高三第一轮复习17----不等式、推理与证明训练题
高考数学一轮复习 数列 不等式 推理与证明质量检测 文(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 数列 不等式 推理与证明质量检测 文（含解析）新人教A 版时间：90分钟 分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lg x ，lg y ，lg z 成等差，必有2lg y ＝lg x ＋lg z 得y 2＝xz .故前者为后者的充分条件，但y 2＝x ·z ，y <0，x <0，z <0时，lg x ，lg y ，lg z 没有意义，故前者不是后者的必要条件，选A.答案：A2．(2013·辽宁六校联考)公比为q 的等比数列{a n }的各项为正数，且a 2a 12＝16，log q a 10＝7，则公比q ＝( )A.12B. 2 C ．2D.22解析：∵a 10＝a 4q 6＝q 7，∴a 4＝q ，又a 27＝a 2a 12＝a 4a 10＝16，∴q 8＝16，q 2＝2，q ＝2，故选B.答案：B3．(2013·东北三校第二次联考)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：等比数列中，a 3·a 5＝a 1·a 7，∴a 7＝14，a 4＋a 7＝2×98，∴a 4＝2，得q ＝12，a 1＝16，S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31，选C.答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30a 1＋6d ＝10，a 7＝10 S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝130，故选C.答案：C5．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D6．(2012·辽宁卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D7．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C8．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D9．(2013·浙江五校第二次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥1x ＋2y ≤4x ＋my ＋n ≥0，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是( )A ．－32B ．－2C ．2D.12解析：在坐标平面内画出线性约束条件所表示的可行域，欲使可行域为直角三角形，可得m ＝1时，可与直线x －y ＝1垂直，此时求出⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y ＋n ＝0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋n ＝0x ＋2y －4＝0的解，由直角三角形的面积为54，可求得n ＝－32，故选A.答案：A10．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋2)，当x >1时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由f (－x )＝－f (x ＋2)知函数y ＝f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时f (x )单调递增可知当x <1时函数f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1， 则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴f (x 1)>f (2－x 2)．∵f (2－x 2)＝－f (x 2)．∴f (x 1)>－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)>0. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝a 8＋5，S 6＝a 7＋a 9－5，则公差d 等于________．解析：a 6＝S 6－S 5＝a 7＋a 9－5－(a 8＋5) ＝a 7＋a 9－a 8－10，∴a 6－a 7＝a 9－a 8－10，∴－d ＝d －10，∴d ＝5. 答案：512．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.故填8πr 3.答案：8πr 313．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.法二：令z ＝x ＋y .界点定值，同法一先画出可行域，这时把边界点O (0,0)，A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，52，C (4,0)代入目标函数z ＝x ＋y 可得z A ＝1，z B ＝73，z C ＝4，比较可得z max ＝4.答案：414．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0,2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .16．(满分12分)(1)解不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)；(2)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1； 当a ＝1时，解集为Ø； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. (2)法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时， f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．17．(满分13分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意得f (x )＝36x·4＋k ·20x .由x ＝4时，f (x )＝52，得k ＝1680＝15.∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．18．(满分13分)(2013·浙江省重点中学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项之和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3.解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， 所以，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项12，于是a n 2n ＝12＋(n －1)d ＝12＋(n －1)·1＝n －12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n.(2)∵S n ＝12·21＋32·22＋52·23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n∴2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1以上两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝21－2n1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n－3， S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ，∴S n2n >2n －3.。
2017年高考数学一轮总复习达标训练：第六章 不等式、
6.2 一元二次不等式及其解法一、选择题1．下列不等式中解集为R 的是( )A ．－x 2＋2x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<02．(2015·郑州质检)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )3．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－35或a ＞1B ．－35＜a ＜1 C ．－35＜a ≤1或a ＝－1 D ．－35＜a ≤1 4. 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或85．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A.3125B.3833C.65D.3126解析：1．C 2.C 3.D 4.D 5.C二、填空题6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，若不等式|a ＋b |－|2a －b |≤|a |·f (x )对任意a 、b ∈R 且a ≠0恒成立，则实数x 的范围是________.导学号74780045答案：6．[－4，3] 7.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤－32或x ≥32三、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解析：∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. ①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－a 4，或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜a 3，或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜－a 4，或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜a 3，或x ＞－a 4.10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .11．(2015·浙江台州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围；(3)是否存在这样的实数a ，b ，c 及t 使得函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]？若存在，求出t 的值及函数y ＝f (x )的解析式；若不存在，请说明理由．导学号74780046解析：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a >1，a <0且c a>1， ∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8×c a＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ， ∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．(3)假设存在满足题意的实数a ，b ，c 及t ，∵f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝a ⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫1－b a x －c a ＝a ⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫1＋a ＋c a x －c a ＝a []x 2＋（2＋t ）x －t (t >1)， ∴f (x )的对称轴为x ＝－1－t 2<－32. ∴f (x )在[－2，1]上的最小值为f (1)＝3a ＝－6，则a ＝－2. 要使函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]，只要f (x )max ＝12即可．①若－1－t 2≤－2，即t ≥2，f (x )max ＝f (－2)＝12， 则有6t ＝12，∴t ＝2.此时，a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2，∴f (x )＝－2x 2－8x ＋4.②若－1－t 2>－2， ∴1<t <2，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1－t 2＝t 2＋8t ＋42＝12. ∴t ＝2或t ＝－10，舍去．综上所述，当a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2时，函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]，此时函数的解析式为f (x )＝－2x 2－8x ＋4.。
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明考点集训理
