(甘志国)谈谈高考数学江西卷理科压轴题word版本

谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题

甘志国(该文已发表 数理天地(高中版)，2010(9)：19，21)

本文将谈谈2010年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题：

高考题 证明以下命题：

(1)对任一正整数a ，都存在正整数)(,c b c b <，使得222,,c b a 成等差数列；

(2)存在无穷多个互不相似的三角形n ?，其边长n n n c b a ,,为正整数且2

22,,n n n c b a 成等差数列.

参考答案 (1)易知2227,5,1成等差数列，所以222)7(,)5(,a a a 也成等差数列，即对任一正整数a ，都存在正整数)(7,5c b a c a b <==，使得222,,c b a 成等差数列.

(2)若222,,n n n c b a 成等差数列，得 2222n n n n b c a b -=-

))(())((n n n n n n n n b c b c a b a b +-=+- ① 选取关于n 的一个多项式，例如)1(42

-n n ，使得它可按两种方式分解因式，由于 )22)(22()22)(22()1(4222n n n n n n n n +-=-+=-

所以，可令

???????+=+-=--=++=-n n b c n b c n n a b n a b n n n n

n n n n 2222222222

即 )4(121

12222≥??

???-+=+=--=n n n c n b n n a n n n 易证n n n c b a ,,满足①，所以2

22,,n n n c b a 成等差数列.

当4≥n 时，n n n c b a <<，且0142>+-=-+n n c b a n n n ，所以以n n n c b a ,,为边长可以构成三角形，将此三角形记为)4(≥?n n .

任取正整数),4,4(,n m n m n m ≠≥≥，若m ?与n ?相似，得

1

212111212222222-+-+=++=----n n m m n m n n m m 11

)

1()12()1()12(12121122222222--=+--++--+=-+-+=++n m n n n m m m n n m m n m 11

)

12()1()12()1(12121122222222++=---+---+=----=++n m n n n m m m n n m m n m n m n m n m =--=++,1

111 这与n m ≠矛盾！所以任意两个三角形m ?与),4,4(n m n m n ≠≥≥?互不相似.即欲证成立.

在本题第(2)问中，有222n n n c b a ≥≥或222n n n c b a ≤≤.若222n n n c b a ≥≥，又设),,(),,(y z x c b a n n n =，得z y x ,,是互质的正整数且

),(2222x z y y x z y x >+≥=+ ② 求方程②的正整数解就是解不定方程问题.

早在1995年，笔者就在文献[1]中给出了以下结论(也可见专著[2])：

定理1]1[ 方程z y x z y x ,,(22

22=+两两互质，)y x >的全部正整数解为 ???????+=--=+-=22222222s r z rs

s r y rs s r x

其中∈s r ,N*2,,s r >?s r +(“?”表示不整除)1),(,=s r .

证明 有222y x +，因为1),(=y x ，所以y x ,均为奇数.

由y x >知，可设∈=-=+b a b y x a y x ,(2,2N*)，所以1),(,,=-=+=b a b a y b a x .

把它代入2

222z y x =+，得222z b a =+，且由1),(=b a 得z b a ,,两两互质，由勾股数组的求法(参见文献[3])，得

??

???-=-==22222s r z s r b rs a 或

?????-==-=22222s r z rs b s r a 其中∈s r ,N*2,,s r >?s r +1),(,=s r .所以