数学选修4-5测试题
上海上海大学附属学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（ ） A．3 B．3 C．D．3．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．64．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8D ．95．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,496．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A．B ．4C ．12D ．67．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3B ．1C ．12D ．138．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．165C ．3D ．259．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 10．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．3411．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 14．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___． 15．函数()25f x x x =+-的最大值为___________. 16．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x yxy 2+≥②， ③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________． 18．已知x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为_______． 19．若, 且，则的最小值为________．20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．三、解答题21．已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 23．已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=. （1）求a bc 的最大值；（2）求证：14936a b c++≥ 24．已知实数a ，b ，c 均为正数.（1）若2a b >，求22(2)a b a b +-的最小值；（2）若2225a b c ++=，证明：5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 25．对a ∀∈R ，11a a ++-的最小值为M .（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z M ++=，证明：2222x y zy z x++≥； （2）若三个实数x 、y 、z 满足x y z M ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++≥恒成立，求m 的取值范围.26．已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值； （2）证明：222242a b b c c +-+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e ⨯+≤++, 即12132422e ≤⨯=当且仅当12113e =即12e =26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立. 即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100,则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0.∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．A解析：A 【解析】x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．8．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．9．D解析：D 【详解】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法10．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．12．B解析：B 【解析】试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设考点：反证法二、填空题13．【分析】建系不妨设则再利用柯西不等式将所求转化为利用换元法求出最大值最小值显然为共线方向时取得【详解】不妨设由已知得令则又显然当向量反向时最小即此时综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量数量解析：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】建系，不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，则a b ⋅mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ⋅(1)mx ny m x ny x x =+=-++≤=x ，令[0,2]t =∈221111(1)2222x t t t =-=--+≤，又显然当a ，b 向量反 向时，a b ⋅最小，即(2,0)a =-，(2,0)b =，此时4a b ⋅=-，综上，a b ⋅的取值范围是14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.14．【分析】利用柯西不等式求解【详解】由柯西不等式得：当且仅当即取等号故M 的最大值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式得：22221x y ⎡⎤⎡⎤≤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，=，即221x y +=取等号. 故M 的最大值为1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．5【分析】利用柯西不等式变形为求解【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立故答案为：5【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题还考查了转化化归运算求解的能力属于中档题解析：5 【分析】利用柯西不等式，变形为(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦求解.【详解】 由柯西不等式得(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦.()5f x ∴=≤=，即4x =时，等号成立. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.16．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确；()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1)(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以23a b c ++≤23a b c ++的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．3【分析】利用柯西不等式即可求解；【详解】由和柯西不等式可得：(所以即的最大值为3故答案为3【点睛】本题主要考查不等式在最值问题中的应用柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法难度较小解析：3 【分析】利用柯西不等式，即可求解； 【详解】由x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，和柯西不等式可得： (()()2222222)12222x y z x y z ++++≥++，所以()2229x y z ++≤， 即22x y z ++的最大值为3. 故答案为3 【点睛】本题主要考查不等式在最值问题中的应用，柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法，难度较小.19．【解析】试题分析：利用柯西不等式则；考点：柯西不等式 解析：4【解析】试题分析：利用柯西不等式2222222()(212)(22)36x y z x y z ++++≥++=，则222x y z ++4≥；考点：柯西不等式20．12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6∴根据柯西不等式得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）a2+（2b ）2+（3c ）2化简得62≤3（a2+4b2解析：12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）[a 2+（2b ）2+（3c ）2]化简得62≤3（a 2+4b 2+9c 2），即36≤3（a 2+4b 2+9c 2）∴a 2+4b 2+9c 2≥12，当且仅当a ：2b ：3c=1：1：1时， 即22,1,3a b c ===,时等号成立，a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 考点：柯西不等式的应用．三、解答题21．（1）2m =-；（2）证明见解析；【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．【详解】（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．【点睛】本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，属于中档题．22．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式23．（1）18；（2）证明见解析. 【分析】（1）变换得到22a a abc b c ++=+++，再利用均值不等式解得答案. （2）直接利用柯西不等式得到证明.