2020届高三全国高考数学理科专题训练：空间向量(无答案)

空间向量 ●

高考复习

考点知识汇集

一、空间向量的含义

1、定义：空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。

2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0

；

②模为1的向量称为单位向量；

③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。记为a

④方向相等且模相等的向量称为相等向量。 3、性质：向量具有平移不变性。

二、空间向量的坐标表示

1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。

①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i

)、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖

轴：单位长度k

)，统称为坐标轴；

②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。

3、向量P （O 为原点）的坐标记作：

= z y x ，， = k z j y i x

。

4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。

②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。 5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用

k j i ，，表示。空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，，

。

三、空间向量的直角坐标运算公式

设： 321a a a a ，，

， 321b b b b ，，

1、法则

①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，，

向量差运算： 332211b a b a b a b a ，，

数乘运算： 321a a a a ，，

数乘分配律：

b a b a

332211b a b a b a ，，

数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a ? ?

；

2a = 2

2221a a a a a ?

b a b a b a

? ? ?

②不满足乘法结合律：

b a

c b a

?? ??

2、共线向量

①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。

②定理：b a

// 存在实数，使b a

322

11b a b a b a 0321 b b b ③三点共线：A 、B 、C 三点共线

1 v x

④与a

共线的单位向量为a

3、共面向量

①定义：一般，能平移到同一平面内的向量叫共面向量。（空间任意的两向量都共面）

②定理：如果两个不共线向量a 、b ，p 与a 、b

共面的条件是：存在实数x 、y ，使

b y a x p

。

③四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面

1 z v x

4、向量垂直

b a

0332211 b a b a b a

四、空间向量的基本定理

1、定理：如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么对空间任一向量p ，存在实数组x 、y 、z ，

使c z b y a x p

。

三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{a ，b ，c }叫空间的一个基底，a 、b

、c

叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

2、推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、

v 、z ，使

。

五、空间向量的应用

★设： 111z y x A ，，， 222z y x B ，，；

= 321a a a a ，，

，

= 321b b b b ，，

★垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。 1、向量的模长

两点间距离∣∣

221221221z z y y x x

2、向量的中点坐标

的中点坐标：

222

212121z z y y x x ，，

3、定比分点公式

：则 z y x P ，，坐标为

111212121z z y y x x ，，；

存在 111z z y y x x ，， = z z y y x x 222，，。 4、向量间夹角

向量间夹角 2

22212322213

32211cos b b b a a a b a b a b a b

a b a b a ?

，

5、空间向量与立体几何

①线线夹角 900，两线的方向向量1n 、2n

的夹角或夹角的补角：

21cos cos n n

，

②线面夹角 900，：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可；

若为钝角，则取其补角：n AP

，cos sin

③面面夹角（二面角） 900，：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量1n

、

2n 的夹角；若两面的法向量同进同出，则二面角等于两法向量1n 、2n

的夹角的补角：

21cos cos n n

，

④点面距离h ：求点 00y x P ，到平面的距离：在平面上取一点 y x Q ，，得向量

，

计算平面的法向量n

，接着求h 。（线面距离、面面距离转化为点面距离求）

6、△ABC的五心

①内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。

②外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

③垂心P：高的交点。

④重心P：中线的交点，三等分点。

⑤中心P：正三角形的所有心的重合。

海选实战特训题

1-2019京理、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD//BC ，PA = AD = CD = 2，BC = 3。E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且

PC PF 。（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F-AE-P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且3

PB PG 。判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由。

1-2018苏理、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB = AA 1 = 2，点P 、Q 分别为A 1B 1、BC 的中点。

求（1）异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）直线CC 1与平面AQC1所成角的正弦值。

1-2018国理Ⅱ、如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB = BC =

AD ，∠BAD = ∠ABC = 90°，E 是PD 的中点。（1）证明：直线CE//平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角45°，求二面角M-AB-D 的余弦值。

1-2016国理Ⅰ、在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF = 2FD，∠AFD = 90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°，如图。

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值。

1-2015津理高二、如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB = 1，AC = AA 1 = 2，AD = CD =5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点。

（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角D 1-AC-B 1的正弦值；（3）设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3

，求线段A 1E 的长。

1-2013京理、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。平面ABC⊥平面AA1C1C，AB = 3，BC = 5。