第六章 不等式、推理与证明考点集训(三十七) 第37讲 不等式的性质与基本不等式1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．84．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xyA ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．下列各函数中，最小值为4的个数为①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x；④y ＝log 3x ＋4log x 3.A ．4B ．3C ．2D ．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4 C.92 D.1127．函数y ＝9sin 2x＋4sin 2x 的最小值是________．8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是______________．9．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．假定当天所买饲料当天用，不需保管与其他费用．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)，问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？考点集训(三十八) 第38讲 简单不等式的解法1．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c ＝ A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶12．“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1，0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0]4．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－124，1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－124∪[1，＋∞) C ．(0，1] D ．[－24，1)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．6．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是____________．8．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．9．设a >0，b >0，函数f (x )＝ax 2－bx －a ＋b . (1)若b >2a ，求不等式f (x )<f (1)的解集；(2)若f (x )在[0，1]上的最大值为b －a ，求b a的取值范围；(3)当x ∈[0，m ]时，对任意的正实数a ，b ，不等式f (x )≤(x ＋1)|2b －a |恒成立，求实数m 的取值范围．考点集训(三十九) 第39讲 含参变量不等式问题1．已知log a 25＜1，则a 的取值范围是A ．0＜a ＜25 B ．a ＞1C ．0＜a ＜25或a ＞1D ．a ＞522．关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0(a ＜0)的解集是 A ．{x|5a ＜x ＜－a } B ．{x|－a ＜x ＜5a }C ．{x|x ＜5a 或x ＞－a }D ．{x|x ＞5a 或x ＜－a }3．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1，4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜b )，若对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立，则A ＝a ＋b ＋c b －a的最小值为________．5．设a ，b ∈R ，关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2，若a ＝b ，则不等式的解集为________；若a ≠b ，则不等式的解集为____________．6．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．8．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．考点集训(四十) 第40讲 简单的线性规划问题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝A ．8B ．7C ．6D ．52．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为A.18B.14C.34D.783．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是 A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．24．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－15．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．496．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，1037．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．8．已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．考点集训(四十一) 第41讲 不等式的应用1．若直线x a ＋y b＝1(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 C ．(0，8] D ．[8，＋∞)2．已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)，若不等式f (x )<4的解集是空集，则A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m ≤4D ．m ≤23．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．已知函数f (x )＝x (1＋a|x|)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为 A.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－525．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4346．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________．7．若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝a －2x ＋1.(1)当a ＝4，解不等式f (x )>3x ；(2)若函数g (x )＝f (2x)是奇函数，求a 的值；(3)若不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.考点集训(四十二) 第42讲 合情推理与演绎推理1．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋12．记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d ≠0，若对小于2 017的正整数n ，都有S n ＝S 2 017－n 成立，则推导出a 1 009＝0.设等比数列{b n }的公比q ≠1，若对于小于23的正整数n ，都有T n ＝T 23－n 成立，则A ．b 11＝1B ．b 12＝1C ．b 13＝1D ．b 14＝13．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝A ．1 011×2 016B ．1 011×2 015C ．1 011×2 014D ．1 010×2 0174．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ A ．504 B ．1 008 C ．0 D ．2 0165．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为______________．6．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________．7．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________________．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)．(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的关系式．9．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列； (3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点集训(四十三) 第43讲 直接证明与间接证明1．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则 A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的条件是 A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1C ．a ＞1，0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜1 5．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______________． 7．求使x ＋y ≤a x ＋y (x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°.(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°.(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋1a3>a2＋1a2成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．考点集训(四十四) 第44讲 数学归纳法及应用1．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则当n ＝k＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上A.12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋24．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，第一步应验证的不等式是______________．6．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝________________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n＝______________．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．9．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．第37讲 不等式的性质与基本不等式【考点集训】1．C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.13 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 9．【解析】(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417.当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． (2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．∵y ′2＝－300x2＋3，∴当x ≥25时，y ′2>0，即函数y 2在[25，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝25时，y 2取得最小值为390.而390<417，∴该厂可以接受此优惠条件． 第38讲 简单不等式的解法【考点集训】1．B 2.A 3.B 4.A 5.(－∞，8] 6.1 7.{x|0<x<2}8．【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x<12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.9．【解析】(1)求不等式f(x)<f(1)，即f(x)<0， 即(x －1)(ax ＋a －b)<0，当b>2a 时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b －a a .(2)∵a>0，b>0，∴ba>0，①当0<b 2a <12时，即0<b<a 时，f(0)＝b －a<0＝f(1)，不符合题意，②当b 2a ≥12时，即b ≥a 时，f(0)＝b －a ≥0＝f(1)，符合题意，∴b a ≥1，∴ba的取值范围是[1，＋∞)．(3)①当2b ≥a 时，不等式即为：ax 2－bx －a ＋b ≤(2b －a)x ＋2b －a ，整理得：ax 2－(3b －a)x －b ≤0，即：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －1x －b a ≤0.