10质点动力学基本方程
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10000 3 0.02 346.4 m/s 代入式（2）得 r 式（4）代入（3） ，得
式（4） ， （5）代入（1） ，得
（4）
r 2 3 200 3 0.02 10000 (0.02) 2 10000 3 0.003 79.96 m/s 2 （5） 87.7 m/s 2 y 由质点动力学方程 F mg m y ) 5000(9.8 87.7) 488 kN 所以 F m( g y
v 12 m/s ，内、外轨道间的距离为 b 1.6 m 。 解：取列车为研究对象，设其质量为m，列车受重力mg，轨道约束反力F N 作用，图(a)为其 质心受力和运动分析图。 将 F ma 分别向 x 轴和 y 轴方向投影：
FN sin ma FN cos mg 0
a Mx
设水平槽对M的反力为F N ，圆槽对M的反力为F，则
F cos 30 ma Mx F
2 2 ma Mx 0.2 1.232 0.284 N 3 3 10-9 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当 r 10000 m 、 60 、 0.02 rad/s 且 0.003 rad/s 2 时，火箭的质量为
FN mg ma y FN m( g e 2 sin t )
1）物块对导板的最大压力
FN m( g e 2 )
2）要使物块不离开导板，则应有
FN min m( g e 2 ) 0
即 故
g e 2
max
g e
10-5 为了使列车对铁轨的压力垂直于路基，在铁道弯曲部分，外轨要比内轨稍为提高。试 就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h 。轨道的曲率半径为 300 m ，列车的速度为
（1） （2）
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由几何关系知
tan
且
h b h2 v2
2
（3） （4）
a
代入已知数据解得
78.4 mm ( g ) 2 v 4 10-7 销钉 M 的质量为 0.2 kg，水平槽杆带动，使其在半径为 r 200 mm 的固定半圆槽内 运动。设水平槽杆以匀速 v 400 mm/s 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉 M 的作用力。 解：以水平槽为动系，速度分析如图 (a ) ， ve v ve v 0.4 2 va cos 30 3 3 2
在上列解答中消去时间 t 即得到质点的轨迹方程
x2 k y2 1 2 m v0 2 x0
轨迹为一个椭圆，圆心在（0，0） ，长短半轴分别为x 0 和 v0
m 。 k
10-13 图示一质点带有负电荷e，其质量为m，以初速度v O 进入强度为H的均匀磁场中，该速 试求质点的运动轨 度方向与磁场强度方向垂直。 设已知作用于质点的力为 F e(v H ) ， 迹。 提示：解题时宜采用在自然轴上投影的运动微分方程。 解：取质点为研究对象，其受力与运动分析如图，选图示坐标系 mnt，质点在 mnt 平面内， 也就是速度 v 与力 F 决定的平面内运动。写出质点沿 t 及 n 轴的运动微分方程
第十章
质点动力学基本方程
10-1 一质量为 m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 r ，如图所示。设 物体与转台表面的摩擦系数为 f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。 解：取物体 m 为研究对象，受力和运动分析如图(a)，当转速达到最大时，摩擦力也达最大：
F fFN 将 F ma 向 x 轴和 y 轴方向投影得 F ma （1） FN mg 0 （2）
10-11 图示质点的质量为 m，受指向原点 O 的力 F=kr 作用，力与质点到点 O 的距离成正 比。如初瞬时质点的坐标为 x x0 , y 0 ，而速度的分量为 v x 0, v y v0 。试求质点的轨 迹。 解：取质点 m 为研究对象，建立如图所示直角坐标系 Oxy，质点受力 F=-kr 作用。根据
其中
2 a r max
代入式（1） 、 （2）解得
Fra Baidu bibliotek max
最大转速
fg r