（1）求证：AA1平面ABC；（2）求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1

1-2013宁、琼理、如图，已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA = 60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

1-2007川理、如图，梯形PCBM是直角梯形，∠PCB = 90°，PM//BC，PM = 1，BC = 2，又AC = 1，∠ACB = 120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°。

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M-AC-B的大小；（3）求三棱锥P-MAC的体积。

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

2013高考理科数学辅导平面向量

第四章平面向量考试要求重难点击命题展望 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景； (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义； (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系； (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 本章重点： 1.向量的各种运算； 2.向量的坐标运算及数形结合的思想； 3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用. 本章难点： 1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用； 2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用. 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值. 知识网络

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．（1）若∥，求的值；（2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，（1）求证：且；（2）设向量，，且，求实数t的值．

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示 3、多边形法则原理已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示运算律交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

高考理科数学22题逐题特训第3讲平面向量

第3讲平面向量 1.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ⊥(2a ＋b )，则k 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 A 解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，∴2a ＋b ＝(3,2＋k )， ∵a ⊥(2a ＋b )，则a ·() 2a ＋b ＝6＋2＋k ＝0，解得k ＝－8. 2.若平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且a ＝????12，3 2，||b ＝25，则||a ＋b 等于( ) A.5 B.3 2 C.18 D.25 答案 A 解析 ∵a ＝????12，3 2，∴|a |＝1，又a ·() a ＋ b ＝3?||a 2＋a ·b ＝3?a ·b ＝2， ∴(a ＋b )2＝||a 2＋2a ·b ＋||b 2＝1＋4＋20＝25， ∴|| a ＋ b ＝5. 3.如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC → ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A.－12 B.1 2 C.－14 D.14 答案 A 解析由题意知CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×????12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC → ，则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12 .

4.已知||a ＝1，||b ＝3，且a ⊥????a ＋2 3b ，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π 3 答案 B 解析 ∵ a ⊥??? ?a ＋2 3b ， ∴ a ·??? ?a ＋23b ＝0，即a 2＋2 3a ·b ＝0. 又||a ＝1，∴ a ·b ＝－3 2 ， ∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为 cos 〈a ，b 〉＝ a · b ||a ||b ＝－3 2 1×3 ＝－3 2，又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴向量a 与向量b 的夹角为 5π6 . 5.在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB |＝8，|AC |＝6，则AD →·AB → 等于( ) A.48 B.40 C.32 D.16 答案 C 解析因为点D 为斜边BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AD →·AB →＝12(AB →＋AC →)·AB → ＝12AB →2＋12AC →·AB →，又Rt △ABC 中，AC ⊥AB ，所以AD →·AB →＝12AB →2＝12 |AB →|2＝32. 6.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(－∞ ,2) C.(－2,2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的线性运算例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－【答案】：D 【解析】方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误．方法二：若同向，令＝＝，这时＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有－，故选C项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－【答案】 D

【解析】方法一：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝－方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有即,故＝－【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析；【解析】（1）由＝可知、、三点共线如图令； .即面积之比为：（2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

高考数学-平面向量专题复习

平面向量【考点例题解析】考点1.共线定理应用例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+

高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答

高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答 1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（） A. () 12a b c ++ B. () 1 2a b c -++ C. ( ) 12a b c -+ D. () 1 2 a b c +- 2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ． 34 B ．1 C ． 32 D. 3 1 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a + B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.1 2 a b - 4．在平面内，已知31==，0=?OB OA ， 30=∠AOC ，设 n m +=，（,R m n ∈），则n m 等于 A ． B ．3± C ．1 3± D ．3 ± 5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1） B ．（-3,1） C ．(3,1)- D ．（3,1） 6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）． A ．13- B ．9 C ．9- D ．13 7．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ??=?? B. a b a b -≤+ C ．若a b a c ?=?，则b c = D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.等腰梯形 C. 矩形 D.菱形 9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17- B.17 C.1 6 - D.16

届高三文科数学平面向量专题复习

2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ）第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈）； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.