令t ＝b a ，则t ≥12，所以不等式即x 2－(3t －1)x －t ≤0，即(3x ＋1)t －x 2－x ≥0，由题意：对任意的t ≥12不等式恒成立，而3x ＋1>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1；②当2b<a 时，同理不等式可整理为：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a x －2＋3b a ≤0，令t ＝b a ，则0<t<12，所以不等式即x 2－(1－t)x －2＋3t ≤0，即(x ＋3)t ＋x 2－x －2≤0，由题意：对任意的0<t<12不等式恒成立，而x ＋3>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1； 综合①②得：0<m ≤1. 第39讲 含参变量不等式问题【考点集训】1．C 2.C 3.C 4.3 5.R {x |0≤x ≤1} 6.327.(－∞，22－1) 8．【解析】(1)由已知Q ＝{x |ax 2－2x ＋2＞0}，若P ∩Q ≠∅，则说明在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使不等式ax 2－2x ＋2＞0成立，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使a ＞2x －2x 2成立．令u ＝2x －2x 2，则只需a ＞u min ，又u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，从而u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12，∴a ＞－4， ∴a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，则方程ax 2－2x ＋2＝4，即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，分离a 与x ，得a ＝2x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2. ∵a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2，∴32≤a ≤12.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. 9．【解析】(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0，⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，就是要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.第40讲 简单的线性规划问题【考点集训】1．C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.21 8．【解析】(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a 的取值范围是－18<a<14.故a 的取值范围是(－18，14)．9．【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64. 第41讲 不等式的应用【考点集训】1．D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.327.(－∞，－2]8．【解析】(1)当a ＝4时，f(x)＝4－2x ＋1，不等式f(x)>3x ⇔4－2x ＋1>3x ⇔3x 2－x －2x ＋1<0⇔（3x ＋2）（x －1）x ＋1<0，解得x<－1或－23<x<1.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或－23<x<1. (2)g(x)＝f(2x)＝a －22＋1，其定义域是R .∵函数g (x )是奇函数，∴对任意实数x ，有g (－x )＝－g (x )恒成立，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1，∴a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0，即2a －22－x ＋1－22x ＋1＝0，2a －2·2x1＋2x －22x＋1＝0， ∴2a －2＝0， 解得a ＝1.(3)不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a －2x ＋1<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a <x ＋2x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，设函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，则h (x )＝(x ＋1)＋2x ＋1－1≥2（x ＋1）×2x ＋1－1＝22－1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝2－1时等号成立，∴函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)的最小值是22－1，∴a <22－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，22－1)．9．【解析】(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0，1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x>0，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e x x ＋1(1＋e －2)．由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，故1－x －x ln x ≤1＋e －2.设φ(x )＝e x－(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)．因此，对任意x >0，g (x )<1＋e －2.第42讲 合情推理与演绎推理【考点集训】1．B 2.B 3.B 4.C 5.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC6．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2127．2x －y －2＝0 8．【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)由f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …得f(n ＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3， …f(n －1)－f(n －2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n －1)＝4·(n－1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)] ＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n 2－2n ＋1.9．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0.矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18，∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0， ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n .当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立． 要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n >－12 ⇔λ<201－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －18.令f (n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，则 当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12， λ的取值范围为(－∞，－6)． 第43讲 直接证明与间接证明【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．【解析】设u ＝x ＋y x ＋y＝（x ＋y ）2x ＋y＝x ＋y ＋2xyx ＋y ＝1＋2xy x ＋y.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)， ∴2xyx ＋y≤1，即1＋2xy x ＋y≤2，∴a 的最小值为 2. 8．【解析】①选择(2)式计算如下sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 9．【解析】(1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3()a －1()a 5－1，因为a>1，所以1a3()a －1()a 5－1>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a ＞1”适当放宽．理由如下：由于a －1与a 5－1对于任意的a>0且a ≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a ≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a ≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知： 若a>0且a ≠1，m>n>0，则有a m＋1a m >a n ＋1an .证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n()a m －n －1－1a m ()a m －n －1＝1am ()a m －n －1()a m ＋n－1， 若a>1，则由m>n>0得a m －n －1>0，a m ＋n－1>0，知不等式成立；若0<a<1，则由m>n>0得a m －n －1<0，a m ＋n－1<0知不等式成立． 第44讲 数学归纳法及应用【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.A5．1＋12＋13<26.13n ＋13n ＋1＋13n ＋27.2n－12n －1 8．【解析】(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2. 即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．9．【解析】(1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b （b －1）b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2），由均值不等式2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．。
2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明考点集训 理.
第六章 不等式、推理与证明考点集训(三十七) 第37讲 不等式的性质与基本不等式1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．84．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xyA ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．下列各函数中，最小值为4的个数为①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x；④y ＝log 3x ＋4log x 3.A ．4B ．3C ．2D ．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4 C.92 D.1127．函数y ＝9sin 2x＋4sin 2x 的最小值是________．8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是______________．9．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．假定当天所买饲料当天用，不需保管与其他费用．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)，问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？考点集训(三十八) 第38讲 简单不等式的解法1．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c ＝ A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶12．“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1，0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0]4．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x 的不等式x 2－x －6a <0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－124，1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－124∪[1，＋∞) C ．(0，1] D ．