【详解】（1）22a a a b c b c ++=+++≥42144a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，6212a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，31128⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，当且仅当124a b c ===，即12a =，14b c ==时取得最大值18. （2）由柯西不等式得： ()()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=， 当16a =，13b =，12c =时等号成立，1a b c ++=，14936a b c ++≥∴. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.24．（1）8；（2）证明见解析.【分析】（1）构造基本不等式24(2)2(2)b a b b a b =--，a ≥24162(2)b a b a≥-，对原式再次运用基本不等式即可得结果； （2）由题意可得512b c a a a +-=≥，同理可得其余两式，相乘即得结果. 【详解】（1）解：2224(2)2(2)a ab a b b a b +=+--，又2(2)a b a b =+-≥ 故24162(2)b a b a ≥-，22241682(2)a a b a b a +≥+≥=-， 当且仅当2a =，12b =时等号成立，故22(2)a b a b +-的最小值为8. （2）证明：由2225a bc ++=，得512b c a a +-=≥b c =时取等号），①512a c b b +-=≥（当且仅当a c =时取等号），②512a b c c +-=≥（当且仅当a b =时取等号），③ 又因为实数a ，b ，c 均为正数，由①⨯②⨯③，得5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当56a b c ===时取等号）， 故5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，在证明不等式中的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于中档题.25．（1）见解析（2）(][),02,-∞+∞ 【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得2M =，再由基本不等式和累加法，即可得证；（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．【详解】（1）由a ∀∈R ，|1||1||11|2a a a a ++-+-+=，当且仅当11a -时取得等号，可得2x y z ++=，又,,0x y z >，2222x x y y x y y+⋅=， 同理可得22y z y z +，22z x z x+， 三式相加可得，2222x y z x y z y z x++++=， 当且仅当23x y z ===时，取得等号， 则2222x y z y z x++； （2）2221(2)(1)()3x y z m -+-++恒成立，等价为2221(2)(1)()3min x y z m ⎡⎤-+-++⎣⎦，由()22222222111(2)(1)()(21)(1)x y z m x y z m m ⎡⎤++-+-++-+-++=-⎣⎦， 当且仅当21x y z m -=-=+可取得等号．则211(1)33m -，即|1|1m -，解得2m 或0m ≤，即m 的取值范围是(][),02,-∞+∞．【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的性质，基本不等式、柯西不等式的运用，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，属于中档题．26．（1）最小值为9；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意，1a b +=，将目标式化简可得21ab+，再利用基本不等式求最值即可； （2）将不等式左边化简可得()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，运用柯西不等式即可得证.【详解】（1）当5c =时，1a b +=， ∴222222111111a b a b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111a a b b a b -+-+=()()1121a b ab ab++==+，又1a b =+≥（当且仅当a ＝b 时取等号），则14ab ≤， ∴221121119a b ab ⎛⎫⎛⎫--=+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9； （2）证明：()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，由柯西不等式有，()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤+-+-++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取等号）， ∴2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥， 又6a b c ++=， ∴()()222123a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当a ＝1，b ＝2，c ＝3时取等号）.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A．B．C． D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n a na b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A1 BC1D6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B．C ．18D ．97．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,499．y=x 的最大值是 （ ） A ．1B ．2CD ．410．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( ) A ．3B ．1C．3D11．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n12．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．34二、填空题13．已知,,,,,(0,)x y z R αβγπ+∈∈，且222346,2x y z αβγπ++=++=，则sin sin sin xy xz yz αβγ++的最大值为________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．设x ，y ，z 均为实数，则22222x y z x y z +-++的最大值是________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．函数3141y x x =++-的最大值为______________； 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____．20．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤24．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．25．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．26．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n-⨯⨯⋯⨯<∈即得解.【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n a nb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴，∴<， 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k-⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】()21122n n a x a x a x +++()()2222221212111nn aa a xx x ++++++=⨯= ，当且仅当12121nnx x x a a a ==== 时取等号. ∴1122n n a x a x a x +++ 的最大值是1故选：A 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.6．B解析：B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221xx =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 12．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ．考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．二、填空题13．【分析】如图所示：设则根据柯西不等式证明得到利用上面不等式得到得到答案【详解】如图所示：过作于设故当时根据柯西不等式：故当时等号成立即即即故当三点共线且时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等【分析】如图所示：设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，则sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=，根据柯西不等式证明222()a b a b x y x y++≥+，得到()22222346a h b h z ++++=，利用上面不等式得到)()6ABC m z a b ∆≥++≥，得到答案.【详解】如图所示：过O 作⊥OD AB 于D ，设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，AOB α∠=，AOC β∠=，BOC γ∠=.故sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=.当0x >，0y >时，根据柯西不等式：22222()a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++≥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故222()a b a b x y x y++≥+，当a b x y =时等号成立.222346x y z ++=，即()22222346a h b h z ++++=，即22224346a h b z +++=.