人教版九年级数学上册 旋转几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级数学上册 旋转几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy

规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.

（1）连接OP ，求线段OP 的长；

（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，

【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（

32

，3）或（6，12）． 【解析】

【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ

=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；

（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角

形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．

【详解】

解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，

∵AP∥OB，

∴∠PAC=60

θ=︒，

∵PC⊥OA，

∴∠PCA=90°，

∵点P的斜坐标是()

3,6，

∴OA=3，AP=6，

∴

1 cos60

2

AC

AP

︒==，

∴3

AC=，

∴22

6333

PC=-=，336

OC=+=，

在Rt△OCP中，由勾股定理，得

22

6(33)37

OP=+=；

（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：

由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，

∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，

∴∠COP=∠BOQ，

∵OB=OC=6，

∴△COP≌△BOQ（SAS）；

∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，

∴∠EBQ=60°，

∵EQ∥OC，

∴∠BEQ=60°，

∴△BEQ是等边三角形，

∴BE=EQ=BQ=3，

∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，

∵点Q在第四象限，

∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；

（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：

由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，

∴点D为OP的中点，

∵点P的坐标为（3，6），

∴点D的坐标为（3

2

，3）；

②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，

∵∠COJ=60°，

∴△OCJ是等边三角形，

∴∠CJN=120°，

作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：

∵CJ=JN ，∠CJD=∠NJD ，JP=JP ，

∴△CJD ≌△NJD （SAS ），

∴∠JCD=∠JND=90°，

则由角平分线的性质定理，得CD=ND ；

过点D 作DI ∥x 轴，连接DJ ，

∵∠DJN=∠COJ=60°，

∴OI ∥JD ，

∴四边形OJDI 是平行四边形，

∴ID=OJ=JN=OC=6，

在Rt △JDN 中，∠JDN=30°，

∴JD=2JN=12；

∴点D 的斜坐标为（6，12）；

综合上述，点D 的斜坐标为：（

32

，3）或（6，12）． 【点睛】

本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．

2．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．

（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；

（2）证明：DF BQ QF +=；

（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当2x =-+//QF CE ；

AQF S ∆4=-+．

【解析】

【分析】

（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；

（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明

()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．

【详解】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，

∵BP BQ =，

∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，

∴45BPQ ∠=︒，

∴135APQ ∠=︒

∵CE 平分DCM ∠，

∴45DCE ECM ∠=∠=︒，

∴135QCE ∠=︒，

∴135APQ QCE ∠=∠=︒，

∵AQ QE ⊥，

∴90AQB CQE ∠+∠=︒．

∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．

∴BAQ CQE ∠=∠．

∴()APQ QCE ASA ∆≌．

（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．

∴QA QE =．

∵90AQE ∠=︒，

∴AQE ∆是等腰直角三角形，

∴45QAE ∠=︒．