矩阵理论第二章 矩阵的标准型

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例2.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个多项式
f ( x) 4 x4 2 x 3 6 x 2 5 x 9, g( x ) 2 x 2 5 x 4
求满足等式 f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ) 的多项式 q( x ), r ( x )
k ai b j x k o i jk
mn
其中k 次项的系数是
ak b0 ak 1 b1 a1 bk 1 a0 bk
i jk
ab
i
j
deg( f ( x ) g ( x )) deg f ( x ) deg g ( x )
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矩阵的相似是利用最多的一种方式 一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n （原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。 不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如
1 1 A 0 1
问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简 单情况是什么？
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2.4 l 阵的标准形
定义. 元素是 l 的多项式的矩阵称为l 矩阵，记作A(l ) 例如
2 矩阵的标准型
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

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一元多项式 因式分解定理 矩阵化简 l 阵的标准形 矩阵相似的条件 矩阵的若当标准形 矩阵的最小多项式
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2.1 一元多项式
定义.设 n 是一个非负整数，表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0
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问题：存储空间有限，文件如何化简？
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将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简 矩阵化简的种类： 矩阵合同：对n阶方阵A和B，如果存在可逆 矩阵C满足B=CTAC，就称矩阵A和B 合同。 矩阵等价：对矩阵A和B，如果矩阵B可以经 过一系列初等变换化为A，就称矩阵A和B 合等价 。
矩阵相似： n阶方阵A和B，如果存在可逆 矩阵C满足B=C-1AC，就称矩阵A和B相似。
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定义. 设l 矩阵 A(l), B(l) 满足
A(l )B(l ) B(l ) A(l ) E
称 A(l )为可逆的l 矩阵，且B(l )为A(l )的逆。 显然， A(l )可逆 | A(l ) | 为非零常数。 说明： l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系 （向下兼容性）。
在复数域上的标准分解式:
f ( x) ( x 2)( x 1)2 ( x 1 i )2 ( x 1 i )2
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2.3 矩阵化简
文件在计算机中存储方式：二进制代码 特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等） 黑白：0-1矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑 白照片，占用空间为1024*980*1/8= 122.5kb 。 彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色 分级为0-255，一个像素占用1*3个字节，全为0 表示黑色，全为255表示白色； 如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用空 间为1024*980*8*3/8= 2940 kb。
2l 1 l 1 l 2 A(l ) l l l 1 l2 l3 l 1 l2
0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 2 3 l 0 0 0 l 0 1 0 l 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x )
并且q(x)和 r(x)是唯一的， 其中degr ( x) deg g( x) 或 r ( x) 0 若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式， 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。
(4) 消去律： 若 f ( x )h( x ) g( x )h( x ), h( x ) 0
则 f ( x) g( x)
(5) 单位元: 1 f ( x) f ( x)
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带余除法
定理2.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式， 且 g(x) ≠0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得
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运算规律:
(1) 交换律：f ( x) g( x) g( x) f ( x) (2) 结合律: ( f ( x) g( x))h( x) f ( x)( g( x)h( x)) (3) 分配律: f ( x)( g( x) h( x)) f ( x) g( x) f ( x)h( x)
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2x2 4 x 3 2 x2 5 x 4 4 x 4 2 x 3 6 x 2 5 x 9 4 x 4 10x 3 8 x 2
8 x 3 14x 2 5 x 9 8 x 3 20x 2 16x 6 x 2 11x 9
6 x 2 15x 12 4x 3
次数不小于1的实系数多项式在实数域上
可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。 实系数多项式 f ( x) an x n an1 x n1 标准分解式为
f ( x) an ( x r1 )n1 ( x rs )ns ( x2 p1 x q1 )m1 ( x 2 pt x qt )mt
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x )
q( x) 2 x 2 4 x 3
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r( x) 3 x 3
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2.2 因式分解定理
h( x ) F [ x] 定义. 设 f ( x ) , g( x )，
若h(x)既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公因式。 若h(x)既是 f(x)的倍式，又是 g(x)的倍式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公倍式。
(3) 分配律： l ( f ( x ) g( x )) l f ( x ) l g( x )
(4) 单位元？？ : 1 f ( x) f ( x)
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多项式乘法
f ( x ) g( x )
an bm xn m (an bm1 an1bm ) xn m1 (a1b0 a0 b1 ) x a0 b0
a0 的
其中 ni 和 mi是正整数，且 n1
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ns 2m1
2mt n
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例 求
f ( x) x 7 4 x 6 x 5 2 x 4 12x 3 8 x 2 4 x 8
的标准分解式。 在实数域上的标准分解式:
f ( x) ( x 2)( x 1)2 ( x 2 2 x 2)2
使得d(x)是 f(x)和 g(x)的一个最大公因式，
并且 d ( x) u( x) f ( x) v( x) g( x),
其中u( x ), v( x ) F[ x].