[－24，1)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x <1，x 13x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．6．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是____________．8．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．9．设a >0，b >0，函数f (x )＝ax 2－bx －a ＋b . (1)若b >2a ，求不等式f (x )<f (1)的解集；(2)若f (x )在[0，1]上的最大值为b －a ，求b a的取值范围；(3)当x ∈[0，m ]时，对任意的正实数a ，b ，不等式f (x )≤(x ＋1)|2b －a |恒成立，求实数m 的取值范围．考点集训(三十九) 第39讲 含参变量不等式问题1．已知log a 25＜1，则a 的取值范围是A ．0＜a ＜25 B ．a ＞1C ．0＜a ＜25或a ＞1D ．a ＞522．关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0(a ＜0)的解集是 A ．{x|5a ＜x ＜－a } B ．{x|－a ＜x ＜5a }C ．{x|x ＜5a 或x ＞－a }D ．{x|x ＞5a 或x ＜－a }3．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1，4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜b )，若对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立，则A ＝a ＋b ＋c b －a的最小值为________．5．设a ，b ∈R ，关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2，若a ＝b ，则不等式的解集为________；若a ≠b ，则不等式的解集为____________．6．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．8．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．考点集训(四十) 第40讲 简单的线性规划问题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝A ．8B ．7C ．6D ．52．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为A.18B.14C.34D.783．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是 A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．24．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－15．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为A ．5B ．29C ．37D ．496．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，1037．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．8．已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．考点集训(四十一) 第41讲 不等式的应用1．若直线x a ＋y b＝1(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 C ．(0，8] D ．[8，＋∞)2．已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)，若不等式f (x )<4的解集是空集，则A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m ≤4D ．m ≤23．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．已知函数f (x )＝x (1＋a|x|)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为 A.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－525．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4346．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________．7．若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝a －2x ＋1.(1)当a ＝4，解不等式f (x )>3x ；(2)若函数g (x )＝f (2x)是奇函数，求a 的值；(3)若不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.考点集训(四十二) 第42讲 合情推理与演绎推理1．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋12．记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d ≠0，若对小于2 017的正整数n ，都有S n ＝S 2 017－n 成立，则推导出a 1 009＝0.设等比数列{b n }的公比q ≠1，若对于小于23的正整数n ，都有T n ＝T 23－n 成立，则A ．b 11＝1B ．b 12＝1C ．b 13＝1D ．b 14＝13．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝A ．1 011×2 016B ．1 011×2 015C ．1 011×2 014D ．1 010×2 0174．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ A ．504 B ．1 008 C ．0 D ．2 0165．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为______________．6．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________．7．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________________．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)．(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式，并根据你得到的关系式求f (n )的关系式．9．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列； (3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点集训(四十三) 第43讲 直接证明与间接证明1．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若实数a ，b 满足a ＋b<0，则 A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的条件是 A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1C ．a ＞1，0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜1 5．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是______________． 7．求使x ＋y ≤a x ＋y (x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值．8．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°.(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°.(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(1)求证：当a>1时，不等式a3＋1a3>a2＋1a2成立．(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由．(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．考点集训(四十四) 第44讲 数学归纳法及应用1．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则当n ＝k＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上A.12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋24．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，第一步应验证的不等式是______________．6．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝________________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n＝______________．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．9．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．第37讲 不等式的性质与基本不等式【考点集训】1．C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.13 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 9．【解析】(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417.当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． (2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．∵y ′2＝－300x2＋3，∴当x ≥25时，y ′2>0，即函数y 2在[25，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝25时，y 2取得最小值为390.而390<417，∴该厂可以接受此优惠条件． 第38讲 简单不等式的解法【考点集训】1．B 2.A 3.B 4.A 5.(－∞，8] 6.1 7.{x|0<x<2}8．【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x<12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.9．【解析】(1)求不等式f(x)<f(1)，即f(x)<0， 即(x －1)(ax ＋a －b)<0，当b>2a 时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b －a a .(2)∵a>0，b>0，∴ba>0，①当0<b 2a <12时，即0<b<a 时，f(0)＝b －a<0＝f(1)，不符合题意，②当b 2a ≥12时，即b ≥a 时，f(0)＝b －a ≥0＝f(1)，符合题意，∴b a ≥1，∴ba的取值范围是[1，＋∞)．(3)①当2b ≥a 时，不等式即为：ax 2－bx －a ＋b ≤(2b －a)x ＋2b －a ，整理得：ax 2－(3b －a)x －b ≤0，即：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －1x －b a ≤0.令t ＝b a ，则t ≥12，所以不等式即x 2－(3t －1)x －t ≤0，即(3x ＋1)t －x 2－x ≥0，由题意：对任意的t ≥12不等式恒成立，而3x ＋1>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1；②当2b<a 时，同理不等式可整理为：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a x －2＋3b a ≤0，令t ＝b a ，则0<t<12，所以不等式即x 2－(1－t)x －2＋3t ≤0，即(x ＋3)t ＋x 2－x －2≤0，由题意：对任意的0<t<12不等式恒成立，而x ＋3>0，∴只要t ＝12时不等式成立即可，∴x 2－12x －12≤0，∴－12≤x ≤1，而x ∈[0，m]，∴0<m ≤1； 综合①②得：0<m ≤1. 第39讲 含参变量不等式问题【考点集训】1．C 2.C 3.C 4.3 5.R {x |0≤x ≤1} 6.327.(－∞，22－1) 8．【解析】(1)由已知Q ＝{x |ax 2－2x ＋2＞0}，若P ∩Q ≠∅，则说明在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使不等式ax 2－2x ＋2＞0成立，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使a ＞2x －2x 2成立．