，cm x 802-='，cm f x 6011=+'=υ，cm f x 6022-=+'=υ， 上述1x 、2x 、1x '、2x '意义如图1-5-2所示。
设在△t 时间内，点光源的位移为△x ，像点的位移为 x '∆，有2222)(x x x x f x x f x x ∆-∆+=∆-='∆+' 当△t →0时△x →0，略去△x 的二阶小量，有22222x xf x x x f x f x x ∆+'=∆+='∆+' x x x x x f x ∆⋅'=∆⋅='∆22 υυ⋅'=∆∆⋅'=∆'∆='x x t x x x t x将1x 、2x 、1x '、2x '的值代入，求得s m /8.01='υ，s m /2.32='υ 。
几何光学
几何光学光在球面上的反射与折射1、球面镜反射成像（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即2R f =（2）球面镜反射成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S '点，半径CA 为反射的法线，S '即S 的像。
根据反射定律，AC S SAC '∠=∠，则CA 为S SA '角A 的平分线，根据角平分线的性质有S C CSS A AS '=' ①由为SA 为近轴光线，所以O S S A '='，SO AS =，①式可改写为S C CSS O OS '=' ②②式中OS 叫物距u ，S O '叫像距v ，设凹镜焦距为f ，则 f u OC OS CS 2-=-= υ-='-='f S O OC S C 2代入①式υυ--=f f u u 22 化简 f u 111=+υ这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。
f u 111=+υ上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长 和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，u h h m υ='=由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
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几何光学中实正虚负法则的扩展应用
一、实正虚负的符号法则
在几何光学中，球面和透镜成像的符号法则是人为规定、约定俗成的，以合理和方便为准则。
现有的教材中，常用的符号法则有三种，分别是“左右法”“顺逆法”和“虚实法”，三种法则规定并不统一，各有优劣。
左右法规定：在原点右方的线段为正，左方的为负；顺逆法规定：顺入射光线的线段为正，逆入射光线者为负；虚实法规定：实物点和实像点的距离为正，虚物点和虚像点的距离为负。
虚实法是根据物、像的物理性质来规定物理量的符号，与左右法和顺逆法相比，虚实法的物理意义更加清晰，直观性强，而且与中学的相关知识更为连贯。
只要掌握了物（或像）的虚实，物距、像距的符号也就确定了；反之，掌握了物距、像距的符号，也就确定了物（或像）的虚实。
因而，现今的大学物理教材普遍采用虚实法来判断符号。
在实际应用中，虚实法主要是用来判断物距和像距的正负，物和像的虚实物理意义清晰，容易判断。
对于“物”来讲，本不应存在虚实的问题，只要是物都是实的，应取正值，但物像关系公式中规定，会聚光线入射时，将其视为虚物，取负值。
而“像”的虚实是根据该像是由实际光线会聚还是由实际光线的反向延长线会聚而成来判断，实际光线会聚的结果取正值，反之取负值。
然而物像公式中除了有物距、像距符号的判断外，还要涉及球面和薄透镜焦距或者曲率半径符号的判定。
部分教材在曲率半径符号的判断上是根据球面的种类来规定其符号，缺少明确的物理意义，与物像符号的虚实判断法并不统一。
例如，在“球面反射成像”中规定：凹面镜的曲率半径R取正；凸面镜的曲率半径R 取负（简称为凹正凸负）。
而在“球面折射成像”中则规定：当物体
面对凸面时，曲率半径R为正；当物体面对凹面时，曲率半径R 为负（简称为凸正凹负）。
除了球面的反射和折射外，还有多种透镜焦距正负的判断。
显然，这么多种涉及球面或透镜种类的判断，容易导致学生混淆而产生错误。
用球面或透镜种类来判断符号的方法不像虚实法那样具有明确而清晰的物理意义，这是学生产生错误的根源。
二、分析与建议
可以看出在虚实法则中，物距和像距的判断遵循着实正虚负的法则，物理意义清晰明确，容易掌握。
而曲率半径和焦距的判断要依靠球面和透镜的种类，还要区分球面反射和折射的情况，不但缺少明确的物理意义，判断逻辑也与物距和像距不一致，使学生受困于记忆，增加使用的难度，在实际应用时容易混淆符号，进而产生错误。
如球面反射时，曲率半径和焦距的符号可总结为“凹正凸负”；但球面折射时，焦距和曲率半径的符号为“凸正凹负”。
故我们建议将实正虚负的法则扩展至焦距或曲率半径符号的判断，来解决混淆易错，缺少物理意义的问题。
因为无论是球面还是各种类型的透镜，焦距都是由曲率半径来定义的，所以两者符号的判断是可以统一的。
又因为透镜可视为两个球面折射的组合，因此本文先将实正虚负的法则应用至球面反射和折射曲率半径符号的判断，然后推广透镜的曲率半径和焦距符号的判断。
三、论证
首先讨论球面焦距和曲率半径符号的判断方法为：使用平行光照射判断对象，经反射或折射后的实际光线汇聚于主光轴上时，像点（即焦点）为实像，根据虚实法则中“实像为正”，可得其焦距f和曲率半径R为正；用平行光照射球面，经反射或折射后的实际光线延长线汇聚于主光轴上时，像点为虚像，根据虚实法则中“虚像为负”，可得其焦距f和曲率半径R为负。
下面通过作图的方式论证上述判断。
（1）面镜反射成像。
如图1左侧所示，凸面反射的情况，反射光线的延长线可会聚于面镜的右侧的主轴上，非实际光线会聚而成，故像点为虚像，取负值。
图1右侧为凹面反射的情形，此情形下像点是由实际光线会聚而成的，故焦距f和曲率半径R取正值。
（2）面镜折射成像。
图2左侧为平行光照射凸面折射情形，显然此情形像点（即焦点）为实际光线会聚而成，故曲率半径R 和焦距f为正。
图2右侧所示平行光照射凹面折射情形，折射光线的延长线会聚面的左侧，非实际光线会聚为虚焦点，可判断出曲率半径R和焦距f为负。
根据作图验证将虚实法应用于球面反射和折射判断的结果，可将图1球面反射的结果总结为“凹正凸负”，图2球面折射的结果则可总结为“凸正凹负”。
这与高等教育出版社出版的《大学物理》中按照球面种类来判断符号的结论是一致的。
薄透镜可视为两个球面折射的组合，由于两个不同球面的组合会产生多种情况，因此薄透镜有多种类型如双凸、双凹，平凸、凹凸等，这里主要讨论大学物理中常见的双凸、双凹两种情形。
为了简单起见，假定透镜两侧折射率相同，物像关系式简化为：1s“+1s=1f
其中s为物距，s′为像距，f为焦距，焦距f决定于前后两个球面曲率半径的倒数之差1r1-1r2。
对于双凸透镜来说，从入射角度看，可视为前凸后凹的两个球面组合，按照前面讨论得到的规律“凸正凹负”，r1为正，r2为负，故1r1-1r2为正值。
而双凹透镜，可视为前凹后凸的两个球面组合，r1为负，r2为正，故1r1-1r2为负值。
其结果与实际情况相符，而其他类型的透镜也可依据此法进行判断。
四、总结
本文通过讨论，将实正虚负的法则扩展至球面和薄透镜焦距和曲率半径符号的判断，建议物理教师在教学过程中，主动地向学生阐明球面和透镜种类与虚实法之间的联系，明确物像公式中
符号的物理意义和物理图像。
这种做法有助于帮助学生避免应用物像关系中容易发生的错误，便于学生建立物理图像，明确物理意义，远离死记硬背式的学习方式。