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不可约多项式
定义. 设 p( x ) F[ x] ，若 p( x ) 在数域F上只有平凡因式， 则称 p( x ) 为域 F上的不可约多项式， 否则，称 p( x ) 为域F上的可约多项式。
称为数域F上的一元多项式，
其中a0，a1， , an F
特别地， 0 称为零多项式 .
F[ x] { f ( x) | f ( x)是数域F上的一元多项式 }
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定义. 设 f ( x ) , g( x ) F [ x]
f ( x) an xn an1 x n1
g( x) bm xm bm1 xm1
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运算规律:
(1) 交换律：f ( x) g( x) g( x) f ( x) (2) 结合律: ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x))
(3) 零元素： f ( x) 0 f ( x)
(4) 负元素: f ( x) ( f ( x)) 0
复系数多项式 f ( x) an x n an1 x n1 标准分解式为 f ( x) an ( x r1 )n1 ( x r2 )n2 其中 ni 是正整数，且 n1 n2
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a0 的
( x rk )ns
ns n
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实系数多项式的因式分解定理：
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数乘多项式
kf ( x) kan x n kan1 x n1
kai x i
i 0 n
ka1 x ka0
运算规律:
(1) 结合律： (l) f ( x) l ( f ( x)) (2) 分配律: (l ) f ( x) lf ( x) f ( x)
r1 r2 f ( x) ap1 ( x) p2 ( x) rs ps ( x)
称为标准分解式。
其中a 是 f(x)的首项系数， pi ( x) 是首项系数为１的 不可约多项式，而 ri 是正整数 (i 1, 2,
, s)
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因式分解定理
复系数多项式的因式分解定理：
次数不小于1的复系数多项式在复数域上 可唯一地分解成一次因式的乘积。
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设 f ( x ) , g( x ), d ( x ) F [ x] ，并且满足:
(1) d ( x )是 f ( x)与 g( x)的公因式；
(2) f ( x )与 g( x )的公因式都是 d ( x )的因式；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最大公因式。
设 f ( x ) , g( x ), d ( x ) F [ x] ，并且满足:
注意：(1) 一次多项式总是不可约多项式； (2) 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。 例如，x 2 2 ( x 2 i )( x 2 i )
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因式分解唯一性定理
定理. 数域F上任一个次数不小于1的多项式 f(x)都可以 唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。 其唯一性是指，若有两个分解式
a1 x a0
b1 x b0
若其同次项的系数都相等，即 ai bi , i 0 则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
若 an 0, 则称an x n 为 f ( x) 的首项， an为首项系数，
n 称为 f ( x)的次数， 记作deg f ( x) 或 f ( x). 零多项式次数定义为 0.
(1) d ( x )是 f ( x)与 g( x)的公倍式；
(2) f ( x )与g( x )的 公 倍 式 都 是 d ( x )的 倍 式 ；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最小公倍式。
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定理2.2.1 设 f ( x ) , g( x ) F[ x], 则存在d ( x) F[ x],
f ( x ) p1 ( x) p2 ( x) ps ( x)
q1 ( x)q2 ( x)
qt ( x)
则 s = t , 并且经过对因式的适当排序后有 pi ( x) ci qi ( x), i 1, 2, , s 其中 ci , i 1, 2,
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, s 为非零常数。
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分解式
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多项式加法
为了方便起见，设 n m, bn bm1 0
f ( x ) g( x )
(an bn ) xn (an1 bn1 ) xn1
(ai bi ) x i
i 0 n
(a1 b1 ) x (a0 b0 )
deg( f ( x ) g( x )) max{deg f ( x ),deg g( x )}