令u ＝2x －2x 2，则只需a ＞u min ，又u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，从而u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12，∴a ＞－4， ∴a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，则方程ax 2－2x ＋2＝4，即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，分离a 与x ，得a ＝2x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2. ∵a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2，∴32≤a ≤12.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. 9．【解析】(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0，⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，就是要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.第40讲 简单的线性规划问题【考点集训】1．C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.21 8．【解析】(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a 的取值范围是－18<a<14.故a 的取值范围是(－18，14)．9．【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64. 第41讲 不等式的应用【考点集训】1．D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.327.(－∞，－2]8．【解析】(1)当a ＝4时，f(x)＝4－2x ＋1，不等式f(x)>3x ⇔4－2x ＋1>3x ⇔3x 2－x －2x ＋1<0⇔（3x ＋2）（x －1）x ＋1<0，解得x<－1或－23<x<1.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或－23<x<1. (2)g(x)＝f(2x)＝a －22x ＋1，其定义域是R .∵函数g (x )是奇函数，∴对任意实数x ，有g (－x )＝－g (x )恒成立，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1，∴a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0，即2a －22－x ＋1－22x ＋1＝0，2a －2·2x1＋2x －22x＋1＝0， ∴2a －2＝0， 解得a ＝1.(3)不等式f (x )<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a －2x ＋1<x 在[0，＋∞)上恒成立⇔a <x ＋2x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，设函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)，则h (x )＝(x ＋1)＋2x ＋1－1≥2（x ＋1）×2x ＋1－1＝22－1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝2－1时等号成立，∴函数h (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)的最小值是22－1，∴a <22－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，22－1)．9．【解析】(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0，1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x>0，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于1－x －x ln x <e x x ＋1(1＋e －2)．由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．所以h (x )的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，故1－x －x ln x ≤1＋e －2.设φ(x )＝e x－(x ＋1)．因为φ′(x )＝e x －1＝e x －e 0，所以x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1. 所以1－x －x ln x ≤1＋e －2<e xx ＋1(1＋e －2)．因此，对任意x >0，g (x )<1＋e －2.第42讲 合情推理与演绎推理【考点集训】1．B 2.B 3.B 4.C 5.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC6．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2127．2x －y －2＝0 8．【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)由f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …得f(n ＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3， …f(n －1)－f(n －2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n －1)＝4·(n－1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)] ＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n 2－2n ＋1.9．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0.矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18，∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0， ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n .当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立． 要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n >－12 ⇔λ<201－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n －18.令f (n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，则 当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12， λ的取值范围为(－∞，－6)． 第43讲 直接证明与间接证明【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.a ≥0，b ≥0且a ≠b 7．【解析】设u ＝x ＋y x ＋y＝（x ＋y ）2x ＋y＝x ＋y ＋2xyx ＋y ＝1＋2xy x ＋y.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ≥2xy(当且仅当x ＝y 时，等号成立)， ∴2xyx ＋y≤1，即1＋2xy x ＋y≤2，∴a 的最小值为 2. 8．【解析】①选择(2)式计算如下sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 9．【解析】(1)a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3()a －1()a 5－1，因为a>1，所以1a3()a －1()a 5－1>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a ＞1”适当放宽．理由如下：由于a －1与a 5－1对于任意的a>0且a ≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a ≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a ≠1.(3)根据(1)、(2)的证明，可推知： 若a>0且a ≠1，m>n>0，则有a m＋1a m >a n ＋1an .证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n()a m －n －1－1a m ()a m －n －1＝1am ()a m －n －1()a m ＋n－1， 若a>1，则由m>n>0得a m －n －1>0，a m ＋n－1>0，知不等式成立；若0<a<1，则由m>n>0得a m －n －1<0，a m ＋n－1<0知不等式成立． 第44讲 数学归纳法及应用【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.A5．1＋12＋13<26.13n ＋13n ＋1＋13n ＋27.2n－12n －1 8．【解析】(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k ＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2. 即当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．9．【解析】(1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b （b －1）b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2），由均值不等式2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．。
高三数学不等式推理与证明训练试题集
高三数学不等式、推理与证明训练试题集一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列符合三段论推理形式的为A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.答案：C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.答案：D4．已知ai，bi∈Ri＝1,2,3，…，n，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为A．1 B．2 C．n2 D．2n解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.答案：A5．在下列函数中，最小值是2的是A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1x＞0C．y＝sinx＋1sinx，x∈0，π2D．y＝7x＋7－x解析：A中x的取值未限制，故无最小值．D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为A．－6 B．6 C．－5 D．5解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×－2＝6.答案：B7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是A．2 B．22 C．4 D．5解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.答案：C8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是A．－∞，－1 B．－1,2C．－∞，－1∪2，＋∞ D．2，＋∞解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．若k＞0，将阴影部分的点如0,0代入y≤kx－1－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝kx－1－1是过定点1，－1的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是11a＜1b； 2a3＞b3；3a2＋1＞b2＋1; 42a＞2b.A．23 B．13 C．34 D．24解析：∵a、b符号不定，故1不正确，3不正确．∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故2正确．∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故4正确.答案：D10．设函数fx＝－3 x＞0，x2＋bx＋c x≤0，若f－4＝f0，f－2＝0，则关于x的不等式fx≤1的解集为A．－∞，－3]∪[－1，＋∞ B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪0，＋∞ D．[－3，＋∞解析：当x≤0时，fx＝x2＋bx＋c且f－4＝f0，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f－2＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，fx＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪0，＋∞.