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《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
高等数学的幻灯片-5
k 1 ij3k.
1 1 0
故所求平面方程为
1（x1） 1(yo)3(z1)0 即 xy3z40
7
2019/10/9
天津商学院《高等数学课程组》
二.平面的一般方程
n={ A,B,C}
z
任意平面都可以用三元一次
方程Ax+By+Cz+D=0来表示；
任一三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的图形总是
由cos θ=|cos(n1,^n2)| 则两平面的夹角θ可由两个
向量夹角公式来确定.
四.两平面的夹角
co s |A A B B C C |
A B C A B C
θ n1
n2
Π2
θ
Π1
其中
平面Π1的法向量为 n1={A1,B1,C1} 平面Π2的法向量为 n2={A2,B2,C2}
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思考.练习.讨论
3.依条件求平面方程：
(1)平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；
(2)通过z轴和点(-3,1,-2)；
(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和
（5,1,7) .
(1).y+ 5=0;
(2).x+ 3y=0;
(3).9y- z- 2=0.
27
2019/10/9
六.点到平面的距离
已知:平面Π1的法向量为 n1={A,B,C} 平面Π1外一点 P0={x0,y0,z0} 证明： P0到平面Π1的距离为
n1
P0
P1
N
Π1
证明思路：:平面Π1上取点 P1={x1,y1,z1}则所求距离等于向量 在法向量上n1的投影.即 P P
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分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
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思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
n 把区间[a , b] 分成 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
1 sin xdx. 0
i x i
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx _________________ .
b a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
i i 1
小区间的长度x i q q
取 i q
i 1
q
i 1
(q 1) ,
，（i 1,2, , n ）
n
i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 q i 1 i
1
n
(q 1) n(q 1)
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ，( a b ) .
（1）分割
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
n 把区间[a , b] 分成 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
1 sin xdx. 0
i x i
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx _________________ .
b a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
i i 1
小区间的长度x i q q
取 i q
i 1
q
i 1
(q 1) ,
，（i 1,2, , n ）
n
i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 q i 1 i
1
n
(q 1) n(q 1)
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ，( a b ) .
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要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
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《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
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M L ( x , y )ds ; ( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
f ( x , y , z )ds
2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t )dt
( )
x a cos t , 例1 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
f ( x , y , z )ds
2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t )dt
( )
x a cos t , 例1 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
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lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 nf2 nfn n极限运算与对数运算换序得
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
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f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
又例如, y 1 x, x (0,1], f (0) 0;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
增量y的精确表达式.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
有一点(a b),使等式
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 在(a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x) f (), f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f (
x) x
f ()
0;
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b)内至少
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),