专题3.5 指数与指数函数(精讲)(解析版)

专题3.5 指数与指数函数

【考纲要求】

1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 3.了解指数函数的变化特征.

4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.

【知识清单】

1．根式和分数指数幂 1．n 次方根

2.根式

(1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质： ①(n a )n ＝a .

②n a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

a ，n 为奇数，

|a |，n 为偶数. 3.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m

n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是

a

－

m

n ＝

1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象和性质

(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【考点梳理】

考点一根式、指数幂的化简与求值

【典例1】（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（）A．347

a a a

⋅=B．()326

a a

-=C a

=Dπ

=-【答案】AD

【解析】

34347

a a a a

+

==，故A正确；

当1

a=时，显然不成立，故B不正确；

a

=，故Cπ

=-，D正确，

故选AD.

【典例2】计算：(21

4

)

1

2−(−9.6)0−(8

27

)

2

3+(3

2

)

−2

．

【答案】

1

2

.

【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.

详解：(21

4

)

1

2−(−9.6)0−(8

27

)

2

3+(3

2

)

−2

=(

9

4

)

1

2

−1−(

2

3

)

3×23

+(

2

3

)

2

=

3

2

−1

=1

2

． 【规律方法】

化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序． 【变式探究】

1.计算：1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.25＋6

【答案】110

【解析】原式＝1

1313

3

2344

22 22232108110

33⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

＋＋－.

2.计算：1

3

32-

⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148________.

【答案】2

【解析】原式＝13

23⎛⎫ ⎪⎝⎭

×1＋

34

2

×

14

2

－13

223⎛⎫= ⎪⎝⎭

. 【易错提醒】 1.根式：

（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根． （2）n 0＝0(n ＞1，且n ∈N *)． （3）有限制条件的根式化简的步骤

2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

3.把根式n a m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m

n 进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8a 2，a ∈R ，化成分数指数幂应为a 2

8

，a ∈R ，而

a 14

＝4a ，则有a ≥0，所以化简时，必须先确定a

的取值范围．

4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

考点二：根式、指数幂的条件求值

【典例3】已知x +x −1=3 ，则x 3

2+x −3

2的值为__________． 【答案】2√5 【解析】

题意(x 1

2+x −1

2)2=x +2+x −1=5，∴x 1

2+x −1

2=√5，

∴x 32+x −32=(x 1

2+x −1

2)(x −1+x −1)=√5(3−1)=2√5，

故答案为2√5．

【典例4】已知1

1

223a a -+=，求下列各式的值.

（1）1

1

a a -+；（2）2

2

a a -+；（3）221

1

1

a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.

【解析】（1）将1

1

223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=. （2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=.

（3）由（1）（2）可得2211471 6.171

a a a a --+++==+++

【总结提升】

根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；

（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、

立方和（差）公式的应用，如(x 1

2+x −1

2)2=x +2+x −1，(x +x −1)2=x 2+2+x −2，x 32+x −3

2=(x 1

2+x −1

2)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形． 【变式探究】

设1

1

223x x -+=，求1x x -+ 的值． 【答案】7 【解析】