即()())()222222611111111434443ABC h z a b a h b z h z a b ∆+++++=≥+≥++≥++，故2ABC S ∆≤OCD 三点共线，且3a b =，h z =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，将sin sin sin xy xz yz αβγ++表示成三角形面积是解题的关键.14．9【分析】首先根据题意利用代1法可得再借助柯西不等式即可得出结论【详解】是正数且当且仅当时取等号的最小值是9故答案为：9【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题属于基础题解析：9 【分析】首先根据题意，利用代“1”法，可得1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再借助柯西不等式，即可得出结论. 【详解】,,x y z 是正数，且1231x y z++=， 1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22323y z x y z x ≥ 2(111)=++ 9=，当且仅当3x =，6y =，9z =时取等号，23y zx ∴++的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2 【分析】 首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++≤. 【详解】 由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，≤，当且仅当202x y z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】 该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大， 由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ， ∴225x y +≤ 由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x y a b=时等号成立． ∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】因为所以故函数的最大值为 解析：52【解析】 因为(()()2223141341150x x x x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5218．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．19．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等 解析：【解析】 试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于． 考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式 解析：10k >【解析】 试题分析：由柯西不等式得22(3)(13)()x y x y ≤++，所以310x y x y ≤+10k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++， 因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤， 当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=， 利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-； 当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =． 从而11m n+=，因为0m >，0n >，所以由柯西不等式得()222112mn ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立） 【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >； （2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.24．[]1,2-.【分析】 由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】 由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c ++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立， 所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤，所以实数x 的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.25．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】 因为()222222*********()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 26．（1）13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）【分析】（1）分别在0x ≤、01x <<和1x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可求得2228a b +=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1a =，0b =时，()1f x x x =-+，当0x ≤时，()122f x x =-≥，解得：12x ≤-； 当01x <<时，()112f x x x =-+=≥，解集为∅；当1x ≥时，()212f x x =-≥，解得：32x ≥； 综上所述：()2f x ≥的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=（当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号），()()222212242a b a b ⎛⎫∴++=≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），2a b ∴+≤即2+a b 的最大值为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用柯西不等式求最值的问题，属于常考题型.。
数学选修4-5不等式反证法与放缩法练习题含答案
7.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
由此得出结论．
【解答】
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数 ， ， 中恰有一个偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“ ， ， 都不是正数”．
故答案为： ， ， 都不是正数．
19.
【答案】
， 都不能被 整除
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“ ， 中至少有一个能被 整除”的否定是： ， 都不能被 整除，从而得到答案．
【解答】
解：
即 ， ， ，
，
得 ，
即 ，
得 ，所以 ．
故选 ．
6.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．
【解答】
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数 ， ， 都是偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有一个是奇数”，
A. ， ， 都是奇数
B. ， ， 都是偶数
C. ， ， 中至少有两个偶数
D. ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数
3.用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(答案解析)
一、选择题1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥2．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <3．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c b a c a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 7．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 28．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 9．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >10．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③11．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.14．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______. 17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．19．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 20．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三、解答题21．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 22．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.24．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 25．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()222f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.3．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(含答案解析)(4)
