大一高数课件第七章 7-2-1

r b
r c
（平行四边形法则有时也称为三角形法则） 平行四边形法则有时也称为三角形法则）
三角形法则可推广到多个向量相加 .
r a r r b c r a
r b
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a4
a5 a3
s
a2 a1
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结束
r r 特殊地： r 特殊地：若 a‖ b b r a
r [2] 减法 r r r a − b = a + (−b)
r b
r r a +b
r a
r r a −b
r r b a r r −b r −b c r r r c = a + (−b ) r r =a−b
三、向量与数的乘法 r r 是一个数， 设 λ 是一个数，向量 a 与 λ 的乘积 λa 规定为 r r r r (1) λ > 0, λa 与 a 同向， λa |= λ | a | | r 同向， a r r r 2a ( 2 ) λ = 0, λ a = 0 r r r r | 反向， ( 3) λ < 0, λa 与 a 反向，λa |=| λ | ⋅ | a |
一、向量的概念
向量： 既有大小又有方向的量. 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示：r 向量表示：a 或 M 1 M 2
为起点， 为终点的有向线段. 以 M 1 为起点， M 2 为终点的有向线段. r 向量的模：向量的大小. 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M M |
1 2
M2 ⋅
⋅M
1
单位向量：模长为1的向量. a 0 或 M M 0 单位向量：模长为1的向量. 1 2 r 零向量：模长为0的向量. 零向量：模长为0的向量. 0
自由向量： 不考虑起点位置的向量. 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
练习题答案
大小； 一、1、既有大小,又有方向； 既有大小,又有方向； 2、大小； 模等于零； 起点； 3、模等于 1； 4、模等于零； 5、起点； 共线向量,共面向量； 7、模相等且方向相同； 6、共线向量,共面向量； 7、模相等且方向相同； 方向相反； 的球面； 8、方向相反； 9、半径为 1 的球面； 10、 的两点； 10、距离等于r2 的两点； r r r 11、 12、 11、a 垂直于b ； 12、a 与b 同向 .
1 2 三、 D1 A = − ( c + a ) , D2 A = − ( c + a ) , 5 5 3 4 D3 A = − ( c + a ), D4 A = − ( c + a ). 5 5
试用向量方法证明： 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边 D r 形必是平行四边形. 形必是平行四边形. C r a b 证 Q AM = MC
BM = MD
A
M
B
∴ AD = AM + MD = MC + BM = BC
平行且相等, 结论得证. AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
a
r b λ = r, a
r r r r λ 的唯一性 . 设 b = λa， 又设 b = µa， r r r 两式相减， 两式相减，得 ( λ − µ )a = 0， 即 λ − µ a = 0，
r Q a ≠ 0， 故 λ − µ = 0， 即 λ = µ .
r0 r 同方向的单位向量， 设a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
向量的概念
（注意与标量的区别） 注意与标量的区别）
向量的加减法 （平行四边形法则） 平行四边形法则） 向量与数的乘法
（注意数乘后的方向） 注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线 的对角线 已知平行四边形
r r AC = a , BD = b r r 表示平行四边形四边上对应的向量. 试用 a , b 表示平行四边形四边上对应的向量
两个向量的平行关系 v r v 定理 设向量 a ≠ 0，那末向量 b 平行于 a 的充 v r 分必要条件是： 分必要条件是：存在唯 一的实数 λ ，使 b = λ a .
证
充分性显然； 充分性显然； 必要性
r r 设 b‖ a
取
r r 取正值， 当b 与 a 同向时 λ 取正值， r r r r 取负值， . 当b 与 a 反向时 λ 取负值，即有 b = λ a r r r r b r r r Q 此时 b 与 λa 同向. 且 λa = λ a = r a = b .
10、 把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 10、 始点，则终点构成____________________ ____________________； 始点，则终点构成 ____________________； r r r r r r 11、 成立， 应满足_______ 11、要使 a + b = a − b 成立，向量 a , b 应满足_______ _________________； _________________； r r r r r r 12、 成立， 应满足_______ 12、要使 a + b = a + b 成立，向量 a , b 应满足_______ ___________ .
7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 两向量___________，我们称这两个向量相等； ___________ 两个模相等、____________的向量互为逆向量 的向量互为逆向量； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 把空间中一切单位向量归结到共同的始点， 9、 把空间中一切单位向量归结到共同的始点， 则终 构成____________ ____________； 点构成____________；
分为同向和反向
r c
r r r | c |=| a | + | b |
r b
r a
r c r r r | c |= | a | − | b |
向量的加法符合下列运算规律： 向量的加法符合下列运算规律：
r r r r 交换律： （1）交换律： a + b = b + a . r r r r r r r r r 结合律： （2）结合律：a + b + c = (a + b ) + c = a + (b + c ). r r r a + ( − a ) = 0. （3） ）
思考题解答
A
D
r b
M
r a
B
C
1 r r BC = AD = AM + MD = ( a + b ). 2 1 r r DC = AB = AM + MB = ( a − b ). 2
练 习 题
填空： 一、 填空： 向量是_________的量； _________的量 1、 向量是_________的量； 向量的___________叫做向量的模； ___________叫做向量的模 2、 向量的___________叫做向量的模； ___________的向量叫做单位向量 的向量叫做单位向量； 3、 ___________的向量叫做单位向量； _____________的向量叫做零向量 的向量叫做零向量； 4、 _____________的向量叫做零向量； _____无关的向量称为自由向量 无关的向量称为自由向量； 5、 与_____无关的向量称为自由向量； 平行于同一直线的一组向量叫做_________ _________， 6、 平行于同一直线的一组向量叫做_________ ， 三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； _________；
r a
r b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量.
r −a
r −a r a
向径： 向径： 空间直角坐标系中任一点 M 与原 点构成的向量. 点构成的向量OM .
二、向量的加减法 r r r 加法： [1] 加法：a + b = c
（平行四边形法则） 平行四边形法则）
1r − a 2
数与wk.baidu.com量的乘积符合下列运算规律： 数与向量的乘积符合下列运算规律：
r r r λ 结合律： （1）结合律： ( µ a ) = µ ( λ a ) = (λµ )a r r r ( 分配律： （2）分配律： λ + µ )a = λ a + µ a r r r r λ (a + b ) = λ a + λ b
按照向量与数的乘积的规定， 按照向量与数的乘积的规定， r a r0 r r r0 a =| a | a r =a . |a| 上式表明： 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量. 一个与原向量同方向的单位向量.
r r r 1 r b − 3a 例1 化简 r a − b + 5 − b + 5 2 r r 解 r 1 r b − 3a r a − b + 5 − b + 5 2 5 1 r r r 5r = (1 − 3)a + − 1 − + ⋅ 5 b = −2a − b . 2 5 2
用向量方法证明： 二 、用向量方法证明 ：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
三 、 把 ABC 的 BC 边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 D1 , D2 , D3 , D4 ， 再 把 各 分 点 与 点 A 连 接 ， 试 以 AB = c , BC = a 表示向量 D1 A , D2 A , D3 A 和 D4 A .