2018年高考理科数学平面向量100题(含答案解析)

2018年高考理科数学平面向量100题（含答案解析） 1. 平面向量a 与b 的夹角为120?，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（）． A ．4 B ．3 C ．2 D 2. 设1e ，2e 为单位向量，满足121 2 ?=e e ，非零向量112212,,λλλλ=+∈R a e e ，则1||||λa 的最大值为（） A. 1 2 C.1 3. 已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 1 2 b =，则2a b +与b 的夹角是( ) A. 6π B. 56π C. 4π D. 34 π 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ?的值为（）． A ．1 B 1 C D 1 5. 已知Rt △ABC ，两直角边AB=1，AC=2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB=60°，设 AD =λAB +μAC （λ，μ∈R ），则 μ λ =（） A ．3 3 2 B ． 3 3 C ．3 D ．23 6. 已知和，若，则||=（） A ．5 B ．8 C ． D ．64 7. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC=3DF ，设=， =，则=（） A ． + B ． + C ． + D ． + 8.

已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（） A ． B ．± C ．± D ．± 9. 已知向量(e x ，e － x )，=(2，a)，函数f(x)= · 是奇函数，则实数a 的值为（） A ．2 B ．0 C ．1 D ．﹣2 10. 已知向量，满足||=1，||=(3，1)，· =1，则与的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．4 π D ．32π 11. 已知、是夹角为的单位向量，若= +3 ， =2 ﹣ ，则向量在方向上的投影为（） A ． B ． C ． D ． 12. 设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（） A ． B ． C ． D ． 13. 设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（） A ．2 B ． C ．3 D ． 14. 已知向量a ，b 满足a +2b =0，（ a +b ）· a =2，则a · b =（） A ．﹣2 1 B ． 2 1 C ．﹣2 D ．2 15. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3 π ，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 λ==DC NC BC BM ，其中λ∈[0，1]，则AN AM ?的取值范围是（）

高三数学平面向量专题复习

高三数学平面向量专题复习一、选择题： 1.若|a -b|=41-|a|=4,|b|=5，则a与b 的数量积为（） A ．103 B ．－103 C ．102 D ．10 2.若点P 分所成的比为43 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-73 3．若将向量a =(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4得到向量b ，则向量b 的坐标为（） A ．)22 3,22 (-- B ．)223,22( C ．)22 ,223(- D ．)22 ,22 3(- 4．在矩形ABCD 中，设1 1 AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22，当EF ⊥DE 时， |a| |b|的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．已知A （5，7），B （2，3），将AB a 按=（4，1）平移后的坐标为（） A ．（－3，－4） B ．（－4，－3） C ．（1，－3） D ．（－3，1） 6．将函数)(x f y =图象上的点P （1，0）平移至P ′（2，0），则经过这种平移后得到的新函数的解析式为（） A ．y =f(x -1) B ．y =f(x)-1 C ．y =f(x +1) D ．y =f(x)+1 7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21 ) 8．已知02=+?，则△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 9．若非零向量a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是（） A ．a +b =a -b B ．|a +b|=|a -b| C ．(a +b)(a -b)=0 D ．2(a -b)=0 10.设四边形ABCD 中，有=21 AB ，且|AD |=||，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是 A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 12．将椭圆0716********=---+y x y x 按向量a 平移，使中心与原点重合，则a 的坐标为（） A ．（2，1） B ．（－1，－2） C ．（－1，2） D ．（1，－2）二、填空题： 13.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。 14．已知为单位向量，||a =4，与的夹角为π32 ，则在方向上的投影为 . 15．已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°，且2+=，k +=2，当⊥时，

平面向量-2019年高考理科数学解读考纲

08 平面向量（九）平面向量 1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

平面向量是每年高考的必考知识点，一般以“一小”的形式呈现，多为容易或中档题.预计在2019年的高考中，仍将以“一小”的形式进行考查，命题的热点有如下四部分内容：一是给出三角形或四边形的背景，考查平面向量基本定理，难度为容易或中档；二是考查平面向量的共线或垂直的坐标表示，多是求参数的值的问题，难度为容易或中档；三是考查平面向量的数量积或夹角，难度多为中档；四是考查求平面向量的模或求模的最值，难度为中档或高档. 虽然近五年在小题中较少考查平面向量与其他知识相交汇的内容，但有关平面向量与三角函数、解析几何、基本不等式、概率等知识相交汇的内容也需给予关注，在2019年高考中有可能成为新的命题点. 考向一平面向量的线性运算样题1 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF A．B． C．D．【答案】D 故选D. 【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.利用向量的三