答案：C11．若直线2ax＋by－2＝0a＞0，b＞0平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得x－12＋y－22＝11，若2ax＋by－2＝0平分圆，∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝3＋2ba＋ab≥3＋2 2baab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.答案：C12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的’距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5 km处 B．4 km处C．3 km处 D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x ，y2＝0.8xx为仓库到车站的距离，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是 .解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an＝a1＋a2＋…＋an－1a1＋1a2＋…＋1an＝a11－qn1－q－1a11－1qn1－1q＝a11－q41－q－q1－qna11－qqn≥0，∴a11－qn1－q≥q1－qna11－qqn.因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.答案：516．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx∈13，2，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.答案：－83，32三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．17．10分在三角形中有下面的性质：1三角形的两边之和大于第三边；2三角形的中位线等于第三边的一半；3三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；4三角形的面积为S＝12a＋b＋crr为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长．请类比出四面体的有关相似性质．解析：1四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2四面体的中位面过三条棱的中点的面的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]3四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；4四面体的体积为V ＝13S1＋S2＋S3＋S4rr为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积．18．12分已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.解析：b2a＋a2b－a＋b＝b2a－a＋a2b－b＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝a－ba＋b1b－1a＝1aba－b2a＋b，∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．12分为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x＝4－k2t＋1k 为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分．1将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；2该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：1由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－6＋12x－t＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t＝27－182t＋1－tt≥0．2由1知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时，等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….1求a1，a2；2猜想数列{Sn}的通项公式．解析：1当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是a1－12－a1a1－1－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得 a2＝16.2由题设Sn－12－anSn－1－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由1得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….21．12分设二次函数fx＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立．1求f1的值；2求fx的解析式；解析：1由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立，即x≤fx≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f1≤12＋12＝1，故f1＝1.2由函数零点为－1得f－1＝0，即a－b＋c＝0，又由1知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.又fx－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为fx－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥116①于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，得ac≤c＋a22＝116②故ac＝116，且a＝c＝14，故fx的解析式是fx＝14x2＋12x2＋12x＋14.22．12分某少数民族的刺绣有着悠久的，下图1、2、3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5；2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn的关系，并根据你得到的关系式求fn的表达式．解析：1∵f1=1，f2=5，f3=13，f4=25，∴f5=25+4×4=41.2∵f2-f1=4=4×1，f3-f2=8=4×2，f4-f3=12=4×3，f5-f4=16=4×4，由上式规律得出fn+1-fn=4n.∴fn-fn-1=4n-1，fn-1-fn-2=4n-2，fn-2-fn-3=4n-3，…f2-f1=4×1，∴fn-f1=4[n-1+n-2+…+2+1]=2n-1n，∴fn=2n2-2n+1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
2017年高考数学一轮总复习达标训练：第六章 不等式、
6.1 不等关系与不等式一、选择题1．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关2．已知a ，b ，c ，d 为实数，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则在a ，b ，c ，d 中( )A ．有且仅有一个为负B ．有且仅有两个为负C ．至少有一个为负D ．都为正数3．若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1，0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 5．(2015·湖南长沙联考)已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：①a c 2＞b c 2⇒a ＞b ；②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b ；③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b；④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a )＞log b 11－a.其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：1．B 2.C 3.A 4.A 5.C二、填空题6．若－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3，则(a －b )·c 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b ＞0是f (x )＞0在[0，1]上恒成立的________________条件．(选填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)8．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，则lg x 33y的取值范围为________． 答案：6．(－6，4) 7.必要不充分 8.⎣⎡⎦⎤2615，3三、解答题9．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围．解析：∵15<b <36，∴－36<－b <－15.又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)．∵136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b <4，即a b的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4.10．(1)设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. (2)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e （a －c ）2＞e （b －d ）2.证明：(1)∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0，∴1a －b ＋1c －a＞0. 又b －c ＞0，∴1b －c ＞0，∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. (2)∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0.又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0，∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1（a －c ）2＜1（b －d ）2. 又∵e ＜0，∴e （a －c ）2＞e （b －d ）2.11．(1)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小．(2)已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2.试比较a ，b ，c 的大小.导学号74780044 解析：(1)∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0.而a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n. ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝⎛⎭⎫a c n <⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫b c 2.∴a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .(2)∵bc >a 2>0，∴b ，c 同号．又a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a>0.∴c >0. 由(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，∴b －c ≥0.当b －c >0，即b >c 时，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2＋c 22a ，bc >a 2⇒a 2＋c 22a ·c >a 2⇒(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0. ∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0.∴a －c <0，即a <c ，则a <c <b .当b －c ＝0，即b ＝c 时，∵bc >a 2，∴b 2>a 2，即b ≠a . 又∵a 2－2ab ＋c 2＝(a －b )2＝0⇒a ＝b 与a ≠b 矛盾，∴b －c ≠0.综上，可知a <c <b .。
【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)
【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)【高三】高三数学不等式、推理与证明测试(含答案)2022高三三章数学题综合测试题（11）不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.如果a、B、C∈ 如果已知R，那么下列命题中正确的一个是（）a．若a>b，则ac2>bc2b．若ac>bc，则a>bc、如果A3>B3，ab<0，则1A>1BD。
