分式不定方程1
初升高自招之一元整式方程,分式方程,无理方程与不定方程
1、一元整式方程2、分式方程3、无理方程 不定方程一、一元整式方程的解法 1、基本公式（1）关于x 的一次方程()00ax b a +=≠的解为b x a=-（2）关于x 的二次方程()200ax bx c a ++=≠的解为x =（3）()()()()1122n n f x a x b a x b a x b =++⋅⋅⋅+，则方程()0f x =的解为111b x a =-，…，nn nb x a =-（4）韦达定理：已知()200ax bx c a ++=≠，则12b x x a +=-，12c x x a⋅=二、在解高次方程，分式和无理方程时，常常会用到换元法三、不定方程形如4x y +=，3x y z ++=，111x y+=的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程，这些方程的解释不确定的，通常研究：（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解对于二元一次不定方程问题，有以下两个定理：对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法．一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1、求方程()101xy x y －＋＝的整数解．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地． 例2、求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多． 例3、求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，． 运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例4、证明：不定方程22386x y z ＋－＝没有整数解．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理．例5、证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．变式练习：1. 解下列方程（1）()()()()234544x x x x ++--=（2）()244626x x +-=三、一元高次方程例1、解方程：322480x x x --+=例2、解方程()()()2673416x x x +++=例3、()()443182x x +++=例4、解方程组：222444020560x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩变式练习： 2.解下列高次方程()()44132720x x +++-= 43223320x x x x +-++=四、分式方程例1、解方程2247272180 14x x xx x x+-+-= -+例2、45785689 x x x xx x x x-----=-----例3、22221212 x x x xx x x x++-+=--+-五、无理方程=-例13变式练习：1. 解下列方程（1）21830x x ++=（2）0=六、不定方程例2、求方程63823x y +=-的整数解.2、多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二院一次不定方程来求解 例3、求方程12836100x y z ++=的所有整数解变式练习：3、—个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21,则小明摸出的球中红球个数最多为几个？1、【2011年华二】已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =2、【2011年华二】关于x 、y的方程组1x y x yx y-+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解3、【2012年华二】方程22222x y z w u +++=共有 组整数解4、【2013年复附】已知221766xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234x x y x y xy y ++++的值；5、【2013年上中】13. 解方程组2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩6、【2014年复附】方程2354235x x x x +=----的根为 ．7、【2014年华二】解关于x 的方程1|2|32x a --=.8、【2016年交附】解方程：22321x x -+=.9、若实数x ，y ，z ，满足14x y +=，11y z +=，173z x +=，求xyz 的值．10、已知2a ≥x =的所有实根之和．11、解方程()()()()214719x x x x -+++=11、求方程2432x x y y y y =＋＋＋＋的整数解． 答案：求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ① 下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋()222212y y y y ＝＋＋－＋()2222341y y y y ＝＋＋＋＋，从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋． 由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立．因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是（x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）．例5 解方程(x －2)(x ＋1)(x ＋4)(x ＋7)＝19．基本思路 利用对等性，配对相乘(x －2)(x ＋7)，(x ＋1)(x ＋4)，整体代换y ＝x 2＋5x－5，转化为y 2＝100．解 两两相乘，考虑整体代换．[(x －2)(x ＋7)][(x ＋1)(x ＋4)]＝19，(x 2＋5x －14)(x 2＋5x ＋4)＝19．令222(514)(54)552x x x x y x x +-++==+-，则有 (y －9)(y ＋9)＝19，即 y 2－81＝19，解得 y 1,2＝±10．当y ＝10时，x 2＋5x －5＝10，解得1,2x =；当y＝10时，x2＋5x－5＝－10，解得3,4x=；若实数x，y，z满足x＋1y＝4，y＋1z＝1，z＋1x＝73，求xyz的值．基本思路题中有三个元x，y，z，可先化为关于一个元如x的关系式，进而转化为x 的一元二次方程．解因为4＝x＋1y＝x＋111z-＝x＋1zz-．