(完整)高中数学极坐标与参数方程知识点,推荐文档
? 极坐标与参数方程知识点
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即
?x = ?
y = f (t ) f (t )
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：
1. 过定点（x 0，y 0），倾角为 α 的直线：
x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin
（t 为参数）
其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．
○
1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝
．
○
2 ．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 t A + t B ． 2
2. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：
x = x 0 + r cos y = y 0 + r s in
（
为参数）
3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：
x = a cos x = b cos
（为参数） （或
）
y = b sin
y = a sin
中心在点（x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程
?x = x 0 + a cos ,
?
(为参数） ? y = y 0 + b sin .
4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：
(t - t ) 2- 4t ? t B A A
B
O
?
x =a sec
y =b tg
x =b tg
（为参数）（或）
y =a s ec
5.顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
x = 2 pt 2
y = 2 pt
（t 为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P（x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是?x =x
+t cos
（t 为参数）．
0 0 （三）极坐标系?
y =y0+t sin
1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点 M，用ρ表示线段 OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点 M 的极径，θ叫做点 M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M
x
í?1
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P( ，)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（-，＋(2k + 1)），( k∈Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以
限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，-＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴=0⑵=
a
cos
⑶=-
a
cos
M
a
a
O
x
O
a M
图5 ⑷ =
a
sin
⑸
= -
a
sin
⑹ =
a
cos(-)
=
O
图2
=
a
cos
= - a
cos
图4
= a
sin
= - a
sin
= a
cos(-)
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a > 0) ：
⑴ =
a
⑵
=
2a cos ⑶ = -2a cos
⑷ = 2a sin
⑸
= -2a sin
⑹ = 2a cos(
-)
M
O
图1
= a
图2
= 2a cos
= -2a cos
图4
= 2a sin
图5
= -2a sin
图6
= 2a cos(-)
M
M
a
O
x
a
x
图3
M （，
）
O
x
图1
M
a O
图3
a
O
M （，
）
a N (a ,
)
O
p 图6
M
a
O
x
O
x
a
M
a
(a ,)
O
x
N x M
y ?x=cos
O
?
?
x +y =
H
2 2 2
?
(
5、极坐标与直角坐标互化公式：
x
（直极互化图）
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!