如果A2>B2，ab>0，则1A<1b解析 c 当c＝0时，可知选项a不正确；当c<0时，可知b不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立；当a<0且b<0时，可知d不正确．2.如果设置a={XX-2≤ 3，X∈ r} ，B={YY=1-x2，X∈ r} ，然后∩ B=（）a．[0,1]b．[0，＋∞)c、 [-1,1]d。
解析 c 由x－2≤3，得－1≤x≤5，即a＝{x－1≤x≤5}；b＝{yy≤1}．故a∩b＝[－1,1]．3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”。
验证n=1时，左边计算的公式为（）a．1b．1＋2c、 1＋2＋22d.1＋2＋22＋23解析 d 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.4.如果x，y，Z∈ R+已知，且XYZ（x+y+Z）=1，（x+y）（y+Z）的最小值为（）a．1b．2c、 3d.4解析 b ∵(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y×1xyz＋xz＝1xz＋xz≥21xzxz＝2，当且仅当xz＝1，y(x＋y＋z)＝1时，取“＝”，∴（x＋y）（y＋z）in＝2。
5．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )a、 2ab－1－a2b2≤0b.a2+b2－1－a4+b42≤0c.a＋b22－1－a2b2≤0d．(a2－1)(b2－1)≥0分析d，因为A2+b2-1-a2b2≤ 0（A2-1）（b2-1）≥ 0，选择D6．对于平面α和共面的直线、n，下列命题为真命题的是( )a、如果⊥ α，⊥ n、然后n‖αb.如果‖α，n∥ α、然后‖nc．若α，n∥α，则∥nd．若、n与α所成的角相等，则∥n解析C对于平面α和共面直线，N，真命题是“如果”α，N∥ α、然后“n”7．若不等式2x2＋2kx＋k4x2＋6x＋3<1对于一切实数都成立，则k的取值范围是( )a、（－∞，＋∞)b、（1,3）c.(－∞，3)d.(－∞，1)∪(3，＋∞)分析B∵ 4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥ 34,∴不等式等价于2x2＋2kx＋k<4x2＋6x＋3，也就是说，对于任何x，2x2+（6-2k）x+3-K>0是常数，∴δ＝(6－2k)2－8(3－k)<0，∴1<k<3.8.让函数f（x）=x2+x+a（a>0）满足f（）<0，则f（+1）的符号为（）a．f(＋1)≥0b．f(＋1)≤0c、 f（＋1）>0d.f（＋1）<0解析 c ∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，‡从F（）<0，-1<0，‡+1>0，‡F（+1）>F（0）>09．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )a、 2b.22c．4d．5分析C∵ a>0，b>0，∵ 1A+1b+2Ab≥ 21ab+2Ab≥ 4,当且仅当a＝b＝1时取等号，∴1a＋1b＋2abin＝4.10.不等式log2x（5x-1）>0的一个充要条件是（）a．x>12b.15<x<25或x>12c、 15<x<1D。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
高三数学一轮复习 第六章不等式推理与证明测试题 新人教版
高三数学一轮复习 第六章不等式推理与证明测试题 新人教版(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋1)x －1≥0的解集是 ( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－1}D ．{x |x ≥－1或x ＝1} 解析：∵x －1≥0，∴x ≥1. 同时x ＋1≥0，即x ≥－1.∴x ≥1. 答案：B2．下列命题中的真命题是 ( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解析：由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D4．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝{x |2x ＋13－x ＜0}，则A ∩B 是 ( )A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3} B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |－12＜x ＜2}D ．{x |－1＜x ＜－12}解析：∵|2x －1|＜3，∴－3＜2x －1＜3.∴－1＜x ＜2. 又∵2x ＋13－x ＜0，∴(2x ＋1)(x －3)＞0，∴x ＞3或x ＜－12.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜－12}．答案：D5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小． 答案：C6．已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，故充分性成立，而a 2＋b 2≥4时，当a ＝－1，b ＝3时成立，但ab ＝－3＜2，显然ab ≥2不成立，故必要性不成立． 答案：A7．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．①② D ．③ 解析：大前提是①，小前提是②，结论是③. 答案：B8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于 ( )A.32B.23C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标为(0,4)，(0，43)．故S △ABC ＝12(4－43)×1＝43.答案：C9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c ＜1，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．(1,2)D ．(1,3)解析：由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，得b ＝－1，∴a ＋c ＝2.又0＜c ＜1，∴0＜2－a ＜1，∴1＜a ＜2. 答案：C10．(2010·淄博模拟)若f (a )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f (a )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值为 ( ) A.13 B.23 C.53 D.73 解析：设g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ，由于当m ∈[0,1]时g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ≤1恒成立，于是(0)1,(1)1g g ⎧⎨⎩≤≤ 1,21b a b a -⎧⎨+⎩≤即≤满足此不等式组的点(a ，b )构成图中的阴影部分， 其中A (25,33)，设a +b =t ，显然直线a +b =t 过点A 时，t 取得最大值73. 答案：D9．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则2(1)(2)(1)f f f +＋f f f 2(2)(4)(3)＋f f f 2(3)(6)(5)＋f f f 2(4)(8)(7)等于 ( )A ．36B ．24C ．18D ．12 解析：由f (p ＋q )＝f (p )f (q )， 令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )．原式＝f f 22(1)(1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2f (1)＋2f (1)f (3)f (3)＋2f (1)f (5)f (5)＋2f (1)f (7)f (7)＝8f (1)＝24. 答案：B12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：由题意可设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ， ∴k 1＝xy 1，k 2＝y 2x，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库与车站距离)，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞4}，则实数a 、b 的值分别为________．解析：由不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞4}可得，－1,4是方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)－1×4＝ab ，解得a ＝－4，b ＝1.答案：－4,114．关于x 的不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0，当a ＋2＝0，即a ＝－2时，不恒成立，不合题意． 当a ＋2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.所以a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元． 答案：230016．已知点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的是________． ①2a －3b ＋1＞0；②a ≠0时，b a有最小值，无最大值； ③∃M ∈R ＋，使a 2＋b 2＞M 恒成立； ④当a ＞0且a ≠1，b ＞0时，则ba －1的取值范围为(－∞，－13)∪(23，＋∞)．解析：由已知(2a －3b ＋1)(2－0＋1)＜0， 即2a －3b ＋1＜0，∴①错； 当a ＞0时，由3b ＞2a ＋1，可得b a ＞23＋13a，∴不存在最小值，∴②错；a 2＋b 2表示为(a ，b )与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得： a 2＋b 2＞|1|4＋9＝1313恒成立， ∴③正确；ba －1表示为(a ，b )和(1,0)两点的斜率．由线性规划知识可知④正确． 答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)当不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值． 解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3， ∵f (1)＞0，∴a 2－6a ＋3－b ＜0. Δ＝24＋4b ，当Δ≤0即b ≤－6时，f (1)＞0的解集为∅； 当b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，∴f (1)＞0的解集为{a |3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}． (2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a (6－a )3，3＝b3.解之，得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.18．(本小题满分12分)若a 1＞0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：(采用反证法)．若a n ＋1＝a n ， 即2a n 1＋a n＝a n ，解得a n ＝0,1. 从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0,1，与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1，n ∈N *.19．(本小题满分12分)(2010·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166v＝166(0.02v ＋200v)(60≤v ≤120)．(2)y ＝166(0.02v ＋200v)≥166×20.02v ×200v＝664(元)当且仅当0.02v ＝200v即v ＝100千米/时时取等号．答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)设mn ＜0，m ＋n ＞0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝22+4(0).-4(0)x x x x ⎧-<⎨>⎩(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＜0m ＋n ＞0，∴m ，n 一正一负．不妨设m ＞0且n ＜0，则m ＞－n ＞0，F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4)＝a (m 2－n 2)，当a ＞0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a ＜0时，F (m )＋F (n )不能大于0.21．