备战中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题及答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.
提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,
设AP与y轴交于点C,如图1,
把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),
把点B(4,1)代入y= ,得k=4.
解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),
则点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
设直线AP的解析式为y=mx+n,
把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直线AP的解析式为y=x+3,
则点C的坐标(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC?AR+ OC?PS
= ×3×4+ ×3×1= ,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.
B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,
设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,
联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)解:∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有
,
解得:,
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.
当y=0时, x+ ﹣1=0,
解得:x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ
交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.
2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).
(1)试确定此反比例函数的解析式;
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;
(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴
的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.
【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,
∴反比例函数的解析式为y=﹣
(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.
在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,
∴OA= =2,∠AOC=30°,
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,
∴∠AOB=30°,OB=OA=2,
∴∠BOC=60°.
过点B作x轴的垂线交x轴于点D.
在Rt△BOD中,BD=OB?sin∠BOD= ,OD= OB=1,
∴B点坐标为(﹣1,),
将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,
∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上
(3)解:由y=﹣得xy=﹣,
∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,
∴m( m+6)=﹣,
∴m2+2 m+1=0,
∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).
∵△OQM的面积是,
∴OM?QM= ,
∵m<0,∴mn=﹣1,
∴m2n2+2 mn2+n2=0,
∴n2﹣2 n=﹣1,
∴n2﹣2 n+9=8.
【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由
△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.
3.如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点.
(1)当k=1时,求A、B两点的坐标;
(2)当k=2时,求△AOB的面积;
(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1,当k=2时,△OAB的面积记为S2,…,依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为S n,若S1+S2+…+S n= ,求n的值.
【答案】(1)解:当k=1时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+1和y= ,
解得,,
∴A(1,2),B(﹣2,﹣1)
(2)解:当k=2时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+2和y= ,
解得,,
∴A(1,3),B(﹣3,﹣1)
设直线AB的解析式为:y=mx+n,
∴
∴,
∴直线AB的解析式为:y=x+2
∴直线AB与y轴的交点(0,2),
∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4;
(3)解:当k=1时,S1= ×1×(1+2)= ,
当k=2时,S2= ×2×(1+3)=4,
…
当k=n时,S n= n(1+n+1)= n2+n,
∵S1+S2+…+S n= ,
∴ ×(…+n2)+(1+2+3+…n)= ,
整理得:,
解得:n=6.
【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解;(2)斜三角形△AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形)的面积和或差;(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.
4.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.
例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.
(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;
(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;
(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.
【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:
正方形ABCD的边长为.
(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:
设正方形边长为a,易得3a= ,
解得a= ,此时正方形的边长为.
∴所求“伴侣正方形”的边长为或
(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,
易证△ADE≌△BAO≌△CBF.
∵点D的坐标为(2,m),m<2,
∴DE=OA=BF=m,
∴OB=AE=CF=2﹣m.
∴OF=BF+OB=2,
∴点C的坐标为(2﹣m,2).
∴2m=2(2﹣m),解得m=1.
∴反比例函数的解析式为y=
(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合
a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶
点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;
b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,
c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在
d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶
点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;
e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D
的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;
f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;
故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+
【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.
(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.
(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.
5.如图,P1、P2(P2在P1的右侧)是y= (k>0)在第一象限上的两点,点A1的坐标为(2,0).
(1)填空:当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将________(减小、不变、增大)
(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,
①求反比例函数的解析式;
②求出点P2的坐标,并根据图象直接写在第一象限内,当x满足什么条件时,经过点
P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.