一、选择题1．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =的最小值是（ ） A ．5-B ．6-C ．3D ．42．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤3．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．04．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( )A ．15B ．16C ．17D ．187．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =8．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是A ．20B ．25C ．36D ．479．若a ，b R +∈，且1a b +=，则2214a b +++的最小值为 A ．22+B ．22C ．3D ．1010．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．6C ．11D ．61111．84．不等式的解集为（ ）A ．[-4，2]B ．C ．D ．12．若23529x y z ++=，则函数213456u x y z +++ ） A 5B ．215C ．230D 30二、填空题13．设,,a b c 为正实数，则a b c b c c a a b+++++的最小值为________. 14．设,,a b c 为正数，241a b c ++=2a b c 的最大值是___________ 15．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________．16．已知238x y z ++=，则222x y z ++取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.17．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________．18．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．求函数y ＝1102x x --三、解答题21．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立，证明：3a -或1a -.22．已知正实数a ，b ，c .（1）若1a b +=，求22a b +的最小值； （2）证明：32++≥+++a b c b c a c a b .23．已知a ，b ，c 为非负实数，函数()|2||2|f x x a x b c =-+++. （1）若2a =，6b =，1c =，求不等式()11f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：1499a b b c a c++≥+++. 24．已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值；（2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥．25．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围.26．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由223412x y +=得22143x y +=，运用柯西不等式有()()222169243x y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，进而得解. 【详解】 解：实数x 、y 满足223412x y +=，22143x y ∴+=， ()()222169243x y x ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭，525x -≤≤，当且仅当8y =时取等号，2z x ∴=的最小值是5-.故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.2．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9． 当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +-0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．6．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论可得mn ≥34，据此可得m +n 的最小值为18. 【详解】∵4≤log 3m ·log 3n≤22333(),24log m log n log mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(log 3mn )2≥16,∴mn ≥34.∴m+n ≥2mn ×32=18,当且仅当m=n 时等号成立. 则m +n 的最小值为18.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查对数的运算法则，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()222221111a a b b ⎡⎤⎡⎤=≤+--+=⎣⎦⎣⎦，=时，上式取等号，所以ab =()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．8．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 9．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-，又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 10．D解析：D【解析】()22221123123x y z y ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭()2222161,231111123x y z x y z =++=∴++≥=++，当且仅当362,,111111x y z ===时等号成立，22223x y z ∴++的最小值611，故选D.11．A解析：A【解析】试题分析：由于|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，由此求得不等式136x x -++≤的解集．|x-1|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到-3和1对应点的距离之和，当x=2或-4时，|x-1|+|x+3|=6，故只有当[]4,2x ∈-时，不等式|x-1|+|x+3|≤6成立，故选A ． 考点：绝对值不等式12．C解析：C 【解析】试题分析：由柯西不等式可得2222111213456111x y z ≤+++++++）（）（）∵2x+3y+5z=29，∴2111120≤），∴μ≤∴μ=值为C ． 考点：二维形式的柯西不等式．二、填空题13．【分析】设则得到根据顺序和大于等于乱序和得出不等关系式即可求解【详解】设则因为由排序不等式：顺序和大于等于乱序和可得：将上面的两个不等式相加整理得即的最小值为解析：32【分析】设0a b c ≥≥>，则a b c a c b +≥+≥+，得到111b c c a a b≥≥+++，根据顺序和大于等于乱序和，得出不等关系式，即可求解. 【详解】设0a b c ≥≥>，则a b c a c b +≥+≥+， 因为a b c ≥≥，111b c c a a b≥≥+++， 由排序不等式：顺序和大于等于乱序和可得：a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++， a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++， 将上面的两个不等式相加，整理得32a b c b c c a a b ++≥+++， 即a b c b c c a a b +++++的最小值为32. 14．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题【分析】根据柯西不等式直接求最值. 【详解】22222225()(11(2)]2a b c +≤++++=当且仅当2,5a b c ===2≤的最大值是2故答案为：2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a =，2a ，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．16．【分析】利用柯西不等式求得的最小值并求得此时的值【详解】由于故当且仅当时等号成立故故答案为【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值并求等号成立的条件属于基础题解析：8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值. 【详解】 由于()()()22222222312364x y z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.17．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为：解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611 故答案为：611． 18．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当u=v=2，即2x =±，0y =或0x =，2y =±时，2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 19．【解析】试题分析：因为所以得当且仅当即时有最小值考点：柯西不等式解析：14449【解析】试题分析：因为1a b c R a b c +∈++=，，，，所以()()22221111114912344923a b c a b c ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++++≥++⋅+⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，得()22214414949a b c +++≥．当且仅当，即23187,,494949a b c ===时，()222149a b c +++有最小值14449． 考点：柯西不等式．20．【解析】【分析】根据柯西不等式即可求出答案【详解】函数的定义域为15且y ＞0y ＝56当且仅当时等号成立即时函数取最大值【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用属于基础题解析：63【解析】【分析】根据柯西不等式即可求出答案．