高数课件第七章
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大一高数课件第七章 7-3-1
关于向量的投影定理（ 关于向量的投影定理（1） 投影定理
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向 量的夹角的余弦： 量的夹角的余弦： Pr ju AB =| AB | cos ϕ
证
Pr ju AB = Pr ju′ AB
=| AB | cos ϕ
A ϕ
A′
B
B′′
B′
u′ u
定理1的说明： 定理1的说明： π (1) 0 ≤ ϕ < , 投影为正； 投影为正； 2 π ( 2) < ϕ ≤ π, 投影为负； 投影为负； 2 π ( 3) ϕ = , 投影为零； 投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 相等向量在同一轴上投影相等；
例4
设有向量 P1 P2 ，已知 P1 P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴
π π 的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为(1,0,3)，求 P2 的 3 4
坐标. 坐标. 解 设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ
1 π π α = , cos α = , β = , 3 2 4
2 cos β = , 2
1 Q cos α + cos β + cos γ = 1, ∴ cos γ = ± . 2 2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3
2 2 2
x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
r 向量的坐标表达式 坐标表达式： 向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }
高等数学(工科类)第七章
a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
称为算术级数．
1
（2）等比数列各项的和
数
a1 a1q a1q2 a1qn1
项
称为等比级数，也称为几何级数．
级 数
（3）调和级数为
1 1 1 1 1 ．
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 4
1 4
1 8
1 8
1 8
1 8
数 的 基
1 3． 2
本 概
念
高等数学
数项级数
数项级数的审敛法
函数项级数与幂级数
函数展开成幂级数
第二章
第一节
第 12 页
一般地，对任意正整数k，有
Sk
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 8
1 9
1 16
1
1 2k 1 1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k．
数 项
2
2级
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sn 也无界，
高等数学（工科类）
高 等 数 学 第 七 章
高等数学
数项级数
高等数学基础第七章
研究一个随机试验E ，首先要明确试验所有可能的结果。每一个可能 的基本结果(不可分解)称为E 的基本事件，通常用ω 表示。 我们把由E 的所 有基本事件组成的集合称为E 的基本事件空间，常用Ω={ω} 表示， 在统计 学中，基本事件ω 是抽样的基本单元，故基本事件又称为样本点，基本事 件空间又称为样本空间。
若一次试验结果出现了事件A中的样本点，即当试验结果为ω1，且 ω1 ∈A时，则称事件A发生，否则称A 不发生。例如上述的掷骰子试验，若 一次试验出现了点2、4或6，则事件A 在这次试验中发生，若出现了点1、3 或5，则事件A 不发生。
样本空间Ω 包含所有的基本事件，每次试验Ω 必然会发生，因此称Ω 为必然事件。类似地我们把不包含任何基本事件的事件，记作 Ø ，它总也 不会发生，因此称为不可能事件。必然事件与不可能事件可以说并不具有 随机性，但为了今后研究上的方便，我们还是把它们作为随机事件的两个 极端情形来统一处理。
类似地，可定义n(n>2) 个事件的和：称n 个事件 A1，A2，，An 中至少有一个
发生所构成的事件为它们的和事件，记作
A1 A2 An ，简记为
n
Ai
i 1
(4)积事件：称事件A 与B 同时发生所构成的事件为A与B 的积事件，记作 A ∩B 或AB，如图7-4所示。积事件是由那些同时属于 A、B 的基本事件构 成的。例如在掷一颗骰子的试验中，若A={2,4,6}，B={3,4,5}，则AB={4}， 即只有随机试验出现4点时，A 与B 才同时发生；又如例2中，
例1 (1)抛一枚均匀的硬币，其可能出现的结果只有两种：正面、反面。若令ω1
= 正面，ω2 =反面，则 1 ,2 为该随机试验的两个样本点，Ω 1，2
【高数课件】第七章 拉普拉斯变换
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
( 2 ) L [ s g n t] 0 ( s g n t) e s td t 0 e s td t 1 s e s t0 1 s ,Re(s) 0
即 ： L[sgnt]1,Re(s)0； s
(3)L [1]estdt1est
0
s
0 1 s,
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程， 因此它对分析线性系统有重要的作用．
2020/12/25
h
10
• 例3．求 解 微 分 方 程 y ( t ) 2 y ( t ) 0 ， y ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) .
解：令 Y(s)L[y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L [y(t)2y(t)]L [0]，
证明：由定义 L[f(t)]f(t)esdt 0
f(t)e sd t f(t)e sd t
0
f(t)esdt (令t u)
f(u)es(u)du 0
es f(u)esuduesF(s). 0
2020/12/25
h
17
•
例7．
求函数 u(t ) 10,,
t 的拉氏变换． t
解：已知 L[u (t )] 1 , 由延迟性知
s
L[u(t)]es 11es.
ss
• 例8． 求函数 f(t)u(3t5) 的拉氏变换．
解：因为 u(3t5)u[3(t5)]u(t5), L[u (t )] 1
3
3
s
所以 L[u(3t5)]L[u(t5)]1e5 3s.