30 30 fg max r/ min π π r 10-3 半径为 R 的偏心轮绕 O 轴以匀角速度 转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。 导板顶部放有一质量为 m 的物块 A ，设偏心距 OC e ，开始时 OC 沿水平线。求： （1）物 nmax
受力与加速度分析如图(b)，
h
v 2b
va2 0.4 2 4 v2 1.07 m/s 2 a 3 0.2 3 r r 4 n t aM aM ar
n M
向铅直方向投影，得
n t aM sin 30 a M cos 30 0 t aM n aM 0.616 m/s 2 3 n t aM cos 30 a M sin 30 0.9238 0.3079 1.23 m/s 2
5000 kg。求此时的喷射反推力 F。 解：此题为已知运动求力。 用极坐标与直角坐标系描述运动的变换关系
y r sin r sin r cos y cos r cos r sin 2 （1） y rsin 2r 约束条件 x r cos 5000 m （常数） 0，r r cos r sin r tan 故 （2） x 2 sin r cos r sin 0 x r cos 2r 2 r tan r 所以 （3） r 2 tan r 2 由已知， r 10000 m ， 60 时， 0.02 rad/s ， 0.003 rad/s
m
dv 0 dt v2 m evH
（1） （2）
由式（1）解得 代入式 2）得
v 常量 v0 mv 0 eH
所以质点运动轨迹为由进入磁场位置起的半径为
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mv0 的圆弧。 eH
块对导板的最大压力； （2）使物块不离开导板的 最大值。 解：建立如图所示直角坐标系 Oxy，导板与物块均沿 y 轴线作直 线运动，导板作平动，其运动规律为
y R e sin t
对时间求二阶导数得
a y e 2 sin t
物块 A 受重力 mg 和导板的约束反力 FN 作用如图 (a ) 。 物块对导板的压力与 FN 等值、 反向、 共线。 由图(a)得物块 A 的运动微分方程在 y 轴的投影式为
F ma
将其向 x 和 y 轴投影，得
x kx m y ky m x t 0 xO , y t 0 0,
解此两个微分方程，并注意到初始条件
t 0 0 x t 0 v0 y
得到微分方程的解为
k t x x0 cos m y v m sin k t 0 k m
10000 3 0.02 346.4 m/s 代入式（2）得 r 式（4）代入（3） ，得
式（4） ， （5）代入（1） ，得
（4）
r 2 3 200 3 0.02 10000 (0.02) 2 10000 3 0.003 79.96 m/s 2 （5） 87.7 m/s 2 y 由质点动力学方程 F mg m y ) 5000(9.8 87.7) 488 kN 所以 F m( g y
v 12 m/s ，内、外轨道间的距离为 b 1.6 m 。 解：取列车为研究对象，设其质量为m，列车受重力mg，轨道约束反力F N 作用，图(a)为其 质心受力和运动分析图。 将 F ma 分别向 x 轴和 y 轴方向投影：
FN sin ma FN cos mg 0
a Mx
设水平槽对M的反力为F N ，圆槽对M的反力为F，则
F cos 30 ma Mx F
2 2 ma Mx 0.2 1.232 0.284 N 3 3 10-9 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当 r 10000 m 、 60 、 0.02 rad/s 且 0.003 rad/s 2 时，火箭的质量为
FN mg ma y FN m( g e 2 sin t )
1）物块对导板的最大压力
FN m( g e 2 )
2）要使物块不离开导板，则应有
FN min m( g e 2 ) 0
即 故
g e 2
max
g e
10-5 为了使列车对铁轨的压力垂直于路基，在铁道弯曲部分，外轨要比内轨稍为提高。试 就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h 。轨道的曲率半径为 300 m ，列车的速度为
（1） （2）
96
由几何关系知
tan
且
h b h2 v2
2
（3） （4）
a
代入已知数据解得