【详解】函数的定义域为[1，5]，且y ＞0，y ＝522221255(2)(1)(5)274x x x x ⨯--≤+-+-=⨯=35=时，等号成立，即12727x =时，函数取最大值【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，属于基础题．三、解答题21．（1）43；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得所求最小值； （2）运用柯西不等式求得222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围.【详解】解：（1）x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=，由柯西不等式可得 2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++， 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43； （2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)x y z a x y z a a ++-+-+--+-+-=+，可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +， 由题意可得2(2)133a +，解得1a -或3a -. 【点睛】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题. 22．（1）12；（2）证明见解析. 【分析】（1）由二维形式的柯西不等式，可求出结果. （2）+++++a b c b c a c a b ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，利用三维形式的柯西不等式即可证明.【详解】（1）()()()222111a b a b ++≥+=，所以2212a b +≥， 当且仅当12a b ==取等号. （2）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 2132≥- 21333=22=⨯-. 当且仅当13a b c ===取等号. 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题目.23．（1）7{|2x x <-或3}2x >；（2）证明见解析. 【分析】（1）当2a =，6b =，1c =时，不等式化简得|1||3|5x x -++>，结果分类讨论用分段函数表示即可；（2）由绝对值三角不等式可得()|2||2|f x x a x b c a b c a b c =-+++≥++=++，得到2a b c ++=，接下来解法不唯一，可将原式先拼凑为 []1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭，借鉴柯西不等式()()()2222222a b c d e f ad be cf ++++≥++进行放缩即可求解；也可直接在第一步的基础上，借鉴基本不等式2b a a b+≥的形式进行化简，两两组合，再进一步放缩即可 【详解】 （1）当2a =，6b =，1c =时，不等式()2226111f x x x =-+++>，化简得：|1||3|5x x -++>，采用零点讨论法，设()13g x x x =-++，当1≥x 时，()22g x x =+；当31x -<<时，()4g x =；当1x ≤-时，()22g x x =--；故22(1)()134(31)22(1)x x g x x x x x x +≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩，由()5g x >，解得：72x <-或32x >， 所以，不等式()11f x >的解集为7|2x x ⎧<-⎨⎩.或32x ⎫>⎬⎭（2）因为()|2||2|||f x x a x b c a b c a b c =-+++≥++=++，∵函数()f x 的最小值为2，∴2a b c ++=.证法一：根据柯西不等式可得： []1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭214≥1=36=94⨯ 当且仅当：123==a b b c a c +++，即23a =，0b =，43c =时等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ 证法二：[]1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭ 14()9()4()9()=14+4b c a b a c a b a c b c a b b c a b a c b c a c ++++++⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭ 114+4+6+12=94≥（），当且仅当23a =，0b =，43c =等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的应用，柯西不等式及基本不等式的应用，其中柯西不等式的使用对于公式的理解和应用要求较高，基本不等式的使用要注意几种常见形式，形如：)()()1,,2,,20b a a b a b R a a b R ab a a b+++≥∈+≥∈+≥>，解题时还需注意检验等号成立的条件 24．（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用12x =和32x =是方程()2f x =的解可求得m ； （2）由（1）得41a b c ++=，用“1”代换得()44111444ac bc ab a b c abc a b c ++⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭，然后由柯西不等式得结论后可证． 【详解】解：（1）由题意12223222m m m m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1m =；（2）由（1）知41a b c ++=， ∴()2441114944ac bc ab a b c abc a b c ++⎛⎫=++⋅++≥= ⎪⎝⎭ 4436ac bc ab abc ∴++≥．【点睛】本题考查已知绝对值不等式的解求参数，考查由柯西不等式证明不等式成立．解题关键是由已知条件凑配出柯西不等式的形式，从而完成证明． 25．1205a ≤≤【分析】 由题意可得222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++，结合柯西不等式即可得到2226(3)3a a -≥-，解一元二次不等式即可． 【详解】解：∵222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++2222()(3)33b c a +=-≥， 即25120a a -≤， ∴1205a ≤≤． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于中档题．26．[]1,2-.【分析】 由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】 由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c ++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立， 所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤，所以实数x 的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14B ．114C ．29D ．1293．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．5．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零6．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（ ） ABC．D．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．1310．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++< 11．若5x 1+6x 2-7x 3+4x 4=1,则222212343x 2x 5x x +++的最小值是（ ） A ．78215B ．15782C ．3D ．25312．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ） A ．33- B ．93- C ．632- D ．933+ 二、填空题13．函数2223y x x =-+-的最大值为_______.14．已知22221x y a b+= (a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．15．若,,x y z R ∈，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为________. 16．函数()122f x x x =-+-的最大值为______________.17．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则3a 13b 13c 1+++++的最大值为________．18．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 . 19．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．三、解答题21．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥. 22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥.（2）已知23x y z ++=222x y z ++的最小值.23．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.25．已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 26．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．5．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11)(11)([()()]e e ⨯+⨯≤++, 即12132422e +≤⨯=.当且仅当12113e =,即12e =,26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.7．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．8．