量子力学复习题答案与题解

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2量子的概念是如何引进的p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程p32什么是束缚态p37什么情况下量子系统具有分立能级p37什么是基态p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L η+= ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L η= 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离00.52A a =o( 3分) 113.6eV E =( 3分)可见光的能量不超过, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68s, p, d, f 态粒子是什么含义p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

P92什么是Q 表象p108久期方程带来的好处是什么p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。

P117写出幺正变换的两个重要性质。

P118应用微扰法的限制条件是什么p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤。

P136写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。

P145写出黄金规则公式，并解释其含义。

P154什么是量子力学中的共振现象p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么p197电子自旋的取值有何特点p196写出泡利矩阵。

P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）。

P198C-G 系数是如何定义的其中各参数的含义是什么p209在角动量耦合问题中，j1和j2给定后，j 的取值范围是什么p210写出全同性原理。

P217什么是费米子什么是玻色子P220写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义。

P223什么是自旋单态和三重态P223根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量—动量关系，“推导”单粒子薛定谔方程。

P27 推导定态薛定谔方程。

P32一个质量为m 的粒子置于宽度为a 的无限深势阱中：00()x aV x ≤≤⎧=⎨∞⎩其它求该系统的能量本征值。

P34解：设系统波函数为()x ψ当0x a ≤≤时，薛定谔方程可以写为222()()2x E x m x∂-ψ=ψ∂h (1) 当0,x x a <>时，薛定谔方程可以写为222()()()()2x V x x E x m x∂-ψ+ψ=ψ∂h 当()V x →∞时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 ()0x ψ=。

令222mEk =h，可将(1)式化为 222()()0x k x x∂ψ+ψ=∂ (2) 则方程(2)的解可以写为()sin cos x A kx B kx ψ=+由波函数的连续性可得∞∞a()(0)0a ψ=ψ=即sin cos 00A ka B ka B +=⎧⎨=⎩，得sin 0A kaB =⎧⎨=⎩ (3)由于当0A =，0B =时，系统波函数()0x ψ=，与粒子的存在相矛盾，所以A ，B 不能同时为0，所以(3)式的解为B ＝0，sin ka ＝0，由此有ka n π= ( n = 0，±1，±2，±3，…)因为n ＝0对应()0x ψ=，故舍去， n 取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可， 因此n k a π=，再结合222mE k =h 得， 22222mE n a π=h 即系统能量本征值为 22222n E maπ=h (n =1，2，3，…)。

证明厄米算符的本征值是实数。

P56证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。

P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在X 方向上两算符满足[]ˆˆ,x xp i =h 。

P87 证明：在Q 表象中, Qˆ算符本身的表示矩阵是对角的。

P110 试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。

P131 一电荷为e 的线性谐振子受恒定弱电场 ??作用，电场沿正x 方向。

用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求能量修正。

P137用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出其中各量是何含义尝试波函数如何选取p146写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。

P196(1) 每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =±h；(2) 每个电子具有自旋磁矩S M ，它和自旋角动量S 的关系是S eμ=-M S ，式中-e 是电子的电荷，μ是电子的质量。

在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象什么是耦合表象写出两种表象基矢的关系式。

P208写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。

P223写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明 ˆ[,a†]1ˆa =。

P125由坐标表象下的薛定谔方程推导Q 表象下的薛定谔方程（分量形式和矩阵形式）。

P113证明自旋算符满足：2ˆ[,s ˆ]0z s =，其中 2ˆs =2ˆx s +2ˆy s +2ˆz s 。

P198对泡利矩阵证明:（1）[y x σσˆ,ˆ]z i σˆ2=;（2）z σˆ的本征值为1±, 并求出相应的归一化本征矢；（3）x σˆ在z σˆ的两个本征态中的平均值皆为0。

P202答：泡利矩阵: 01,10x σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0,0y i i σ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10,01z σ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（3分） （1）01000110[,]2210001001x y x y y x z i i i i i i σσσσσσσ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3分）（2）1001z a a u u b b σλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即，由此得久期方程：210101λλλ-=-=--解得1λ=±（4分）设平面波具有如下一般形式：()(,)i t t Ae ωψ⋅-=k r r其中A 为常数，k 和??满足2/2m ω=h k 。

(1) 试验证平面波满足自由粒子薛定谔方程。

(2) 解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。

（1）22(,)()(,)2i t t t mψψ∂=-∇∂h h r r 左边 =22()()()()()2i t i t i t i t i Ae i A i e A e Ae t mωωωωωω⋅-⋅-⋅-⋅-∂=-==∂h h h h k r k r k r k r k 右边 =2222()2()()()()()222i t i t i t Ae A i e Ae m m mωωω⋅-⋅-⋅--∇=-=h h h 2k r 2k r k r k k 左边 = 右边（2）平面波不满足平方可积条件2*(,)(,)t t d A d ψψττ==∞⎰⎰r r上述积分的涵义是粒子存在的总几率，应当是有限值。

所以平面波不能严格代表一个自由粒子。

◇(a) Write the postulate for the relationship between an observable and the result of its measurement. (b) Suppose a system is at the superposition state of two energy eigenstates: 1122|||c c ψϕϕ〉=〉+〉. What result would be obtained when measuring the energy of the system (10 marks) 解：（a ）一个可观察量可以用一个厄米算符表示，它的本征函数组成完备系，对它进行测量的结果，只可能是它的本征值之一。

若体系处于本征态，则测量值即为本征值。

（6分） （b ）当系统处于由2211ϕϕϕC C +=所描述的态时，对系统能量的测量结果只可能是态1ϕ和2ϕ所对应的能量本征值1λ，2λ之一。

并且测得i λ的概率为2i C （其中i =1，2）（4分）。