（3）在（-∞，+∞)上是增函数
（3)在（—∞，+∞)上是减函数
思考：如图所示，是指数函数(1）y=a x ,（2）y=b x,（3)，y=c x （4),y=d x 的图象，如何确定底数a,b ，c,d 与1之间的大小关系?
提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1>a 1〉b 1,∴c 〉d 〉1>a 〉b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
【热点难点全析】
一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接
(1)分数指数幂与根式根据*(,,,)=∈m m n n
a
a a 0m n N n 1＞且＞可以相互转化。
（2）分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24
a 写成12
a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如()()
,-=
-=22
4
4
111而()12
-=-11无意义.
(3）在进行幂的运算时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行运算.
（4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算,先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数，底数是负数,先确定符号,底数是小数，先要化成分数，底数是带分数的，先化成假分数,若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数运算性质.
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则
①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂; ③化小数为分数; ④注意运算的先后顺序。
注：有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0，否则不能用性质运算. （2）结果要求
①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂. 2．例题解析
〖例1〗(1）化简：533233
23
23
323
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b
a a ???
-÷++--
;
(2）计算：25
.021
21
32
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()94
5()833[(÷?÷+---
分析：(1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。 （2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。
解:(1）原式=51
31212
13231312
3131312313
3133131)()
(2)
2()2()(]
)2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ???-÷
+?+-
2
3
23
16
1653
13
13
13
13
1
2)2(a a a a a
a b
a a
b a a =??=?
-?
-=;
(2）原式=41
322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+-
92
2)2917(21]10
24251253794[=?+-=÷??+-= 〖例2〗已知112
2
3x x -
+=，求22332
2
2
3x x x x
--
+-+-的值
解：∵112
2
3x x -
+=，
∴112
2
2()9x x
-
+=,
∴1
29x x -++=，
∴1
7x x
-+=，
∴
12
()49x x -+=, ∴22
47x x
-+=，
又∵3
31112
2
2
2
()(1)3(71)18x x
x x x x --
-+=+?-+=?-=，
∴22332
2
2
472
3183
3
x x x x
--
+--=
=-+-
二、指数函数的图象及应用 1．相关链接 （1）图象的变换
1()()y f x y f x a =→=+、 ()()+b y f x y f x =→=2、
()()y f x y f x =→=3、 ()()y f x y f x =→=4、
()()y f x y f x =→=4、 5()()y f x y f x =→=-、
6()()y f x y f x =→=-、 7()()y f x y f x =→=--、
(2）从图象看性质
函数的图象直观地反映了函数的基本性质
①图象在x轴上的投影可得出函数的定义域；
②图象在y轴上的投影可得出函数的值域；
③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；
④由图象是否关于原点（或y轴)对称得出函数是否为奇（偶）函数；
⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解.
（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：
对指数型函数的图象与性质（单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
(4）利用图象解指数型方程、不等式：
一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解。
2．例题解析
〖例1〗已知f(x）=｜2x—1|
(1)求f(x）的单调区间.
（2）比较f(x+1)与f(x）的大小。
(3)试确定函数g（x）=f（x)-x2零点的个数.
【方法诠释】(1)作出f(x)的图象，数形结合求解。
(2）在同一坐标系中分别作出f（x）、f（x+1）图象，数形结合求解。
(3)在同一坐标系中分别作出函数f（x)与y=x2的图象，数形结合求解.
解析：(1）由f(x）=｜2x-1|=
,
.
,
?-≥
?
?
-
??
x
x
21x0
12x0
＜
可作出函数的图象如图
.
因此函数f(x）在（-∞,0)上递减；函数f（x)在(0,+∞)上递增.
（2）在同一坐标系中分别作出函数f（x）、f（x+1）的图象，如图所示.