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦29≥= 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a b ab +++有最大1111nna a ab b b ===时取最大值． 10．A解析：A 【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】 由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合柯西不等式有：()222212342549325181635x x x x ⎛⎫+++⨯+++ ⎪⎝⎭()212345674x x x x ≥+++()2123456741x x x x ≥+-+=.故2222123415325782x x x x +++≥. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 二、填空题13．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值． 【详解】∵y ==111++53x =时等号成立， ∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．14．a2＋b2≥(x ＋y)2【解析】【分析】首先分析题目由已知判断a2＋b2与(x ＋y)2的大小关系可得然后应用柯西不等式即可得到答案【详解】∵∴a2＋b2＝＝(x ＋y)2故答案为：a2＋b2≥(x ＋y解析：a 2＋b 2≥(x ＋y )2【解析】 【分析】首先分析题目，由已知22221(0)x y a b a b+=>>，判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系，可得22222222()()x y a b a b a b+=++，然后应用柯西不等式即可得到答案. 【详解】 ∵22221x y a b+=， ∴a 2＋b 2＝2222222()()[()()]x y x y a b a b a b a b++≥⋅+⋅＝(x ＋y )2， 故答案为：a 2＋b 2≥(x ＋y )2.【点睛】 该题考查的是有关利用柯西不等式比较两个式子的大小的问题，在解题的过程中，注意应用题中的条件对式子进行转化，属于简单题目.15．4【分析】根据条件及所求式子的特征可利用柯西不等式即可求得的最小值【详解】由柯西不等式可知即所以当且仅当时即当时等号成立即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用属于基础题 解析：4【分析】根据条件及所求式子的特征,可利用柯西不等式,即可求得222x y z ++的最小值.【详解】由柯西不等式可知()()()222222221222x y z x y z ++++≥++， 即()222936x y z ⨯++≥，所以2224x y z ++≥， 当且仅当22226x z y x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩时，即当4323x z y ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 即222x y z ++的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用，属于基础题.16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解．【详解】因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立．所以函数()f x =【点睛】 本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题． 17．【解析】分析：根据柯西不等式将原式进行配凑并结合已知条件加以计算即可得到的最大值详解：根据柯西不等式可得当且仅当即时的最大值为18因此的最大值为点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题在解题的过解析：【解析】分析：根据柯西不等式2222222112233123123()()()x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑，并结合已知条件1a b c ++=最大值.详解：根据柯西不等式，可得22(111=222222(111]≤++++3[3()3]18a b c =+++=，13a b c ===时，2的最大值为18，=.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.18．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配 解析：114【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥ 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114. 故答案为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 19．【解析】根据柯西不等式得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时上式的等号成立∵x2+y2+z2=1∴（x+2y+3z ）2≤14结合可得x+ 解析：【解析】根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立 ∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14，结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值 ∴=，可得x=，y=，z= 因此，x+y+z=++= 故答案为20．12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6∴根据柯西不等式得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）a2+（2b ）2+（3c ）2化简得62≤3（a2+4b2解析：12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）[a 2+（2b ）2+（3c ）2]化简得62≤3（a 2+4b 2+9c 2），即36≤3（a 2+4b 2+9c 2）∴a 2+4b 2+9c 2≥12，当且仅当a ：2b ：3c=1：1：1时， 即22,1,3a b c ===,时等号成立，a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 考点：柯西不等式的应用．三、解答题21．（1）827；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用三个数的基本不等式求最值即可；（2）将a ＋b ＋c ＝2代入，利用柯西不等式证明即可.【详解】(1)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c ≥827abc ≥，故827abc ≤. 当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827； (2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式， 可得111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22222212⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎡⎤⎣⎣+⎢⎥⎦+⎦ 21922≥=，当且仅当23a b c ===时等号成立. 所以11192a b c ++≥. 【点睛】 本题的解题关键是利用已知条件拼凑111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，观察使用柯西不等式求最值，突破难点即可.22．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.【详解】（1）,,1a b R a b +∈+=1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，()()2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当112314x y z ===时取等号， 即222x y z ++的最小值为1【点睛】本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.23．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a ++=，得32a b +≥.当12a =，32b =时，等号成立. ∴3a b +的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.24．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.25．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】解：(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+=⎪⎝⎭， 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++-⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】 （1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.。