＝x＋7137113xx---＝x＋7343xx--，则有 4(4x－3)＝x(4x－3)＋7x－3，即 (2x－3)2＝0，得x＝32．所以z＝713x-＝53，y＝11z-＝25．于是xyz＝1．思考如果x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，x，y，z是实数，问xyz的值是多少？1、已知a≥2x的所有实根之和．基本思路引入另一个元y，以x，y形式构成等式y2－x－y＝x2，简化为x＋y＝0或x－y＝－1．然后，求解方程x＋1．解由题得x≥0，又a≥2，则a＋x＞0，a，且a＝x2．y，则a≥y＞0，且a－y＝x2．又y2＝a＋x，于是y2－x－y＝x2，得－(x＋y)＝(x－y)(x＋y)．而x ＋y ＞0，所以x －y ＝－1，即x ＝－1，整理得x ＋1，两边平方得 x 2＋x ＋1－a ＝0．解得 x 1，2．又x ≥0，所以满足要求的实数根为x故原方程的实根之和为x例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足 253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ① 没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求 6()22382mod8x y z ≡＝＋－， 矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且 ()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜，于是 3d ≤．分别令1d ＝、2、3代入，得 222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ① 由①式得 25105y ≤，所以 4y ≤． 当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）． 当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解．上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例1 求方程()101xy x y －＋＝ ①的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）．分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）．。
分式不等式的解法讲义全
不等式的解法1．一元二次不等式的解法(1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解法(如下表所示)设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2(3)对于一元二次不等式的解法需注意：①x－ax－b≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}；x－ax－b≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}．②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合．③三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．2．解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集．(2)公式法步骤：①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0；②计算对应方程的判别式Δ；③求对应方程的根；④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．3．解绝对值不等式的基本思想1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：(1)若a ＞0，则│x │＜a ⇔－a ＜x ＜a ⇔x 2＜a 2；(2)若a ＞0，则│x │＞a ⇔x ＜－a ，或x ＞a ⇔x 2＞a 2； (3) |f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )；(4)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )(无论g (x )是否为正)．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方． 2）常见绝对值不等式及解法：(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a 1|＋|x －a 2|＞(＜)b ，用零点分区间法．4．一般分式不等式的解法：(1)整理成标准型f xg x ＞0(或＜0)或f xg x≥0(或≤0)． (2)化成整式不等式来解：①fxg x ＞0⇔f (x )·g (x )＞0 ②f xgx＜0⇔f (x )·g (x )＜0 ③f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0g x ≠0 ④f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≤0g x ≠0(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集．★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式[例1] 不等式2x x >的解集是( )A ．(),0-∞ B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. ()(),01,-∞+∞【解题思路】严格按解题步骤进行[解析]由2x x >得(1)0x x ->,所以解集为()(),01,-∞+∞,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当2x =±时满足不等式,故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.[例2]已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集.【解题思路】由韦达定理求系数[解析] 由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,32-为方程220ax x c ++=的两个根,由韦达定理得11211,3232c a a-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即222120x x --<,其解集为(2,3)-.【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数【新题导练】1.