高等数学(上)课件：高数第一章 习题课
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高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技
狄利克雷函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
高等数学课件第一章1
以，若用y 表示撑杆跳高高度，用t表示1900年以来的年
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
高等数学(上册)第一章函数、连续与极限课件
9
2.区间
第一章 函数、连续与极限
数集 x a x b 及x a x b 称为半开区间，分别记作 a,b 和 a,b (见图1-9
和图1-10）.
[a,b)
(a,b]
a
图1-9
b
x
a
图1-10
b
x
以上这些区间都称为有限区间，数 b a 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些 区间是长度为有限的线段.
与 B 的并集（简称并），记作 A B ，即 A B {x | x A 或 x B}；
A AB B
A AB B
图1-2
图1-3
5
1. 集合及其运算
第一章 函数、连续与极限
由包含于 A 但不包含于 B 的元素构成的集合（见图 1-4），称为 A 与
B 的差集（简称差），记作 A \ B ，即 A \ B {x | x A 且 x B} ；
2
课前导读
集合
具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别 对象称为集合的元素. 习惯上，用大写英文字母 A, B,C, 表示集合，
用小写字母 a,b, c, 表示集合的元素. a A 表示 a 是集 A 的元素 （读作 a 属于 A ）， a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属 于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的
集合称为空集，记为 .
3
一、 集合的概念
第一章 函数、连续与极限
我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 . 由整数的全体
构成的集合称为整数集，记为 . 用 Q 表示全体有理数构成的有理数集，R
表示全体实数构成的实数集. 显然有 Z Q R .
《高等数学》 课件 高等数学第一章
2 函数的极限
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高等数学 (上册) -01-PPT课件
3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|
当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学第一章复习课ppt课件.ppt
3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
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2. 函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 ，经有限次四则运算与复
复合而成的一个表达式的函数。
一、函 数
" "
(即 f (x) A 为无穷小)
有 2. 极限存在准则及极限运算法则
二、极 限
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x～x ;
～
～ arcsin x～ x ;
ex 1～ x ;
～
1
cos
x～
1 2
x
2
;
～
(1 x) 1～ x;
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法
第二类间断点：无穷、振荡
三、连 续
3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
练习14. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
练习15. 设函数 及可去间断点
有无穷间断点
试确定常数 a 及 b 。 0， e
三、连 续
练习16. 设函数 f (x) 定义于R，且对任意 x, y R 有
f (x y) f (x) f ( y)
若 f (x) 在x=0处连续，证明函数对一切 x R 连续。
练习17. 求
f (x) (1 x及其类型
练习18. 设f(x)是[0,1]上的连续函数，且 f (x) [0,1]
x [0,1] ，证明：在[0,1]上存在一点t，使
f (t) t
三、连 续
1. 函数连续的等价形式
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0)
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0)
第一类间断点：可去、跳跃 2. 函数间断点
➢ 无穷小、无穷大 ✓ 无穷小量乘以有界变量
✓ 极限四则运算法则
➢ 求极限的方法
✓ 复合函数极限运算法则 ✓ 两个重要极限
✓ 等价无穷小代换
✓ 利用初等函数的连续性进行运算
1. 函数的概念 定义: 设
一、函 数
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
图形:
y
y f (x)
( 一般为曲线 )
o
D
x
一、函 数
高等数学（上） 一、函数与极限(复习课)
本章知识结构
研究对象：函数
函 数
➢ 定义 ➢ 特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性 ➢ 反函数、复合函数、初等函数
与
➢ 函数的连续性与间断点
极
➢ 闭区间连续函数的性质
限
基于极限工具定义
研究工具：极限
➢ 数列极限定义、函数极限定义
➢ 极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则
二、极 限
练习9. 求下列极限：
(1) lim (sin x 1 sin
x
(2)
lim
x1
1 x 2
sin x
练习10. 确定常数 a , b , 使
x)
(3)
lim
x0
1 x 1 x
cot x
练习11. 当 x 0时, 3 x2 x 是 的几阶无穷小?
9 (1) 0 (2) 2
(3) e2
(1) f (x) cos(2arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
(2)
f (x)
ax
, ,
相同
x x
a a
与 ( x)
1a
2
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
一、函 数
❖ 初等函数
练习3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
❖ 函数的要素：定义域、对应规则、值域
练习1：下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为 什么?
(1) y 1
不是
sin x 1
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
一、函 数
练习2：下列各组函数是否相同 ? 为什么?
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
(3)
f
(x)
2, 4,
x 1 x 1
(1) x2
(2) x2 , x
(4) 1 x6 , x R
x0
(2) f (x) 11,,
x0 x0
(4)
f
(x)
1 x3 ,
1
x3
,
x0 x0
(x 1)2 (3) 3
x 1
x 1
一、函 数
❖ 分段函数与复合函数
练习7. 已知
f
(
x)
x f
3, [ f (x
5)]
,
x8 , 求 f (5) .
x8
练习8. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
6. (x) ln(1 x) , x (,0]
7. 6
8. f(x)=x2-3
二、极 限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0 为例 )
练习4：设函数
f
(x)
3x x,
1
,
x x
11,
求 f [ f (x)] .
f
[
f
(x)]
9x 4 , 3x 1,
x0 0 x 1
x ,
x 1
练习5：设
其中
求 f (x)
一、函 数
练习6. 已知 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x) 及其定义域。
10. -1,0
11. 1/6
二、极 限
练习12. 求下列极限
1
lim (1 2x 3x ) x
x
lim [
x2
]x
x (x a)( x b)
练习13. 设
a
0,
x1
0,
xn1
1 2
(
x
n
a ), n 1,2,3,... xn
（1）证明数列{xn}单调且有下界； （2）求数列{xn}的极限。