【答案】(1)减小
(2)解:①如图所示,作P1B⊥OA1于点B,
∵A1的坐标为(2,0),
∴OA1=2,
∵△P1OA1是等边三角形,
∴∠P1OA1=60°,
又∵P1B⊥OA1,
∴OB=BA1=1,
∴P1B= ,
∴P1的坐标为(1,),
代入反比例函数解析式可得k= ,
∴反比例函数的解析式为y= ;
②如图所示,过P2作P2C⊥A1A2于点C,
∵△P2A1A2为等边三角形,
∴∠P2A1A2=60°,
设A1C=x,则P2C= x,
∴点P2的坐标为(2+x, x),
代入反比例函数解析式可得(2+x) x= ,
解得x1= ﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),
∴OC=2+ ﹣1= +1,P2C= (﹣1)= ﹣,
∴点P2的坐标为( +1,﹣),
∴当1<x< +1时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解:(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,
故△P1OA1的面积将减小,
故答案为:减小;
【分析】(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小;(2)①由A1的坐标为(2,0),△P1OA1是等边三角形,求出P1的坐标,代入反比例函数解析式即可;②由△P2A1A2为等边三角形,求出点P2的坐标,得出结论.
6.如图①所示,双曲线y= (k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.
【答案】(1)解:把B(4,2)代人y= (k≠0)得2= 元,解得k=8z,
∴双曲线的解析式为y= ,
把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得,
,
∴,
∴抛物线的解析式为y=
(2)解:连接DB,
∵C(-2,-4),
∴直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4),
∴由两点间距离公式得BC= ,DB= ,CD= ,
∴BC2+DB2=CD2,
∴∠CBD=90°,
∴tan∠ BDC= .
∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,
∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.
∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:
解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);
,
解得(0,0)(舍)或(18,-54),
故可得出满足条件的P点有一个(18,-54);
(3)解:由B(4,2)可得直线OB解析式y= ,
由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,
∴l的解析式为y=-2x+10,
由DF⊥l, OB⊥l可得DF∥OB,
∴可设DF解析式y= x+b2,把D(2,4)代入得b2=3.
∴DF的解析式为y= x+3,
把DF的解析式与l的解析式联立可得:
解得:
∴,
∴DF= ,OB=
.∵DF∥OB,
∴
【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C,且B(4,2),C(-2,-4),所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式;
(2)连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D,所以C、D两点关于原点成中心对称,所以
点D(2,4),则可将BC、CD、BD放在直角三角形中,用勾股定理求得这三边的长,然后计算可得,由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°,则∠BDC的正切值可求出来,由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE,则tan∠BDC=tan∠POE,点P所在的直线解析式可得,将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组,即可求得点P的坐标;
(3)由题意直线L⊥OB,根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式,因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式,把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标,则DF和OB的长可用勾股定理求得,因为DF∥OB,所以由平行线分线
段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。
7.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= (m≠0)的图象有公共点A(1,a)、D(﹣2,﹣1).直线l与x轴垂直于点N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象回答,x在什么范围内,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)求△ABC的面积.
【答案】(1)解:∵反比例函数经过点D(﹣2,﹣1),
∴把点D代入y= (m≠0),
∴﹣1= ,
∴m=2,
∴反比例函数的解析式为:y= ,
∵点A(1,a)在反比例函数上,
∴把A代入y= ,得到a= =2,
∴A(1,2),
∵一次函数经过A(1,2)、D(﹣2,﹣1),
∴把A、D代入y=kx+b (k≠0),得到:,解得:,
∴一次函数的解析式为:y=x+1
(2)解:如图:当﹣2<x<0或x>1时,一次函数的值大于反比例函数的值
(3)解:过点A作AE⊥x轴交x轴于点E,
∵直线l⊥x轴,N(3,0),∴设B(3,p),C(3,q),
∵点B在一次函数上,∴p=3+1=4,
∵点C在反比例函数上,∴q= ,
∴S△ABC= BC?EN= ×(4﹣)×(3﹣1)= .
【解析】【分析】由反比例函数经过点D(-2,-1),即可求得反比例函数的解析式;然后求得点A的坐标,再利用待定系数法求得一次函数的解析式;
结合图象求解即可求得x在什么范围内,一次函数的值大于反比例函数的值;
首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E,由直线l与x轴垂直于点N(3,0),可求得点E,B,C的坐标,继而求得答案.
8.如图,在矩形OABC中,OA=6,OC=4,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过
点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?