不等式（a －2）x 2+2(a －2) -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)解析：∵可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B2. 关于x 的不等式(m x -1)( x -2)＞0，若此不等式的解集为{x |＜x ＜2}，则m 的取值围是A. m ＞0B.0＜m ＜2C. m ＞D. m ＜0 解析：由不等式的解集形式知m ＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式例1：解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++> 【解题思路】比较根的大小确定解集解析：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()230x ->，解集为{}3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}3x x x a <>或【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0∆>∆=∆<).③根据根的大小讨论(121212,,x x x x x x >=<).题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式log a (1－x1)＞1 (0,1)a a >≠ 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.【新题导练】3.关于x 的不等式226320x mx m --<的解集为( )A.(,)97m m -B.(,)79m m -C.(,)(,)97m m-∞-+∞ D.以上答案都不对 解析:原不等式可化为()()097m mx x +-<,需对m 分三种情况讨论,即不等式的解集与m 有关.4.解关于x 的不等式：04)1(22<++-x a ax 解析：0)2)(2(<--x axaa a )1(222-=-当⇒>⇒>a a 221⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ； 当a a 2210<⇒<<∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|， 当0<a ⇒>-+-⇒0)2)(2(x ax 2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 Φ∈⇒=>⇒=x a x a 1;205.考点3 分式不等式及高次不等式的解法[例5] 解不等式:22(1)(68)0x x x --+≥ 【解题思路】先分解因式,再标根求解[解析]原不等式(1)(1)(2)(4)0x x x x ⇔-+--≥,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:① ②所以不等式的解集为(,1][1,2][4,)-∞-+∞.【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】5.若关于x 的不等式0(3)(1)x ax x +>++的解集是(3,1)(2,)--+∞,则a 的值为_______解析:原不等式()(3)(1)0x a x x ⇔+++>,结合题意画出图可知2a =-.6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式解：①若)251()2511(2150∞++--+<<，，，则原不等式的解集为 a a ； ②若)251(215∞+++=，，则原不等式的解集为a ； ③若)251()1251(215∞++--+>，，，则原不等式的解集为 a a 7.（ 省中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)21(242>⋅-+x x x．解析：2)21(2242>⋅-+x x21422222>⋅∴-+x x即212322>-x 得65>x 所以原不等式的解集为}65|{>x x考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值围例1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,数a 的取值围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解[解析]当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所数a 的取值围为1(,)2+∞【名师指引】不等式20ax bx c ++>对一切x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪>⎩或2040a b ac >⎧⎨∆=-<⎩不等式20ax bx c ++<对任意x R ∈恒成立000a b c =⎧⎪⇔=⎨⎪<⎩或2040a b ac <⎧⎨∆=-<⎩ 题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值围.[解析] (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)1g =-.所以m 的取值围是(,1)-∞-. 【名师指引】()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥;【新题导练】8.不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值围是_______． [解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立,即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立若2+a ≠0，则⎩⎨⎧<∆>+002a ∴2>a9.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12）成立，则a 的取值围是 （ ）A ．0B ． –2C ．-52 D ．-3解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－12，即a －1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）0－52x －1若a 2－0，即a 0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝10恒成立，故a 0若0a 2－12，即－1a 0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1a 0． 综上，有－52a,故选C ．