2021届高三数学就月份月考试卷

2020秋高三年级第一学期10月学情检测 数学试题

一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上．

1．已知集合{}0,1,2A =，{}2,4,6B =，则集合A

B 中元素的个数是 ▲ ．

2．命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++≤”的否定是 ▲ ．

3．已知复数2

i 1i z a =++(i 是虚数单位)，若z 是实数，则实数a 的值是 ▲ ．

4

．函数()f x =的定义域是 ▲ ． 5．若函数2

()21

x

f x m =

++为奇函数，则实数m = ▲ ． 6．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝1

(,1sin )2

θ+，若a ∥b ，则锐角θ= ▲ ．

7．在等差数列{}n a 中，已知2d =，2040S =，则13519a a a a ++++的值为 ▲ ．

8．函数2,1

()(2),1x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩

，则2(log 7)f 的值是 ▲ ．

9．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，π

3

C =，则ABC ∆的面积= ▲ ．

10．定义在区间[0,3π]上的函数y =cos2x 的图象与y =sin x 的图象的交点个数是 ▲ ． 11．如图，在ABC ∆中，三个内角分别为A B C 、、，3,6,AB AC ==角A 的平分线AD 的长

为2，则A ∠的大小为 ▲ ．

12． 如图，在△ABC 中，

1

2

AD BE CF DB EC FA ===，2BC DE ⋅=-，1CA EF ⋅=-， 则=AB FD ⋅ ▲ ．

13．已知函数211()2e e x x f x x x --=-++，则不等式(4)(12)f x f x ->+的解集是 ▲ ． 14．设函数()(21)e x f x x ax a -=+--，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x >，则实数a 的取

值范围是 ▲ ．

A

B D

C

（第11题图）

B

E

（第12题图）

二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15． (本小题满分14分)

已知向量(cos ,1)2

x =-m ，2(3sin ,cos )22x x

=n ，设函数()1f x =⋅+m n ．

（1）求()f x 的单调增区间；

（2）若α是锐角，11()10f α=，求tan(2)3

π

α-的值．

16．(本小题满分14分)

设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题q ：实数x 满足3

02

x x -≤-．

（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；

（2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．

17．(本小题满分14分)

已知定义在R 上的函数()f x 、()g x ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且

1()()2x f x g x ++=．

（1）求出函数()f x 与()g x 的解析式；

（2）若函数2()()()219h x g x mf x m =+--在区间（0,2）存在零点，求实数m 的 取值范围．

18．(本小题满分16分)

为了美化校园，要对校园内某一区域作如下设计，如图，已知1000AB m =，1000BC m =，2

3

ABC π∠=，在边BC 上选一点P ，沿着AP 和CP 重新栽种花木，图中阴影部分铺上

草坪．AP 段栽种花木费用是每米3a 元，CP 段栽种花木费用是每米2a 元，其中a 是正常数．设PAB θ∠=．

（1）求栽种花木费用y 关于θ的函数表达式； （2）求sin θ的值,使得栽种花木费用y 最小．

19． (本小题满分16分)

已知函数2()ln 2f x x kx x =-+.

A

C

B

P （第18题图）

（1）若4k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；

（3）若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，且k 的最小值是m ，求证：2029

m ≤<．

20．(本小题满分16分)

已知数列{}n a 满足：(1)2

n n n n a

S a =-+，*N n ∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，a 为非零常数．

（1）已知31a =，求a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当1a =时，4

21

13log 1n n b a -=-，将数列{}n b 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n c ，

且12c b =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n c ．