《初等数学研究习题解答》

《初等数学研究》习题解答

第一章数系

1.1 集合论初步·自然数的基数理论

习题1.1

1．证明集合0{|}x x >与实数集对等。

证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。

2．证明()()()A B C A B A C =

证明：()x A B C x A ?∈?∈或x B C ∈，x A ?∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈??

反过来：()()x A B A C x A B ?∈?∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x B

C ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x A B C A B C A B A C ∈??

所以()()()A B C A B A C =。

3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C 有2个元素，那么()B

A C -有几个元素？解：集合()

B A

C -如图1所示：由于

452(),(),()r C r B r B C ===，

所以32(),()r B C r C B -=-=，

从而1028(())r B

A C -=-=，即()

B A

C -有8个元素

4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。

图1C B

5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。

证明：设,,A B C 是三个有限集合，并且B

C φ=，记(),(),()a r A b r B c r C === 首先：由于B C φ=，所以A B A C φ??=，所以

其次：对于(,)(){(,)|,}a x A B C a x a A x B C ?∈?=∈∈，由于x B C ∈，那么若x B ∈，于是(,)a x A B ∈?；

若x C ∈，于是(,)a x A C ∈?，

所以总有(,){(,)|,}{(,)|,}a x a x a A x B a x a A x C A B

A C ?∈∈∈∈∈=?? 即()(())()A

C A B A C r A B C r A B A C ??????≤??

反过来：(,)a x A B A C ?∈??，那么(,)a x A B ∈?或者(,)a x A C ∈?

于是有,a A ∈x B ∈或者x C ∈，即,a A ∈x B

C ∈，所以(,)()a x A B C ∈? 即()(())()A B C A B A C r A B C r A B

A C ??????≥?? 所以()a b c ab ac +=+

6．在基数理论定义的乘法下，证明1a a ?=。

证明：设{}B φ=，则1()r B =，A 是任意有限集，并且()r A a =。

作集合：{(,)|}B A a a A φ?=∈，显然1()r B A a ?=

作对应:(,)f a a φ→，而这个对应是从B A ?到A 的一一对应，所以B A ?与A 对等，从而有：()()r B A r A ?=，即1a a ?=。

1.2 自然数的序数理论

习题1.2

1．用定义计算54+。

解：515652515167;();''''+==+=+=+==

53525278()'''+=+=+==；54535389()'''+=+=+==。

2．用定义计算34?

解：3231313336'?=?=?+=+=

3．在序数理论下，证明自然数的离散性，即不存在自然数b ，使b 介于a 与a '之间。证明：假若不然，由于a a '<，则必然是1a b a a '<<=+，