高三一轮专题复习基本不等式及其应用(有详细答案)

§7.3 基本不等式及其应用

1.基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R ).

(4)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4

.(简记：和定积最大)

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2.

( × ) (2)ab ≤(a ＋b 2

)2

成立的条件是ab >0.

( × )

(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π

2)的最小值等于4.

( × ) (4)x >0且y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件.

( × ) (5)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值为2a .

( × ) (6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).

( √ ) 2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1

x －1，下列叙述正确的是

( )

A.函数f (x )有最小值2

B.函数f (x )有最大值2

C.函数f (x )有最小值3

D.函数f (x )有最大值3

答案 C

3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是

( )

A.a 2＋b 2>2ab

B.a ＋b ≥2ab

C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b

≥2 答案 D

解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a

b

≥2

b a ·a b

＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1

y 的最大值为

( )

A.2

B.32

C.1

D.12

答案 C

解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1

y ＝log 3a ＋log 3b

＝log 3ab ≤log 3⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1

y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |

b

取得最小值. 答案 －2

解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋

|a |

b

≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b

的 最

小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34

，此时⎩⎪⎨⎪⎧

b 4|a |＝|a |b

，a <0，

即a ＝－2.

题型一 利用基本不等式求最值

例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y 的最小值为________；

(2)当x >0时，则f (x )＝2x

x 2＋1

的最大值为________.

思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1

y 中的

“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1

解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y

＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x

y 时，取等号.

(2)∵x >0，∴f (x )＝

2x x 2＋1＝2x ＋1x

≤2

2

＝1， 当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时取等号.

思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.

(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.

(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(y

x

＋x )的最小值为________.

(2)已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.

答案 (1)4 (2)3