由图象知,当||+-
=-00x 1
x 2
121时,解得,=022
x log 3
两图象相交，从图象可见，当22
x log 3
＜时,f(x)＞f(x+1）；
当=22
x log 3时,f(x ）=f （x+1);
当>22
x log 3
时，f （x)＜f(x+1)。
（3)将g （x ）=f(x ）-x 2的零点转化为函数f （x ）与y=x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x ）=|2x —1｜和y=x 2的图象如图所示，有四个交点，故g(x ）有四个零点。
〖例2〗已知函数y=(13
)｜x+1|. （1） 作出图象；
（2） 由图象指出其单调区间；
（3）
由图象指出当x 取什么值时函数有最值。
分析：化去绝对值符号→将函数写成分段函数的形式→作图象→写出单调区间→写出x 的取值。
解答：（1）由已知可得
1|1|
11(1)1,333
(1)
x x x x y x +++???≥-??? ?==??? ???
?<-?
其图象由两部分组成：
一部分是：
1111()(0)()(1);33
x x y x x +=≥??????→≥-向左平移个单位
另一部分是:113(0)3(1).x x y x y x +=≥??????→=<-向左平移个单位
图象如图:
（2)由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数,在(1,)-+∞上是减函数。 (3）由图象知当1x =-时，函数有最大值1,无最小值。 三、指数函数的性质及应用 1、相关链接
与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域；
②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; ③分层逐一求解函数的单调性；
④求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)。 2、例题解析 〖例1〗（1)函数-=-
2x 11
y 327
的定义域是______。 （2)函数()1()
3
--+=2x 4x 3
f x 的单调递减区间为______，值域为______。
(3)已知函数()-=+x x a 1
f x a 1
（a ＞0且a ≠1)
①求f(x)的定义域和值域; ②讨论f （x ）的奇偶性； ③讨论f （x ）的单调性.
【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征，选择恰当的 求函数定义域、值域（最值)、单调区间、奇偶性的方法求解. 解析：（1）由题意知,--
≥2x 1
1
3
027
∴32x —1≥3-3，∴2x-1≥-3, ∴x ≥—1，即定义域是［—1,+∞）.
答案:[-1,+∞)
（2)令g(x)=—x 2—4x+3=—（x+2)2+7,由于g （x)在(-∞，—2）上单调递增,在(—2，+∞）上单调递减，而1()3
=t
y 在R 上为
单调递减,所以f(x ）在(-∞,—2)上单调递减.又
g （x)=—(x+2）2+7≤7，()().-∴≥=77
1f x 33
答案:(—∞，-2) ［3—7,+∞)
（3)①f （x ）的定义域是R ， 令,-=+x x a 1y a 1得a x =-+-y 1
y 1
,
∵a x ＞0,∴—
+-y 1
y 1
＞0，解得—1＜y ＜1， ∴f （x ）的值域为{y|—1＜y ＜1}. ②()(),-----===-++x x
x
x
a 11a f x f x a 11a ∴f （x ）是奇函数。 ③()
(),+-=
=-
++x
x x
a 12
2
f x 1a 1
a 1
设x 1,x 2是R 上任意两个实数,且x 1＜x 2，
则()()()()()
.--=-=++++12211
2x x 12x x x x 2a a 22
f x f x a 1a 1a 1a 1 ∵x 1＜x 2，∴当a ＞1时， 从而,,,++-12
12x
x x x a 10a
10a a 0＞＞＜
∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f （x 1)＜f(x 2），f(x)为R 上的增函数。 当0＜a ＜1时, ,12x
x
a a 0＞＞ 从而,,,++-1212x
x x x a 10a
10a a 0＞＞＞
∴f （x 1)-f(x 2）＞0，即f(x 1)＞f(x 2），f(x)为R 上的减函数.
〖例2〗如果函数f （x)=a x （a x -3a 2—1)（a 〉0且a ≠1)在区间[)0,+∞上是增函数，求实数的取值范围 分析：先化简f(x ）的表达式,利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解. 解答:由题意得f(x ）= （a x )2—（3a 2+1）a x , 令t= a x 。f(t ）=t 2-（3a 2+1）t(t>0)。
当a 〉1时，t= a x 在[)0,+∞上为增函数，则此时t ≥1，
而对于f （t ）而言，对称轴t=231
2
a +〉2,
故f （x ）在[)0,+∞上不可能为增函数; 当0〈a 〈1时，t=a x 在[)0,+∞上为减函数，
此时0〈t 〈1，要使f(x ）在[)0,+∞上为增函数， 则f(t ）在(]0,1上必为减函数，故231
2
a +≥1。
∴a ≥
33或a ≤33-,∴
3
13
a ≤<。 四、指数函数的综合应用 〖例1〗已知f （x ）=
2
1
a a - （a x -a —x
)(a 〉0，a ≠1）。 (1)判断f （x)的奇偶性; （2）讨论f(x)的单调性;
(3）当x ∈［—1，1］时，f （x ）≥b 恒成立，求b 的取值范围.
