九年级旋转几何综合单元培优测试卷
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九年级旋转几何综合单元培优测试卷
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.已知如图1,在ABC 中,90ABC ∠=︒,BC AB =,点D 在AC 上,DF AC ⊥交BC 于F ,点E 是AF 的中点.
(1)写出线段ED 与线段EB 的关系并证明;
(2)如图2,将CDF 绕点C 逆时针旋转()
090a α︒<<︒,其它条件不变,线段ED 与线段EB 的关系是否变化,写出你的结论并证明;
(3)将CDF 绕点C 逆时针旋转一周,如果6BC =,32CF =,直接写出线段CE 的范围.
【答案】(1)ED EB =,DE BE ⊥,证明见解析;(2)结论不变,理由见解析;(3)最大值22=
最小值322
=. 【解析】
【分析】
(1)在Rt △ADF 中,可得DE=AE=EF ,在Rt △ABF 中,可得BE=EF=EA ,得证ED=EB ;然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°,可推导得出∠DEB=90°; (2)如下图,先证四边形MFBA 是平行四边形,再证△DCB ≌△DFM ,从而推导出△DMB 是等腰直角三角形,最后得出结论;
(3)如下图,当点F 在AC 上时,CE 有最大值;当点F 在AC 延长线上时,CE 有最小值.
【详解】
(1)∵DF ⊥AC ,点E 是AF 的中点
∴DE=AE=EF ,∠EDF=∠DFE
∵∠ABC=90°,点E 是AF 的中点
∴BE=AE=EF ,∠EFB=∠EBF
∴DE=EB
∵AB=BC ,
∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD中,∠DFB=360°-90°-45°-90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°-2∠EFD+180°-2∠EFB=360°-2(∠EFD+∠EFB)
=360°-2×135°=90°
∴DE⊥EB
(2)如下图,延长BE至点M处,使得ME=EB,连接MA、ME、MF、MD、FB、DB,延长MF交CB于点H
∵ME=EB,点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB,MF=AB
∴∠MHB=180°-∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a,∠CFH=90°-a
∵∠DCF=45°,∠CDF=90°
∴∠DFC=45°,△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°-∠DFC-∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF,BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC,DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB,DE⊥EB
(3)当点F在AC上时,CF有最大值,图形如下:
∵BC=6,∴在等腰直角△ABC中,AC=62∵CF=32,∴AF=32
∴CE=CF+FE=CF+1
2AF92
2
=
当点F在AC延长线上时,CE有最小值,图形如下:
同理,CE=EF-CF
32
2 =
【点睛】
本题考查三角形的旋转变换,用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质,解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形.
2.如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC,CD上,且BE=DF,点P是AF的中点,点Q是直线AC与EF的交点,连接PQ,PD.
(1)求证:AC垂直平分EF;
(2)试判断△PDQ的形状,并加以证明;
(3)如图2,若将△CEF绕着点C旋转180°,其余条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)△PDQ是等腰直角三角形;理由见解析(3)成立;理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
∠BCA=∠DCA=45°,由BE=DF,得出CE=CF,△CEF是等腰直角三角形,即可得出结论;(2)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明
∠DPQ=90°,即可得出结论;
(3)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明点A、F、Q、P四点共圆,由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,∠BCA=∠DCA=45°,
∵BE=DF,
∴CE=CF,
∴AC垂直平分EF;
(2)解:△PDQ是等腰直角三角形;理由如下:
∵点P是AF的中点,∠ADF=90°,
∴PD=AF=PA,
∴∠DAP=∠ADP,
∵AC垂直平分EF,
∴∠AQF=90°,
∴PQ=AF=PA,
∴∠PAQ=∠AQP,PD=PQ,
∵∠DPF=∠PAD+∠ADP,∠QPF=∠PAQ+∠AQP,
∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2(∠PAD+∠PAQ)=2×45°=90°,
∴△PDQ是等腰直角三角形;
(3)成立;理由如下:
∵点P是AF的中点,∠ADF=90°,