大一高数知识点与例题讲解

大一高数

函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

(){}

,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=????

2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，

∴{}a x n x =∞→lim 第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim 【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，

∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，

∴()A x f x x =→0

lim ○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim 【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，

∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，

∴()A x f x =∞

→lim 第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数()x f 无穷小?()0lim =x f

函数()x f 无穷大?()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且

()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →?=????

（()()lim 0x f x g x →∞?=????） 第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()?????+?++=+?++=--n

n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()???????∞=∞→0

lim 00b a x q x p x m n m n m n >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →????=∞?????

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值233lim 9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()

23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239

x f x x -=-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：93lim

23--→x x x

【求解示例】3x →===

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim

0=→x x x ∵??

? ??∈?2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ???

（特别地，000

sin()lim

1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★） 第二个重要极限：e x x x =??

? ??+∞→11lim （一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =??????

??

，其中()0lim >x f ） 【题型示例】求值：11232lim +∞→??

? ??++x x x x

【求解示例】

()()211121212122121122122121lim 21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞+→∞++→∞+++??????==+ ? ? ?+++????

??????????

=+=+ ? ???++??????

??????=+ ???+???

?解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x e e e e

+→∞???+??+??+→∞+→∞???+??+??+?? ?+??==== 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2

1

2- （乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3

131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为 第八节 函数的连续性

○函数连续的定义（★）

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -+→→== ○间断点的分类（P67）（★）

???∞?????）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()???+=x

a e x f x 2 ，00≥

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-?++?===??=+=??=?? 2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0

0 ∴e a =

第九节 闭区间上连续函数的性质

○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间

【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ???<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f

g C ξξ--=（10<<ξ）

4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ

第一章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数()???++=b

ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a -+'?==??'=??，()()()00001120012f e e f b f e --+?=+=+=??=??=+=?? 2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===???====?? ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程

（或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程）

【求解示例】 1．()x f y '='，()a f y a x '='=|

2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-

法线方程：()()

()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）

1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+

特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±

2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-??= ???

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数()x f 1-的导数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f

x f x -'??=??' ○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设(ln y e =，求y ' 【求解示例】

(

22arcsi y e x a e e e ''='??' ?+= ??? ? = ?

?=

解：?? ? 第四节 高阶导数

○()()()

()1n n f x f x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=????）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数

【求解示例】()1111y x x

-'==++， ()()()12111y x x --'??''=+=-?+??

， ()()()()()2311121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()1(1)(1)(1)n

n n y n x --=-?-?+！ 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）

【题型示例】试求：方程y

e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y

e x y +=两边对x 求导

即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e

e y -=-='11111 ∴切线方程：()e x e

y +--=

-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程()()

???==t y t x γ?，求22dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.()

22dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）

第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

()dx x f dy ?'=

第二章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

○引理（费马引理）（★）

○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈，

使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?=

显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ?==

()()sin 0f ?πππ==

即()()00??π==

3．∴由罗尔定理知 ()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：当1x >时，x

e e x >? 【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()x

f x e =，则对1x ?>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式()11x e e x e ξ

-=-成立， 又∵1

e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=?-， 化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x

'=+；

2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=

+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ

'=<+，∴()ln 11x x x +时，x e e x >?

第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件

A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞

）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴0?∞型（转乘为除，构造分式）

【题型示例】求值：0lim ln x x x α

→? 【求解示例】

()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'

?===?'??- ???=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x β

α→?=，其中,R αβ∈）

⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →??- ??

? 【求解示例】

200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ???

?????解： ()()()()0000

00002sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 0222L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0lim x

x x → 【求解示例】