(易错题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．33．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．274．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②；()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．函数()f x = ）A ．5B C ．1D ．26．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．7347．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．98．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D9．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．165C ．3D ．2510．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 11．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．设,,a bc 为正数，241a b c ++=的最大值是___________ 14．已知M =M 的最大值为___． 15．设x ，y ，z ________．16．已知实数a b c d ,,,满足条件1a b c d +++=，求2222832a b c d ++-的最小值是_________17．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____18．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____．三、解答题21．已知a ，b ，c 均为正数，函数()||||f x x a x b c =-+++的最小值为1．（1）求222236a b c ++的最小值；（232>． 22．已知函数()2f x x x a =++. （1）若1a =-，解不等式f (x )≤1；（2）已知当x >0时，23123()()x x x x x x ---++++的最小值等于m ，若0x R ∃∈使不等式00()()f x a f x m ->+成立，求实数a 的取值范围.23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 24．已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥． 25．若关于x 的不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2），求函数f （x ）＝（a ﹣1）（b ﹣126．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 5．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．73410．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则222a b b c a c+++++ 的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．911．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．15．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.16．函数()f x =______________.17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.19．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．20．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．三、解答题21．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．22．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M .（1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．25．已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 26．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.9．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ． 10．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 12．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.二、填空题13．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=，以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sin cos 222ββ=，此时2arctan 2αβ==，所以所求式子的最大值为9，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.14．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：12【分析】根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，所以()()()2222222400a b cx y z ax by cz ++++=++=，又由柯西不等式得：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，当且仅当a b cx y z==取等号，设a b ck x y z ===， 则,,a kx b ky c kz === 所以12a b c x y z ++=++.故答案为：12【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用等体积转化法求出M 到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC 两两垂直可得平面设M 到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M 到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解. 【详解】由PA 、PB 、BC 两两垂直，可得PA ⊥平面PBC ，设M 到三个侧面,,PAB PAC PBC 的距离分别为,,x y z ，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBC A PBC V V V x y z V ----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯ 化简得3444x y z ++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z ++++≥++，即2221641x y z ++≥，当且仅当344x y z ==，即1216,4141x y z ===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解． 【详解】 因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立． 所以函数()f x =【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题． 17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可.详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,mx ny ∴+mx ny ∴+点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 18．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不 解析：815【解析】分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=， 即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭ ；令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤， 解得111 416t ≤≤，所以328 cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815． 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.19．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 20．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为解析：12129【解析】 2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z ==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 三、解答题21．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ，即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.22．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】 （1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=. 又因为 22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.23．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果.【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14， 当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++- ⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】（1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x=，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭ ()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.25．详见解析【分析】由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【详解】因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得()()()214191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++= ⎪+++++++⎡⎭⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立． 因为11131112x y z ++≤+++， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．26．（1）1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭； （2）914【分析】（1）对()212f x x x =-+-分三种情况讨论去绝对值号，然后解不等式.（2）根据（1）先求出的m 值，用柯西不等式即可.【详解】解：（1） ()133,21212=1,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当2x ≥时，334x -≥，解得73x ≥． 当122x <<时，14x +≥，解得x ∈∅． 当12x ≤时，334x -+≥，解得13x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭．（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()222222212323a b ca b c ++++≥++， ∴222914a b c ++≥． 当且仅当23b c a ==，即314a =，37b =，914c =时，等号成立． ∴222a b c ++的最小值为914． 【点睛】考查有两个绝对值号的不等式的解法以及用柯西不等式证明不等式，中档题.。