【答案】(1)解:∵在矩形OABC中,OA=6,OC=4,∴B(6,4),
∵F为AB的中点,∴F(6,2),
又∵点F在反比例函数(k>0)的图象上,∴k=12,
∴该函数的解析式为y= (x>0)
(2)解:由题意知E,F两点坐标分别为E(,4),F(6,),
∴,
=
=
=
= ,
∴当k=12时,S有最大值.S最大=3
【解析】【分析】)当F为AB的中点时,点F的坐标为(3,1),由此代入求得函数解析式即可;根据图中的点的坐标表示出三角形的面积,得到关于k的二次函数,利用二次函数求出最值即可.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= 相交于点A(m,
3),B(﹣6,n),与x轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b(k≠0)的解析式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP= S△BOC,求点P的坐标(直接写出结果).
【答案】(1)解:)∵点A(m,3),B(﹣6,n)在双曲线y= 上,∴m=2,n=﹣1,
∴A(2,3),B(﹣6,﹣1).
将(2,3),B(﹣6,﹣1)带入y=kx+b,
得:,
解得.
∴直线的解析式为y= x+2
(2)解:
当y= x+2=0时,x=﹣4,
∴点C(﹣4,0).
设点P的坐标为(x,0),
∵S△ACP= S△BOC, A(2,3),B(﹣6,﹣1),
∴×3|x﹣(﹣4)|= × ×|0﹣(﹣4)|×|﹣1|,即|x+4|=2,
解得:x1=﹣6,x2=﹣2.
∴点P的坐标为(﹣6,0)或(﹣2,0).
【解析】【分析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标,再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出
点C的坐标,设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC,即可得出|x+4|=2,解之即可得出结论.
10.综合实践
问题情景:某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究:
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒,如图1,下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒?
(2)如图2是小明的设计图,把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字?
(3)如图3,有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形,用含x的代数式表示这个纸盒的高为
________cm,底面积为________cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为________cm3.
【答案】(1)解:A.有田字,故A不能折叠成无盖正方体;
B.只有4个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体;
C.可以折叠成无盖正方体;
D.有6个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体.
故答案为:C.
(2)解:正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,所以与“保”字相对的字是“卫”
(3)x;(20﹣2x)2;576
【解析】【解答】(3)解:①如图,
②设剪去的小正方形的边长为x(cm),用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm,底面积为(20﹣2x)2cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为=x(20﹣2x)2=4×(20﹣2×4)2=576(cm3).
故答案为:x,(20﹣2x)2, 576
【分析】(1)由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题;(2)正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,据此作答;(3)①根据题意,画出图形即可;②根据正方体底面积、体积,即可解答.
11.已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.
(1)求的值;
(2)当此方程有两个不为0的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移2个单位,求平移后的函数图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象G.当直线与图象G有3个公共点时,请你直接写出的取值范围.
【答案】(1)解:∵方程有实数根,∴ .
∴,解得 .
∵为正整数,∴为1,2,3
(2)解:当时,,方程的两个整数根为6,0;
当时,,方程无整数根;
当时,,方程的两个整数根为2,1
∴ ,原抛物线的解析式为: .
∴平移后的图象的解析式为
(3)解:翻折后得到一个新的图象G的解析式为,
联立得,即 .
由得 .
∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.
联立得,即 .
由得 .
∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.
∴要使直线与图象G有3个公共点即要直线与
有一个交点且与有两个交点;或直线与有两个交点且与有一个交点.
∴的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)由求出正整数解即可.(2)求出方程有两个不为0的整数根时的二次函数解析式,根据平移的性质得到平移后的函数图象的解析式.(3)分直线与有一个交点且与有两个交点和直线与有两个交点且与
有一个交点两种情况求解即可
12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P是边AB上的一动点,连结DP.
