高数第七章无穷级数知识点
无穷级数-重点和难点-精品文档
发散．如果初步估计后，再利用比较判别法的
极限形式，可以免除放大或缩小
的困难，使运算更简便．而函数
展开成幂级数常用的方法是间接展开法．
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第七章 无穷级数－重点与难点
本章的重点
无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法，交错级 数的莱布尼兹判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间，函数展开成 幂级数．
本章的难点
正项级数敛散性的比较判别法和函数展开成幂级数．其中，使 用比较判别法时，应先对 收敛，只需将 收敛；若估计 达式为 ，而 的敛散性作一个初步估计．若估计 ，而 适当缩小，使其缩小之后的表 适当放大，使其放大之后的表达式为 发散，只需将
无穷级数知识点
⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
高等数学无穷级数
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为 P2
4 3
P1
,
面积为 A2
A1
3 1 9
A1;
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题:
1、若 a n
1
3(2n 2 42n
1) ,则 5
n1
an
=____________；
369
3n
2、( 1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
(
1 23
1 33
)
1 (2n
1 3n
)
；
3、1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
2、若 a n
n! nn
5
,则
n1
an
=______________________；
3、若级数为
x 2
x 24
x 2
x 46
则a n
_______；
4、若级数为 a 2 a 3 a 4 a 5 则a n ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____
lim qn
无穷级数知识点
无穷级数知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊无穷级数这个有意思的知识点。
啥是无穷级数呢？简单来说，就是把一堆数按照一定规则加起来，不过这堆数有无穷多个呢！就好像你有无限多的糖果，然后把它们一个一个地加起来。
无穷级数有很多种类型哦。
比如说正项级数，这些数都是正数呢。
那怎么判断一个正项级数收不收敛呢？有好多方法呀！就像我们判断一件事情能不能成功一样，有各种标准。
还有交错级数，这些数一会儿正一会儿负，就像坐过山车一样起起伏伏。
对于交错级数，也有专门的判别法来看看它是不是收敛的。
那无穷级数有啥用呢？哎呀，用处可大啦！比如在数学的很多领域都能看到它的身影。
它就像是一把万能钥匙，可以打开很多知识的大门。
想象一下，如果没有无穷级数，很多数学问题就没办法解决啦，那该多可惜呀！它就像一个神奇的工具，帮助我们更好地理解和探索数学的奥秘。
在物理学中，无穷级数也常常出现呢！比如在研究一些波动现象的时候，无穷级数就能发挥大作用啦。
总之，无穷级数是数学中非常重要的一部分，它充满了魅力和神奇。
它让我们看到了数学的无限可能，让我们对知识的追求永无止境。
所以呀，大家可别小看了无穷级数哦，它真的超级厉害的！。
7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))
，
使
，于是
．令
，当 充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中 为正整数．证明此方程存
在唯一正实根 ，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根 ，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域 上可以逐项积分，即
， 且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
（A）发散．
（C）绝对收敛． 【答案】（C）．
收敛，则级数 （B）条件收敛． （D）收敛性与 有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是 ．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为
fx第七章 无穷级数.ppt
n0 n!
n0 n!
n0
2n n!
xn
2
n1
(n
1 1)!
xn
2x
n1
(n
1 1)!
x n1
2x
m0
1 m!
xm
S(x) 2xe x e x . 11
第七章 无穷级数
12.展开 f
(x)
2
3 x
x2 为x的幂级数，求收敛域．
解：f
(x)
2
3 x
x2
1 2
x
1 1 x
1 2
1
1
x
1 1 x
n1
n1
证：lim an2 n an
lim
n
an
0.