思路分析：本题（1）（2）问判断f （x ）的奇偶性、讨论它的单调性,由于已知函数的解析式,因此用定义判断或利用导数判断；(3）恒成立问题,实质上是探求f(x)的最小值。
解答：
（1)函数的定义域为R,关于原点对称, ∵
,∴f(x ）为奇函数；
（2）方法一:设，则
当a>1时,
2
1
a
a - 〉0，〉0，＞0,
∴f （x 1）-f （x 2）>0，即f(x 1)>f （x 2)，此时函数f （x ）为增函数;
当021
a
a -〈0，〈0，1+>0，
∴f （x 1)-f （x 2）>0，即f(x 1)>f （x 2)，此时函数f(x ）为增函数； 综上可知：函数f （x ）=
2
1
a
a - （a x -a -x ) (a>0,a ≠1)在定义域上为增函数； 方法二:∵f （x)=21a a - （a x -a -x ），∴f ′(x)= 21
a a - （a x
lna+a —x lna)=2ln ()1x x a a a a a -+-
当a ＞1时,f'(x)＞0，此时f （x)为增函数； 当0＜a ＜1时，f'(x ）＞0,此时f （x)为增函数, 综合可知：f （x ）为增函数。 (3）由(2）知f(x ）在R 上是增函数，
∴f(x)在区间[—1,1］上为增函数， ∴f （—1）≤f （x ）≤f(1）， ∴f(x)min =f(—1）=
2
1
a
a - (a -1—a ） =21
a
a -·21a a -=—1,
要使f （x)≥b 在［-1，1]上恒成立,则只需b ≤-1，故b 的取值范围是(—∞，-1].
高考体验：
1．（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a ＝＿＿＿＿。
【解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时1
2,2
a m ==
，此时()g x x =-为减函数，不合题意。若01a <<，则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意。 答案：1
4
2．(2011·山东高考理科·Ｔ3）若点(a ，9）在函数3x y =的图象上，则2tan 6
π的值为:
（）0 （） 3
(）1 （3
【精讲精析】答案3点（a,9）在函数3x
y =的图象上，所以2,93==a a
，所以
362tan
=π
3．（2011·四川高考文科·Ｔ4）函数1
()1
2x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象大致是( ）。
【思路点拨】（法一）先作出1
0,()()1
2x x f x >=+的图象， 再作关于直线y x =对称的图象。 （法二）先求出1
0,()()1
2x x f x >=+时，反函数的解析式，再作反函数的图象.
【精讲精析】选.（ 法一）先由1
()(),0
2x f x x =>的图象向上平移一个单位，
作出1
0,()()1
2x x f x >=+的图象，再作直线y x =对称的图象。
（法二)当0x >时，反函数的解析式为
112
()log (1)(1)f x x x -=->，
由
12
log (0y x x =>）
的图象向右平移1个单位,即得所需图象.故选.
4．(2010辽宁文数）（10）设25a b
m ==,且11
2a b +=，则m =
（）10 （）10 (）20 （）100
解析：选。211
log 2log 5log 102,10,
m m m m a b +=+==∴=又0,10.m m >∴=
5。（2010广东理数）3．若函数f (x ）=3x +3-x 与g (x )=3x —3—
x 的定义域均为R,则 ．f (x )与g （x ）均为偶函数 。 f (x )为偶函数，g （x ）为奇函数 ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 . f （x ）为奇函数,g （x ）为偶函数
解析:3．．
()33(),()33()x x x x
f x f x
g x g x ---=+=-=-=-．
【考点提升训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1。(2012·济南模拟)函数y=2
2x x 1()2
-的值域为( ）
