函数的基本性质知识点梳理

函数的基本性质知识点梳理

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函数的基本性质知识点梳理

一、基础知识回顾

1．映射：设A,B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，___________，这样的对应关系

叫做从集合A 到集合B 的映射，记作____________。

（答：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，f:A →B ）

2．象和原象：给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B,如果元素a 和b 对应，那么元

素b 叫做元素a 的___，元素a 叫做元素b 的_______。 (答：象，原象)

3．一一映射：设A,B 是两个集合，f :A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，

满足_____________那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射。 （答：对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每个元素都有原象，）

4．函数的三要素：①_______，②_________，③________。

（答：定义域，对应法则，值域）

5．两个函数当且仅当________和_________对应法则（即解析式）都相同时，才称为相同的

函数。 （答：定义域，对应法则（即解析式））

6．请同学们就下列求函数三要素的方法配上适当的例题：

⑴定义域：①根据函数解析式列不等式（组），常从以下几个方面考虑：

⑴分式的分母不等于0；⑵偶次根式被开方式大于等于0；

⑶对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑷指数为0时，底数不等于0。

②⑴已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域。

⑵已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域。

⑵值域： ①函数图象法（中学阶段所有初等函数极其复合）；②单调性法；③换元法；④

导数法

⑶解析式：①待定系数法（已知函数类型求解析式）；②已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x

求()f x ；③函数图象法。

7．若()f x 的定义域关于原点对称，且满足________（或___________），则函数()f x 叫做

奇函数（或偶函数）。 (答：()()f x f x -=-,()()f x f x -=)

8．①若()f x 的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -+=_____,则为奇函数。 （答：0）

②若()f x 的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x --=_____,则为偶函数。 （答：0）

③若()f x (()0f x ≠)的定义域关于原点对称，且满足()()

f x f x -=_____,则为奇函数。 （答：-1）

④若()f x (()0f x ≠)的定义域关于原点对称，且满足()()

f x f x -=_____,则为偶函数。

（答：1）

9．奇函数的图象关于____________对称。 （答：原点中心） 偶函数的图象关于____________对称。 （答：y 轴轴对称）

10．若()f x 为奇函数，且(0)f 存在，则(0)f =___________。 （答：0）

11．若()f x 为偶函数，则()f x 与()f x 是什么关系。 （答：相等）

12．若在公共定义域上的不恒为0的函数()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则：

①()()f x g x +为___函数； （答：奇）

②()()f x g x -为____函数； （答：

奇）

③()()f x g x ?为____函数； （答：

偶） ④()()

f x

g x (()0g x ≠)为___函数； （答：偶）

⑤[()]f g x 为____函数； （答：

奇）

请同学们分别就()f x ,()g x 均为偶函数和一奇一偶的情况回答上述问题。

13．设A 是()f x 定义域的一个区间，区间A M ?，?1x ，2x ∈A,改变量012>-=?x x x 则

①当____________时,则称()f x 在区间M 上为增函数； (答：

0)()(12>-=?x f x f y ) ②当____________时,则称()f x 在区间M 上为减函数. (答：

0)()(12<-=?x f x f y ) 14．①若函数()f x 满足对某个区间内任意的1x ，2x ，当1x <2x 时，都有

[]1212()()()0f x f x x x --<成立，则函数()f x 在此区间内为_____函数(填增减性)。 （答：增）

②若函数()f x 在某个区间内满足当0m >时恒有()()f x m f x +<成立，则函数()

f x 在此区间内为_____函数(填增减性)。 （答：减） ③请你尽可能多的写出单调函数的其它叙述方式。

15．对于复合函数[()]y f g x =，设()u g x =，则()y f u =，若()u g x =和()y f u =单调

性相同，则[()]y f g x =为______函数(填增减性)，若()u g x =和()y f u =单调性相反，则为_____函数(填增减性)。 (答：增，减)

16．①若()f x ,()g x 均为增函数，则()()f x g x +为______函数(填增减性)。 （答：增） ②请你尽可能多的写出类似于①的函数单调性性质。

17．①奇函数在两个对称的区间上具有_______的单调性（填相同或相反）；（答：相同） ②偶函数在两个对称的区间上具有_______的单调性（填相同或相反）；（答；相反）

18．函数的周期性：

1、若函数()f x 满足()()f x T f x +=(其中T 为常数)，则()f x 为周期函数，且____为其一个周期； （答：T ）

2、若函数()f x 的图象同时存在两条对称轴x a =和x b =，则()f x 为周期函数，且 为其一个周期； （答：2T a b =-）

3、请同学们类别上述结论，再写出几个关于函数周期性的结论。

19．函数图象的对称性：

①若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的图象关于______对称； （答：直线2

a b x +=轴） ②若函数()f x 满足()()f a x f b x +=--，则函数()f x 的图象关于______对称； （答：点（2

a b +,0）中心） 20．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。

21．描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性

质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。

（答：列表、描点、连结）

22．函数图象变换：

①平移变换：

⑴水平平移：

如()y f x a =+，把函数()y f x =的图象，沿___轴方向向____ (0a >)或向____

(0a <)平移a 个单位，就得到()y f x a =+的函数图象。 （答：x ,左，右）

⑵竖直平移：

如()y f x a =+，把函数()y f x =的图象沿___轴方向向____ (0a >)或向___

(0a <)平移a 个单位，就得到()y f x a =+的函数图象。 （答：

y ,上，下）

②对称变换：

⑴如()y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于___对称； （答：y 轴） ⑵如()y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于___对称； （答：x 轴） ⑶如()y f x =--，其函数图象与函数()y f x =的图象关于___对称；（答：原点中心） ③翻折变换：

⑴形如()y f x =，将函数()y f x =的图象在x 轴下方沿x 轴翻到x 轴上方，去掉原

x 轴下方部分，并保留()y f x =在x 轴以上部分，为函数()y f x =的图象； ⑵形如()y f x =，将函数()y f x =的图象在y 轴右边沿y 轴翻到y 轴左边部分替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分，为函数()y f x =)的图象。

④伸缩变换：

⑴形如()y af x = (0a >)，将函数()y f x =的图象_________得到。

（答：纵坐标（横坐标不变）伸长(1a >)或压缩(01a <<)到a 倍）

⑵形如()y f ax =(0a >)，将函数()y f x =的图象_________得到。

（答：横坐标（纵坐标不变）压缩(1a >)或伸长 (01a <<)到

1a

倍）