高数课件第七章

反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
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1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
1 例1 求 lim x 1 x 1
解： M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
x x0 x x0
x x0
定义 2 设函数 f ( x )在 x 0 某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数
M (不论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于
适合不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的 函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
x 0
x
三、无穷小量的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0 , x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同 ; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 （ 型）x 0 x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
无穷小与函数极限的关系:
定理 2
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
1 y x 1
二、无穷小量的性质
无穷小量有下列性质： 性质1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量. 性质2 常量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质3 有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量. 性质4 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. sin x 例2 求 lim x x 1 1 x sin x 1， 0 ，即 解： 由于lim 时， 为无穷小量而 x x x sin x 0 即sin x为有界变量，根据性质4，有 lim x x 1 x sin 例3 求 lim x 0 x 1 1 sin 1 解： 当 x 0 时，x 为无穷小量， x ，即sin 为有界 x 1 变量，所以有 lim x sin 0