78.4 mm ( g ) 2 v 4 10-7 销钉 M 的质量为 0.2 kg，水平槽杆带动，使其在半径为 r 200 mm 的固定半圆槽内 运动。设水平槽杆以匀速 v 400 mm/s 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉 M 的作用力。 解：以水平槽为动系，速度分析如图 (a ) ， ve v ve v 0.4 2 va cos 30 3 3 2
在上列解答中消去时间 t 即得到质点的轨迹方程
x2 k y2 1 2 m v0 2 x0
轨迹为一个椭圆，圆心在（0，0） ，长短半轴分别为x 0 和 v0
m 。 k
10-13 图示一质点带有负电荷e，其质量为m，以初速度v O 进入强度为H的均匀磁场中，该速 试求质点的运动轨 度方向与磁场强度方向垂直。 设已知作用于质点的力为 F e(v H ) ， 迹。 提示：解题时宜采用在自然轴上投影的运动微分方程。 解：取质点为研究对象，其受力与运动分析如图，选图示坐标系 mnt，质点在 mnt 平面内， 也就是速度 v 与力 F 决定的平面内运动。写出质点沿 t 及 n 轴的运动微分方程
第十章
质点动力学基本方程
10-1 一质量为 m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 r ，如图所示。设 物体与转台表面的摩擦系数为 f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。 解：取物体 m 为研究对象，受力和运动分析如图(a)，当转速达到最大时，摩擦力也达最大：
F fFN 将 F ma 向 x 轴和 y 轴方向投影得 F ma （1） FN mg 0 （2）
10-11 图示质点的质量为 m，受指向原点 O 的力 F=kr 作用，力与质点到点 O 的距离成正 比。如初瞬时质点的坐标为 x x0 , y 0 ，而速度的分量为 v x 0, v y v0 。试求质点的轨 迹。 解：取质点 m 为研究对象，建立如图所示直角坐标系 Oxy，质点受力 F=-kr 作用。根据
其中
2 a r max
代入式（1） 、 （2）解得
Fra Baidu bibliotek max
最大转速
fg r
30 30 fg max r/ min π π r 10-3 半径为 R 的偏心轮绕 O 轴以匀角速度 转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。 导板顶部放有一质量为 m 的物块 A ，设偏心距 OC e ，开始时 OC 沿水平线。求： （1）物 nmax
受力与加速度分析如图(b)，
h
v 2b
va2 0.4 2 4 v2 1.07 m/s 2 a 3 0.2 3 r r 4 n t aM aM ar
n M
向铅直方向投影，得
n t aM sin 30 a M cos 30 0 t aM n aM 0.616 m/s 2 3 n t aM cos 30 a M sin 30 0.9238 0.3079 1.23 m/s 2
5000 kg。求此时的喷射反推力 F。 解：此题为已知运动求力。 用极坐标与直角坐标系描述运动的变换关系
y r sin r sin r cos y cos r cos r sin 2 （1） y rsin 2r 约束条件 x r cos 5000 m （常数） 0，r r cos r sin r tan 故 （2） x 2 sin r cos r sin 0 x r cos 2r 2 r tan r 所以 （3） r 2 tan r 2 由已知， r 10000 m ， 60 时， 0.02 rad/s ， 0.003 rad/s
m
dv 0 dt v2 m evH
（1） （2）
由式（1）解得 代入式 2）得
v 常量 v0 mv 0 eH
所以质点运动轨迹为由进入磁场位置起的半径为
98
mv0 的圆弧。 eH
块对导板的最大压力； （2）使物块不离开导板的 最大值。 解：建立如图所示直角坐标系 Oxy，导板与物块均沿 y 轴线作直 线运动，导板作平动，其运动规律为
y R e sin t
对时间求二阶导数得
a y e 2 sin t
物块 A 受重力 mg 和导板的约束反力 FN 作用如图 (a ) 。 物块对导板的压力与 FN 等值、 反向、 共线。 由图(a)得物块 A 的运动微分方程在 y 轴的投影式为
F ma
将其向 x 和 y 轴投影，得
x kx m y ky m x t 0 xO , y t 0 0,
解此两个微分方程，并注意到初始条件
t 0 0 x t 0 v0 y
得到微分方程的解为
k t x x0 cos m y v m sin k t 0 k m