(1)若将△DAP沿DP折叠,点A落在矩形的对角线上点A′处,试求AP的长;
(2)点P运动到某一时刻,过点P作直线PE交BC于点E,将△DAP与△PBE分别沿DP 与PE折叠,点A与点B分别落在点A′,B′处,若P,A′,B′三点恰好在同一直线上,且
A′B′=2,试求此时AP的长;
(3)当点P运动到边AB的中点处时,过点P作直线PG交BC于点G,将△DAP与△PBG 分别沿DP与PG折叠,点A与点B重合于点F处,连结CF,请求出CF的长.
【答案】(1)解:①当点A落在对角线BD上时,设AP=PA′=x,
在Rt△ADB中,∵AB=4,AD=3,∴BD==5,
∵AB=DA′=3,∴BA′=2,
在Rt△BPA′中,(4﹣x)2=x2+22,解得x=,
∴AP= .
②当点A落在对角线AC上时,
由翻折性质可知:PD⊥AC,则有△DAP∽△ABC,
∴=,∴AP=== .
∴AP的长为或
(2)解:①如图3中,设AP=x,则PB=4﹣x,
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
反比例函数二次函数易错题(含答案)
反比例函数二次函数易错题(含答案) 1.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为() A.2 B.2C.D.2 2.已知点P(m,n),Q(a,b)都在反比例函数y=﹣上,且m<0<a,则下列结论一定正确的是() A.n+b<0B.n+b>0C.n<b D.n>b 3.如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D,交BC于点E,若AB=4,CE=2BE,,则k的值为() A.3 B.2C.6 D.12 4.如图,直线y=x﹣a﹣2与双曲线y=交于A、B两点,则当线段AB的长度最小时,a的值() A.0B.﹣1C.﹣2D.2
5.若函数y=﹣的图象上有三个点(﹣1,y1),(﹣,y2),(,y3),则y1,y2,y3必的大小关系是() A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3 6.如图,矩形AOBC的面积为4,反比例函数y=的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则k的值是() A.4B.2C.1D. 7.如图,点A(m,1),B(2,n)在双曲线y=(k≠0),连接OA,OB.若S△ABO=8,则k的值是() A.﹣12B.﹣8C.﹣6D.﹣4 8.已知双曲线y=经过点矩形ABCD的顶点A、B,矩形边AB:BC=3:2,且矩形的顶点C在x轴上,点A的纵坐标是点B的纵坐标2倍,BD∥x轴,点D的横坐标是,则k的值为() A.6B.12C.18D.24
9.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在第二象限和第一象限,AB与x轴平行,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,函数y=(x<0)和y=(x>0)的图象分别经过点AB,则的值为() A.B.﹣C.D.﹣ 10.如图,已知点A(0,4),B(1,4),点B在双曲线y=(k>0)上,在AB的延长线上取一点C,过C的直线交双曲线于点D,交x轴正半轴于点E,且CD=DE,则线段CE长度的取值范围是() A.4≤CE<4B.4≤CE<2C.2<CE<4D.4<CE<2 11.如图,是反比例函数y1=和y2=(k1<k2)在第一象限的图象,直线AB∥x轴,并分别交两条曲于 A、B两点,若S△AOB=3,则k2﹣k1的值是() A.8B.6C.4D.2 12.在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+2和y=(m≠0)的图象大致是()
中考数学易错题题目(经典)
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
反比例函数易错题难题
反比例函数易错题、较难题训练 1、若y=(a+2)x a2 +2a-1 为反比例函数关系式,则a= 。 2、已知反比例函数x y 1 -=的图象上有两点),(11y x A 、),(22y x B 且21x x <,那么下列结论正确的是( ) A. 21y y < B. 21y y > C. 21y y = D 1y 与2y 之间的大小关系不能确定 3、函数8 y x = ,若-4≤x<-2,则( ) A 、2≤y<4 B 、-4≤y<-2 C 、-2≤y<4 D 、-4
四年级数学下册易错题阶段汇总合集
[易错题1] 王叔叔家养了350只鸡,每个笼子里装30只,需要准备多少个这样的笼子? 【错误解答】350÷30=11(个)……20(只) 答:需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了,余下的20只鸡需要再装一个笼子,这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11(个)……20(只) 11+1=12(个) 答:需要准备12个这样的笼子。 [易错题2] 小红、小林和小刚,一个星期一共练了630个大字,平均每人每天练多少个大字? 【错误解答】630÷3=210(个) 答:平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30(个) 答:平均每人每天练30个大字。 [易错题3] 计算(842+421+421)×25,下面最简便的方法是()。 A.421×(4×25 ) B.842×(2×25 ) C.842×25+421×25+421×25 【错因分析】首先要明白(842+421+421)×25有多种简便计算方法,一个可以把421合并成842,另一个也可以把842拆分成421,而此题要求是最简便的方法,那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A,因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421,和题中已有的2个421合并成4个421,再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100,这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便,但比起A来没有A更好算最简便。 [易错题4]
