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高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
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要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
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M L ( x , y )ds ; ( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
f ( x , y , z )ds
2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t )dt
( )
x a cos t , 例1 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
f ( x , y , z )ds
2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t )dt
( )
x a cos t , 例1 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
5高等数学课件完整版详细
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 nf2 nfn n极限运算与对数运算换序得
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
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解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
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05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
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算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
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t (,)
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
y 2x 1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U
0
E
0
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
y 2x 1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U
0
E
0
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
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因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n1
定理 1. 正项级数 un 收敛
部分和序列 Sn
n1
(n 1, 2, ) 有界 .
证: “ ” 若 un 收敛 , 则 Sn收敛 , 故有界.
n1
“
” un 0 ,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn 有界, 故 Sn 收敛 , 从而 un 也收敛.
n1
21
定理2 (比较审敛法) 设 un , vn 是两个正项级数,
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
35
用LEIBNITZ 判别法判别下列级数的敛散性:
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
1 n
n
1 1
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
若存在N Z , 对一切 n N ,
(1)
un
1, n
则un 发散 ;
n1
(2)
un
1 np
( p 1), 则un 收敛 .
n1
24
例2. 证明级数
n1
证: 因为
1 n (n 1) 发散 .
1 n (n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
(n 1, 2,
)
而级数
1 n1 n 1
k 2
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
p 1, 0l
un 发散
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 收敛
27
例3. 判别级数
sin
n1
1 n
的敛散性 .
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但 1111 发散.
例4.判断级数的敛散性:
111111
21 21 31 31 41 41 解: 考虑加括号后的级数
( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )
21 21
31 31
41 41
an
1 n 1
1 2 n 1 n 1
n1 n1
且 un vn (n=1,2,3…)
则有 (1) 若级数
(2) 若级数
vn收敛 , 则级数
n1
un 发散 , 则级数
n1
un 也收敛 ;
n1
vn 也发散 .
n1
22
例1.
讨论
P
级数
1
1 2p
1 3p
的敛散性.
1 np
(常数 p > 0)
23
调和级数与 P 级数是两个常用的比较级数.
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
25
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un , vn 满足 lim
un l, 则有
n1 n1
n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 且 vn 收敛时, un 也收敛 ;
n1
n1
n1
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
(a 0)
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和 Sn a a q a q2
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
(u1 u2 ) (u3 u4 u5)
则新级数的部分和序列 m (m 1,2, )为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
lim m lim Sn S
m
n
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
(3) 当 l =∞ 且 vn 发散时, un 也发散 .
n1
n1
26
un
, vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un 也发散 .
特别取
vn
1 np
un1 un
,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
29
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
例如,
n un
p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1
lim (n1) p
n
1 np
1
p 1, 级数收敛 ;
2345
n 1
un
(1)n1
n n 1
, 其一般项为
当n 时, un不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim un 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
1 1 1 1
n1 n
23
1 n
虽然
lim un
n
lim
n
1 n
0，但此级数发散
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
)边形, 设 a0 表示
3 2n 边形面积为
a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
即
A a0 a1 a2 an
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn
1 n 1