(本小题满分12分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x ，y 套，月利润为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝700x ＋1200y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为y ＝－712x ＋z1200，∵－45＜－712＜－310，∴当y ＝－712x ＋z 1200通过图中的点A 时，z 1200最大，z 最大．解⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点A 坐标为(20,24)．将点A (20,24)代入z ＝700x ＋1200y 得z max ＝700×20＋1200×24＝42800元．答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元． 22．[理](本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax －b x－2ln x ，f (1)＝0. (1)若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1，已知a 1＝4，求证：a n ≥2n ＋2.解：(1)因为f (1)＝a －b ＝0，所以a ＝b ， 所以f (x )＝ax －a x－2ln x ，所以f ′(x )＝a ＋a x2－2x.要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，则f ′(x )＝－2x＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．当a ＞0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，则a －1a≥0，解得a ≥1；当a ＜0时，由f ′(x )＝a ＋a x2－2x＜0恒成立，适合题意．所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)根据题意得：f ′(1)＝0，即a ＋a －2＝0，得a ＝1， 所以f ′(x )＝(1x－1)2，于是a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1＝(a n －n )2－n 2＋1＝a 2n －2na n ＋1.用数学归纳法证明如下： 当n ＝1时，a 1＝4＝2×1＋2， 当n ＝2时，a 2＝9＞2×2＋2；假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式a k ＞2k ＋2成立，即a k －2k ＞2成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －2k )＋1＞(2k ＋2)×2＋1＝4k ＋5＞2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1，不等式也成立， 综上得对所有n ∈N *时，都有a n ≥2n ＋2.[文](本小题满分14分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p . (1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围． 解：(1)原不等式为 (x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2，它是关于p 的一次函数， 定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)＞0f (2)＝(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1或x ＞3}． (2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0. ∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立， 所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1， 于是p ＞－1.故p 的范围是{p |p ＞－1}．。
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不等式、推理与证明训练题（十七）一、选择题：1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞ 3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b >4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．56．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ）A.29B. 254C. 602D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21318．下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。
9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中 有白色地面砖( )块.A.4n+2B.3n+2C.4n+1D.3n+1 10．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,312．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-m13．若()a ax x x f ++-=12lg )(2在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ） A ．[1,2) B ． [1,2] C ．[)1,+∞ D ． [2,)+∞ 14．不等式22lg lg x x <的解集是 ( )A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞ 15．若不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a << 16．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．617．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12 B ．32C ．52D ．1 18．可行域（如图）为四边形ABCD 的内部（包括边界），其中 A （2，1），B （4，1），C （3，3），D （0，3），目标函数y ax z +=取最大值的最优解是无穷多个时，实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2C. 1或2D. 0或2二、填空题：19．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。
20．当=x ______时，函数)2(22x x y -=有最_______值，且最值是_________。
21．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
22．若121log a x a -≤≤的解集是11[,]42,则a 的值为___________。
23．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值是________。
24．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________.25．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。
26．不等式122log (21)log (22)2x x +-⋅-<的解集是_______________。
27．若0,2y x π<≤<且tan 3tan ,x y =则x y -的最大值为________.28．设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
290xx≥的解集是________________。
30．已知变量x,y 满足约束条件2y -x 4,-2y x 1≤≤≤+≤。
若目标函数y ax z +=（其中0a >）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围为_________。
三、解答题：31．解不等式 （1）2(23)log (3)0x x --> （2）2232142-<---<-x x32．设函数1)(2++=x bax x f 的值域为[]4,1-，求b a ,的值。
33．（1）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件2212516x y +=34．已知集合23(1)23211331|2,|log (9)log (62)2x x x A x B x x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-<-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎩⎭,又{}2|0A B x x ax b =++<,求a b +等于多少？35．若函数()log (4)(0,1)a af x x a a x=+->≠且的值域为R ，求实数a 的取值范围。
不等式、推理与证明训练题（十七）参考答案一、选择题：1．C 212520,(21)(2)0,22x x x x x -+->--<<<，22212221423x x x x x -=-+-=-+-=2．B 122+x ≤2421()24x x --=,221142,230,31,28x x x x x y +≤-+-≤-≤≤≤≤3．C 对于A ，B ，倒数法则：11,0a b ab a b>>⇒<，要求,a b 同号， 2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====4．B 设2221cos ,sin ,11sin 24x y x y θθθ==-=-5．D 设cos ,sin ,343cos 4sin 5sin()5x y x y θθθθθϕ==-=-=+≤ 6．B 0123200445050525254=⨯+⨯+⨯+⨯= 7．B12112,0,,02x x x x x -<>><或 8．D9．A 10．B225312(1)1,1,222k k k x x x -+=-+>∴<-< 11．B 3,2,2,021,121a b ca c c a aa abc -+=⎧+==-<-<<<⎨++=⎩ 12．B 21212(2)4(5)0(2)0,5450m m x x m m x x m ⎧∆=+-+≥⎪+=-+>-<≤-⎨⎪=+>⎩ 13．A 令(]221,,1u x ax a =-+--∞是的递减区间，得1a ≥而0u >须恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a ≤<；14．D 22lg lg ,lg 2lg 0,100,01x x x x x x <><><<或或15．A 2log a x x <在1(0,)2x ∈恒成立，得01a <<，则2maxmin 1111log ,(log )log 142416a a a x xx a ≥==≥⇒≤<。
（另可画图做） 16．B 当20x ax a -+=仅有一实数根，240,04a a a a ∆=-===或，代入检验，不成立或21x ax a -+=仅有一实数根，2440,2a a a ∆=-+==，代入检验，成立！17．D 画出可行域18．D 当直线y ax z +=的斜率等于AB BC k k 或时最大值的最优解是无穷多个。
二、填空题： 19．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭23310,422x x x -->-<<，递减则12x ≥-， ∴1122x -≤<20．1,,1大± 224222(2)2(1)1y x x x x x=-=-+=--+，当21x =时，max 1y =21．(][)+∞-∞-,11, 2222211,()1,11x xy y y x y x y x y ++=+≥+≥+≥+≤-或 22．2 111211111log ,()(),(),22222aa a a x a x a ---≤≤≤≤== 23．4 2221cos 28sin 2cos 8sin 1()4tan 4sin 22sin cos tan x x x x f x x x x x x+++===+≥= 24．16 199()()101016x yx y x y x y y x+=++=++≥+= 25．(1,3) 222301313,13(2)(1)01020x x x x x x x x x x ⎧--<-<<-<<⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎨+->->+->⎪⎪⎩⎩⎪⎩ 26．53422(log ,log ) 2222log (21)log [2(21)]2,log (21)[1log (21)]2x x x x -⋅-<-⋅+-< 2222log (21)log (21)20,2log (21)1x x x -+--<-<-<22155212,23,log log 3444x x x <-<<<<< 27．6π 2t a n t a n 2t a n 23t a n ()11t a n t a n 13t a n 33tan tan x y y x y x y y y y--===≤=+++ 而0,022y x x y ππ<≤<<-<，tan()36x y x y π-≤⇒-≤ 28．1,3± 22111122()4()13x x x y x x x x x+≥+≤-⇒+≥⇒=+-≥或 29．[)(]2,00,3 - 当0x >10≥，得02x <≤；当0x <10≥，得0x <；)(]0,2x ⎡∴∈⎣30．（1，∞+） 由已知变量满足约束条件4y x 1≤+≤，2y x 2≤-≤-。