3s
2020/12/25
h
18
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是 [ 0 , ) 内 以 T 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 f(t)在 一 个 周 期 内
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
高数第七章
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v , =− ∂y f u + yzf v
12
例5 设φ(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程 ， 具有连续的偏导数， φ(cx－az，cy－bz)=0 － ， － ∂z ∂z + b = c. 确定的函数z=f (x,y) ，满足 a 确定的函数 证明 方法一 利用复合函数求导法则 方程的两端对x 方程的两端对 求导有
∂v ∂u x ∂x − y ∂x = − u x −y 2 2 J= =x +y , , y x ∂u ∂v y +x = −v ∂x ∂x
∂z Fx + Fz = 0, ∂x
∂z Fy + Fz = 0. ∂y
Fy Fx ∂z ∂z , . =− =− Fz Fz ∂x ∂y 注 对于 ( x1 , x 2 ,Lxn , z) = 0所确立的 F
Fxi ∂z =− Fz ∂xi
z = z( x1 , x 2 ,Lxn ),
i = 1,2,Ln.
于是有
∂z ∂z acφ + bcφ u v a +b = = c. ∂x ∂y aφ + bφ u v
14
方法二 公式法 记φ(cx－az，cy－bz)=F (x，y，z)，则 － ， － ， Fx=cφu，Fy=cφv，Fz=－aφu－bφv －
Fx cφ ∂z u =− = , Fz aφ + bφ ∂x u u
2 2
则
1 2 x + 2 y ⋅ y′ = 2 2 2 x +y
大一高数课件第七章 7-6-1
x 2 y 2 1, 是一个圆, 则交线 C 在 xoy 面上的投影为 z 0.
2 2 所求立体在 xoy 面上的投影为 x y 1.
空 间 立 体
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空 间 立 体
曲 面
例3
设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2 和 z 3( x 2 y 2 ) 锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
z 4 x2 y2 , 半球面和锥面的交线为 C : z 3( x 2 y 2 ),
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
2 2 6 、旋转抛物面 z x y ( 0 z 4 )
在 xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在 zox 面上的投影为__________.
二、画出下列曲线在第一卦限的图形： z 4 x 2 y 2 1、 x y 0 x2 y2 a2 2、 2 2 2 x z a
3 x cos t 2 3 cos t ,( 0 t 2 ) . 三、 y 2 z 3 sin t y x 2 2 2 x y a z b arcsin z b arccos a , a. 四、 , z 0 x 0 y 0 2 2 2 2 五、 x y ax; z ax a , x 0, z 0 .
R( y , z ) 0 x0 T ( x , z ) 0 y0
机动
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上页
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
列条件：
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
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x x0 x x0
x x0
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
x 0
x
三、无穷小量的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0 , x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同 ; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 （ 型）x 0 x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
无穷小与函数极限的关系:
定理 2
x x0
lim f Biblioteka x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
1 y x 1
二、无穷小量的性质
无穷小量有下列性质： 性质1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量. 性质2 常量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质3 有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质4 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. sin x 例2 求 lim x x 1 1 x sin x 1， 0 ，即 解： 由于lim 时， 为无穷小量而 x x x sin x 0 即sin x为有界变量，根据性质4，有 lim x x 1 x sin 例3 求 lim x 0 x 1 1 sin 1 解： 当 x 0 时，x 为无穷小量， x ，即sin 为有界 x 1 变量，所以有 lim x sin 0
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
1 例1 求 lim x 1 x 1
解： M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
定义 2 设函数 f ( x )在 x 0 某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数
M (不论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于
适合不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的 函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
x x0
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
x 0
x
三、无穷小量的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0 , x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同 ; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 （ 型）x 0 x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
无穷小与函数极限的关系:
定理 2
x x0
lim f Biblioteka x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
1 y x 1
二、无穷小量的性质
无穷小量有下列性质： 性质1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量. 性质2 常量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质3 有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质4 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. sin x 例2 求 lim x x 1 1 x sin x 1， 0 ，即 解： 由于lim 时， 为无穷小量而 x x x sin x 0 即sin x为有界变量，根据性质4，有 lim x x 1 x sin 例3 求 lim x 0 x 1 1 sin 1 解： 当 x 0 时，x 为无穷小量， x ，即sin 为有界 x 1 变量，所以有 lim x sin 0
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
1 例1 求 lim x 1 x 1
解： M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
定义 2 设函数 f ( x )在 x 0 某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数
M (不论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于
适合不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的 函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
绝对值无限增大的变量称为无穷大.