中考数学反比例函数(大题培优 易错 难题)
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣
2),与y轴交于点C.
(1)m=________,k1=________;
(2)当x的取值是________时,k1x+b>;
(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.
【答案】(1)4;
(2)﹣8<x<0或x>4
(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).
∴CO=2,AD=OD=4.
∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,
∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,
∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,
即OD•DE=4,
∴DE=2.
∴点E的坐标为(4,2).
又点E在直线OP上,
∴直线OP的解析式是y= x,
∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).
【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,
即反比例函数解析式为y2= ,
将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),
将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,
得:,
解得:,
∴一次函数解析式为y1= x+2,
故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),
∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,
故答案为:﹣8<x<0或x>4;
【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.
2.如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点.
(1)当k=1时,求A、B两点的坐标;
(2)当k=2时,求△AOB的面积;
(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1,当k=2时,△OAB的面积记为S2,…,依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为S n,若S1+S2+…+S n= ,求n的值.
【答案】(1)解:当k=1时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+1和y= ,
解得,,
∴A(1,2),B(﹣2,﹣1)
(2)解:当k=2时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+2和y= ,
解得,,
∴A(1,3),B(﹣3,﹣1)
设直线AB的解析式为:y=mx+n,
∴
∴,
∴直线AB的解析式为:y=x+2
∴直线AB与y轴的交点(0,2),
∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4;
(3)解:当k=1时,S1= ×1×(1+2)= ,
当k=2时,S2= ×2×(1+3)=4,
…
当k=n时,S n= n(1+n+1)= n2+n,
∵S1+S2+…+S n= ,
∴ ×(…+n2)+(1+2+3+…n)= ,
整理得:,
解得:n=6.
【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解;(2)斜三角形△AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形)的面积和或差;(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.
3.心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y 随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(2)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?【答案】(1)解:设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,
把B(10,40)代入得,k1=2,
∴y1=2x+20.
设C、D所在双曲线的解析式为y2= ,
把C(25,40)代入得,k2=1000,
∴
当x1=5时,y1=2×5+20=30,
当,
∴y1<y2
∴第30分钟注意力更集中.
(2)解:令y1=36,
∴36=2x+20,
∴x1=8
令y2=36,
∴,
∴
∵27.8﹣8=19.8>19,
∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.
【解析】【分析】(1)根据一次函数和反比例函数的应用,用待定系数法求出线段AB所