简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律?书上结论是这样陈述的:两个数的和与其中一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数,而另一个加数2就漏乘45了,导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律,把100和2这两个加数分别与45相乘,最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下: (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 [易错题5] 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100,把99先看作最接近的100这很好,但是忽略了简便计算的前提是等量代换,一个量须用与它相等的量去代替,才可以依次继续递等下去。把99替换成(100+1)这本身就建立在不公平基础上,所以不能向下递等,结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘,如果有一个数接近整百数,可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式,再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下: 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 反比例函数易错题 1、若y=(a+2)x a2 +2a-1 为反比例函数关系式,则a= 。 2、已知反比例函数x y 1 -=的图象上有两点),(11y x A 、),(22y x B 且21x x <,那么下列结论正确的是( ) A. 21y y < B. 21y y > C. 21y y = D 1y 与2y 之间的大小关系不能确定 3、函数8 y x = ,若-4≤x<-2,则( ) A 、2≤y<4 B 、-4≤y<-2 C 、-2≤y<4 D 、-4 一、填空 1、连接梯形各边的中点围成新的图形是() 2、一个三角形两条边是5厘米和三厘米,第三条边的长度可能是() 3、电动伸缩门是利用平行四边形的()性设计的。 4、等边三角形是特殊的()。 5、44×25=(11×4)×25=11×(4×25),这是根据()。 6、1100÷125÷8=11000÷(125×8)运用了() 7、一个立体图形,从正面看是)个小正方体。 8、用一根铁丝围成一个边长18厘米的正方形,那么用这个铁丝围成一个正三角形,边长是()厘米。 9、王大伯家的三角形菜地的两条边分别是5米和8米这个三角形菜地的第三条边可能是()米 10、有三种长度的小棒(长度分别是3cm、5cm、8cm)若干根,可以摆成()种不同的三角形 11、十分位上的“3”与十位上的“3”相差() 12、在0.08、0.080、0.008这三个小数中,计数单位相同,但大小不相等的两个数是()、() 13、把6改成以百分之一为计数单位的数是() 14、将一根15厘米的木棒截成三根整厘米的小棒来围成三角形,最长的一根小棒不能超过() 厘米 15、5吨50千克=()吨 1.2平方厘米=()平方分米 4.1公顷=()平方米 16、直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米,这个直角三角形相互垂直的两条边分别是()() 17、观察1、2、3、6、12、23、44、X、164的规律,可知X= () 18、如果12=1×1,22=2×2,32=3×3.....252=25×25,且12+22+....252=5525,那么32+62+...+752=9×5525= 19、近似数是1.0,这个两位小数最小是(),最大是()。 20、甲、乙两数的和是264,把甲数的小数点向左移动一位,则两数相等。甲数()乙数()。 21、两个一样的三角形可以拼成()。两个一样的直角三角形可以拼成()()()。两个一样的等腰直角三角形可以拼成()()()。 22、等腰三角形的底角是顶角的2倍,顶角是()。 23、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒,从中选3根搭成一个三角形,有()种不同的选法。 24、在一条长90米的小路两旁种树,如果两端都种,每相邻两棵树之间的距离是10米,可以种()棵。 25、要在五边形的水池边上摆上花盆,使每一边都有4盆,最少需要()盆。 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题汇编及答案
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