★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 不等式2560x x -++>的解集是__________解析:将不等式转化成2560x x --<，即()()160x x +-<.]2. 若不等式20x ax b --<的解集为{|23}x x <<,则不等式210bx ax -->的解集为 __________..解析:先由方程20x ax b --=的两根为2和3求得,a b 后再解不等式210bx ax -->.得11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭3. (省五校2008年高三上期末联考) 若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值围是 ．解析： 2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，就是1= [()g x ]max ＜21a a ++ 所以(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞4(08)设命题P ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+121对一切正实数均成立。
不定方程的基本解法 - 成长博客博客教育博客教师博客
不定方程的基本解法湖北省仙桃一中（433000） 林明祥不定方程是指末知数的个数多于方程的个数的方程，它形式多样，应用广泛，解法灵活，通常只求它的整数解。
下面介绍不定方程的基本解法，以期从中找到解不定方程的钥匙。
一、运用公式和辗转相除法例1 求方程15x+52y=6的所有整数解。
解一 观察得x 0=42,y 0=-12,原方程的整数解为X=42-52t,Y=-12+15t. （t 为整数 ）解二 原方程变为x=-4y +1586y + , 令1586y +=t 1 得y=2t 1-86-t , 令86+t =t 2 得 t 1=8t 2-6， 故 X=42-52t 2Y=-12+15 t 2 （t 2为整数 ）【注】上述两种解法是求不定方程通解的一般方法。
二、运用配方法例2 求方程x 2 +y 2+2x-4y+4=0的整数解解：把原方程配方，得（x+1）2+(y-2)2＝1由x 、y 是整数，得 （x+1）2=0, 或 （x+1）2=1,(y-2)2=1; (y-2)2=0. 解得 x=-1 , x=-1, x=0 , x=2 , Y=3 ; y=1 ; y=2 ;y=2 . 【注】解此类不定方程的依据是整数的性质。
例3 已知a+b-21-a －42-b = 33-c -21c - 5,求a+b+c. （2000年武汉市选拔赛试题）解：把原方程配方，得 （1-a －1）2 ＋（2-b －2）2 ＋（3-c －3）2＝ 0 ⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧∴1-a －1＝0 ，2-b －2 ＝0 ，3-c －3 ＝0解得 a ＝2 ，b ＝6 ， c ＝12。
∴a+b+c ＝20。
【注】解此类方程的依据是非负数的性质。
三、运用奇偶性分析法例4 若质数m 、n 满足5m ＋7n=129,则m ＋n= .（河北省竞赛题）解：若m 、n 都是奇数，则和必为偶数，故m 、n 中必有一个为偶质数。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
六年级的不定方程归纳总理
六年级的不定方程归纳总理在六年级的数学学习中，不定方程是一个较为复杂但又充满趣味和挑战的知识点。
不定方程，简单来说，就是方程的解不是唯一确定的。
它不像我们常见的方程，比如 2x ＋ 3 ＝ 7，解只有一个 x ＝ 2。
不定方程的解有很多种可能，这就需要我们运用特定的方法和技巧去找出符合条件的解。
首先，我们来了解一下不定方程的基本概念。
不定方程通常是指未知数的个数多于方程个数的方程。
比如 2x ＋ 3y ＝ 10 ，这里有两个未知数 x 和 y，但只有一个方程。
那么，怎么求解不定方程呢？一种常见的方法是通过列举法。
以方程 2x ＋ 3y ＝ 10 为例，我们可以从 x ＝ 0 开始，依次列举 x 的值，然后计算出对应的 y 值。
当 x ＝ 0 时，3y ＝ 10，y 不是整数；当 x ＝ 1 时，2 ＋ 3y ＝ 10，3y ＝ 8，y 也不是整数；当 x ＝ 2 时，4 ＋ 3y ＝ 10，3y ＝ 6，y ＝ 2 。
就这样，通过不断地尝试和计算，找到符合方程的整数解。
除了列举法，还有一种方法叫做余数分析法。
比如方程 5x ＋ 7y ＝31 ，我们可以先考虑 5x 除以 7 的余数。
因为 5 乘以 7 的倍数再加上余数才能得到 5x 的值。
通过分析余数，逐步缩小解的范围。
接下来，我们通过一些具体的例子来加深对不定方程的理解。
例 1：有一些苹果和梨，苹果每个 3 元，梨每个 5 元，一共花了 23 元，问买了几个苹果和几个梨？设买了 x 个苹果，y 个梨，则 3x ＋ 5y ＝ 23 。
我们用列举法来求解。
当 x ＝ 0 时，5y ＝ 23，y 不是整数；当 x ＝ 1 时，3 ＋ 5y ＝ 23，5y＝ 20，y ＝ 4 ；当 x ＝ 2 时，6 ＋ 5y ＝ 23，5y ＝ 17，y 不是整数；当x ＝ 3 时，9 ＋ 5y ＝ 23，5y ＝ 14，y 不是整数；当 x ＝ 4 时，12 ＋5y ＝ 23，5y ＝ 11，y 不是整数；当 x ＝ 5 时，15 ＋ 5y ＝ 23，5y ＝ 8，y 不是整数；当 x ＝ 6 时，18 ＋ 5y ＝ 23，5y ＝ 5，y ＝ 1 。
初等数论第二章：不定方程
( y0 y ) 是整数, 令这个整数为t1 , 代入上式,得 a x x0 bt1 , 即x x0 bt1 . 同时由 ( y0 y ) t1 , 得y y0 at1 . a
1、辗转相除法 对于ax+by=c,先利用辗转相除法得到 ax+by=1的一个解;再两边乘于c,得到ax+by=c的一个解; 最后运用定理(2.2)写出一切整数解.
§2.2 解二元一次不定方程
• 对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研 究,最理想的结果是能像一元二次方程那 样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式. • 这个公式是能够找到的,但它是建立在方 程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的 基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个 整数解就成为求出它一切整数解的关键.
)
（6）的解为：y 2 33t , x y x 3 37t (t 0, 1, 2,
)
从而原方程的解为：x 3 37t , y 2 x y 8 107t (t 0, 1, 2, )
或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（2. 1）式有一组整数解x0，y0 .