（比较极限）
4. 若级数
a
2 n
，
bn2 收敛，证明
(an bn )2 收敛．
n1
n1
n1
证：(an bn )2 an2 bn2 2anbn
2anbn an2 bn2. （比较，绝收→收）
4
第七章 无穷级数
5.若级数 an ， bn 收敛（其中 an , bn 0 ），
1
0，
1
，故
(1)n 收 敛 ．
n n ln n
n ln n
n1 n ln n
en lim(n ln n) lim ln
en lnlim
ln limen ．
n
n n
n n
n
( 1 ) n ln n
1
1
(n
n ln n)2
n1 n(n ln n)2
0．
3
第七章 无穷级数
大一高数无穷级数知识点
大一高数无穷级数知识点在大一高等数学课程中，无穷级数是一个重要的内容，具有广泛的应用。
了解无穷级数的概念、性质和收敛条件等知识点对于学好这门课程是至关重要的。
本文将介绍大一高数无穷级数的基本知识点，并对其应用进行简要探讨。
一、无穷级数的概念无穷级数是由一系列数的和构成的数列。
设a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯是一列实数，将它们相加所得的数列称为无穷级数，表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ + ⋯二、无穷级数的收敛和发散1. 收敛的定义：若一个无穷级数的部分和数列{Sₙ}收敛于某个实数S，即lim(n→∞)Sₙ = S，则称该无穷级数收敛，否则称为发散。
2. 收敛的必要条件：无穷级数收敛的必要条件是它的通项数列趋于零，即lim(n→∞)aₙ = 0。
3. 通项数列趋于零的充分条件：若无穷级数的通项数列满足aₙ≤aₙ₊₁（n≥N，N为某个自然数），则该无穷级数收敛。
三、常见的无穷级数1. 等差数列的无穷级数：若等差数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公差不为零，即aₙ₊₁ - aₙ = d ≠ 0，则其部分和数列为等差数列，即Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
若d>0并且|a₁|/(|a₁ + d| < 1，则该无穷级数收敛，反之发散。
2. 等比数列的无穷级数：若等比数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公比不为零，即aₙ₊₁/aₙ = q ≠ 0，则其部分和数列为等比数列，即Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。
当|q|<1时，该无穷级数收敛，否则发散。
四、收敛级数的运算性质1. 收敛级数的有界性：收敛级数的部分和数列有界。
2. 收敛级数的加法性：有限个收敛级数的和仍然是收敛级数。
3. 收敛级数的乘法性：若级数{aₙ}收敛，级数{bₙ}绝对收敛，则乘积级数{aₙbₙ}收敛。
五、收敛级数的应用无穷级数在数学和实际问题中有广泛的应用，以下介绍两个常见的应用：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数展开式，用于将函数表示成无穷级数的形式。
第七章 无穷级数2010
叫做级数的一般项 一般项, 称上式为无穷级数， 称上式为无穷级数， 无穷级数 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项 级数的前 n 项和
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称为级数的部分和 称为级数的部分和. 部分和 为级数的和 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
则称无穷级数发散 则称无穷级数发散 .
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判别下列级数的敛散性: 例1. 判别下列级数的敛散性
解: (1)
2 4 n +1 3 Sn = ln + ln + ln +L+ ln 1 3 n 2
= (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) +L+ (ln(n +1) − ln n)
= ln(n +1) → ∞ ( n → ∞）
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两个重要级数：
1、等比级数
q <1 q ≥1
收敛， p > 1
2、p 级数
发散 ， p ≤ 1 发散。
特殊地，p=1时，调和级数
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N ∈Z + , 对一切 n ≥ N ,
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∞ n−1 1
例如 ：∑(−1)
n=1
n
为条件收敛 .
为绝对收敛.
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定理5. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: （不要求） 设 收敛 ,
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第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如∑∞
=-11
n n aq
的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时
发散。
2、形如∑∞
=1
1
n p
n
的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。
3、⇒
≠∞
→0lim n n U 级数发散； 级数收敛
lim =⇒∞
→n n U
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞
=1
n n
U
，满足
条件l
U U n n n =+∞→1
lim
：
当1<l 时，级数收敛；
当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）；
当1=l 时，无法判断。
5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞
=1n n
U
，满足
条件λ
=∞→n n n U lim ：
当1<λ时，级数收敛；
当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；
当1=λ时，无法判断。
注：当1,1==λl 时，方法失灵。
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。
（通过不等式的放缩）
推论：若∑∞
=1
n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
均为正项级数，且
l
V U n
n
n =∞→lim
（n V 是已知敛散
性的级数) 若+∞<<l 0，则级数∑∞
=1n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
有相同的敛散性；
若0=l 且级数∑∞
=1
n n
V
收敛，则级数
∑∞
=1
n n
U
收敛；
若+∞=l 且级数∑∞
=1
n n
V
发散，则级数
∑∞
=1
n n
U
发散。
7、定义判断：若
⇒
=∞
→C S n n lim 收敛，若n
n S ∞→lim 无极限⇒发散。
8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：
满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。
9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。
条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。
二、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。
2、收敛的无穷级数
∑∞
=1
n n
U
，其和为S ，则∑∞
=1
n n
aU
，其和为aS （0≠a ）
（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。
（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散）
加括号后级数收敛，原级数未必收敛。
.。