注：定理的证明过程实际给出求解方程（2.1）的方法：
分式不等式的解法课件
转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元二次不等 式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次 不等式。然后，根据一元二次不等式的解法，求解这个不等 式组，得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识 相结合，如代数、函数、方程等。这些题 目通常需要学生综合运用多个知识点来解 题，旨在提高学生的数学综合素质和问题 解决能力。解决这些题目需要学生具备扎 实的数学基础和灵活的思维，能够从多个 角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观 看
THANKS
分子和分母同号时，解集为空集；分子和分母异号时，解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母，将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母，通过乘以适当的正数消去分母。然后，将不等式 两边进行整理，使其成为一元一次不等式的形式。最后，解这个一元一次不等 式组，得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理，将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组，然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式，通过移项和整理，将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后， 根据一元高次不等式的解法，求解这个不等式组，得出解集。
分式不等式的解法
一不等式的解法1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：表示到原点的距离公式法：,与型的不等式的解法.2 整式不等式的解法根轴法（零点分段法）1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；2）分解因式；3）标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。
注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）；4）穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。
注意：偶次重根不能穿过)；一元二次不等式解法步骤：1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；2）首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）3 分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，2）转化为整式不等式（组）4 指数、对数不等式的解法①当时②当时二．练习1. 不等式的解集是2. 不等式的解集是3. 不等式的解集是4. 不等式的解集是5. 不等式的解集是6. 不等式的解集是7. 不等式的解集是 8. 不等式的解集是9. 不等式的解集是 10. 不等式的解集是11. 不等式的解集是 12. 不等式的解集是13. 不等式的解集是 14. 不等式的解集是15. 不等式的解集是 16. 不等式的解集是17. 不等式的解集是 18. 不等式的解集是19. 不等式的解集是 20. 不等式的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6.7.8. (1，2)9.10.11.12.13.14.15.16. [-1，2]17.18.19.20.课题分式不等式的解法任课杨文。
专题二、分式不等式的解法
（一）分式不等式：型如：0)()(>x x f ϕ或0)()(<x x f ϕ（其中）（、x x f ϕ)(为整式且0≠）（x ϕ）的不等式称为分式不等式。
（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1）0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ （3）0)()(0)()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ（2）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式 （2）转化为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正） （1）分式不等式的解法：解关于x 的不等式0231>-+x x方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为：⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x变式一：0231≥-+x x等价转化为：⎩⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x比较不等式0231<-+x x 及0231≤-+x x 的解集。
（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）练一练：解关于x 的不等式 例1、 解关于x 的不等式：232≥+-x x 解：0232≥-+-x x 即，038≥+--x x038≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）等价变形为：⎩⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x∴原不等式的解集为[)3,8--例2、解关于x 不等式23282<+++x x x 方法一：322++x x恒大于0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。
例3、 解关于x 的不等式：1≥xa 解：移项01≥-x a通分 0≥-x x a 即，0≤-xa x等价转化为，⎩⎨⎧≠≤-00)(x a x x当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1， ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法：设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、，则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ；①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1x x ,R x ≠∈且.②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3<x |x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x (g )x (f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ， ∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.练习：1.课本P 21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.练习：解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）1. 不等式222310372x x x x ++>-+的解集是2. 不等式3113x x +>--的解集是3. 不等式2223712x x x x +-≥--的解集是4. 不等式1111x x x x -+<+-的解集是 5. 不等式229152x x x --<+的解集是 6. 不等式22320712x x x x -+>-+的解集是 7. 不等式2121x x x +≤+的解集是 8. 不等式2112x x ->-+的解集是 9. 不等式23234x x -≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)x x x -<+-的解集是 11. 不等式2206x x x x +<+-的解集是 12. 不等式2121x xx +<-的解集是 13. 不等式2321x xx x +>++的解集是 14. 不等式211(3)x >-的解集是 15. 不等式(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--的解集是 16. 不等式2311x x +≥+的解集是17. 不等式1230123x x x +->---的解集是 18. 不等式25214x x+≤--的解集是 19. 不等式221421x x x ≥--的解集是 20. 不等式221(1)(2)x x x -<+-的解集是 答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6.7. 8. (1，2)9. 10.11. 12.13. 14.15. 16. [-1，2]17. 18.19. 20.。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
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分式不定方程（1）
求分式方程
的整数解. 【分析】
可以考虑在等式右边乘上1，再把这个1拆解为两个分数之和的形式，
( )
这两个分式的分子应该是原方程右方分母7的因数；
而分母则是原方程右方分子1的倍数.
【解答】
假设这两个分数我们取7和1：
( ) （分子是7的因数）
分母自然是这两个数之和7+1=8，这样可以使括号内的数值等于1。
( ) （分母是1的倍数） 然后进一步计算方程右边的分式：
( )
对比方程左右，可知x=8 ,y=56
用穷举法，继续尝试因数1和7的其它组合：
（1,1） → ( )
（1，-7） → (
) -1不符筛选原则，舍去 （-1，7） → ( )
（7,7） → ( ) 答案重复，舍去
考虑到方程的对称性，x,y 的值可以轮换，得最后方程的解为： { x 4y 4 或 { x y 或 { x y
或 { x y 42 或 { x 42y
【点评】搜索时，分析中的三条原则是关键；这种方法是可以推广的。