上海上海第中学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(包含答案解析)
一、选择题1．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ）A ．9B ．3C ．1D ．62．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．3．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥5．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．96．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．67．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．98．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( )A ．B ．4C ．12D ．69．若a ，b R +∈，且1a b +=A ．2+B ．C ．3D10．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是A ．20B ．25C ．36D ．47二、填空题13．设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________14．已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________.15．设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____．16．函数()f x =______________.17．函数y 11π110αsin αcos α2⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_______ 18．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 19．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．20．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________三、解答题21．已知无穷数列{}n a 满足：00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈．（Ⅰ）证明：0n a n <≤；（Ⅱ）证明：()3312212a a a a ≤++；（Ⅲ）证明：()33312122n n a a a a a a ++++++≤……．22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥.（2）已知23x y z ++=222x y z ++的最小值.23．设x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求222111x y z x y z+++++的最小值.24．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++25．已知函数()2||f x x =．（1）求不等式()1f x >的解集； （2）若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值．26．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.2．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤.【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．B解析：B先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.7．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可.x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-， 又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．12．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.二、填空题13．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题【分析】根据柯西不等式直接求最值. 【详解】22222225()(11((2)]22a b c +≤++++=当且仅当2,510a b c ===2≤的最大值是2故答案为：2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5 【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.15．35【解析】【分析】利用反序排列推出结果即可【详解】由题意可知：是12345的反序排列时取得最小值即故答案为：35【点睛】本题考查反序排列的性质考查计算能力解析：35 【解析】 【分析】利用反序排列，推出结果即可． 【详解】由题意可知：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的反序排列时，123452345x x x x x ++++取得最小值，即152433425135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：35． 【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解． 【详解】因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立．所以函数()f x =【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题．17．【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果【详解】由柯西不等式得：y≥≥当且仅当即α即y 的最小值是【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法二倍角公式及其应用解析：3+【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由柯西不等式得：y 222211⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥211⎛⨯+ ⎝21⎛= ⎝≥(213=+当且仅当sin 21α=,即α4π=时等号成立.即y 111102sin cos πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是3+. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 19．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为解析：12129【解析】2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z ==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 20．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值.【详解】 由柯西不等式得2222221111122⎡⎤⎛⎫⎫⎡⎤⎢⎥++++≥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）根据所给不等式，结合递推公式，利用叠加法可证得结论；（Ⅱ）利用题中条件，结合不等式的放缩法即可证明；（Ⅲ）运用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论及数学归纳法即可证明．【详解】（Ⅰ）证明：由00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈， 1201n n a a --<-≤，……1001a a <-≤，叠加可得00n a a n <-≤，因为00a =，即0n a n <≤．（Ⅱ）证法一：因为101a <≤，所以3211a a ≤，3222a a ≤，所以33231212a a a a ≤++．因为2221210a a a a ≤<-+，所以122112222a a a a a a ≤+++≤． 3221222a a a a +≤，所以()2312212a a a a ≤++． 所以()33231212221a a a a a a +++≤≤． 证法二：由（Ⅰ）知11a ≤，22a ≤，3211a a ≤，且211222a a a a ≤⋅⋅．因为211a a -≤，所以211a a ≤+，所以322222212122a a a a a a a ≤⋅+⋅+≤．所以()21332212121222a a a a a a a a ++=+≤+． （Ⅲ）证明：当1,2n =时，由（Ⅱ）知结论成立；假设n k =时，不等式成立，即()33312122k k a a a a a a ++++++≤……． 当1n k =+时，()2121k a a a ++++…()()212121212k k k k a a a a a a a a ++=++++++++…… ()33221213112k k k k a a a a a a a a ++≥++++++++……．要证()3331221211k k a a a a a a +++++≥+++……成立， 只需证()21131212k k k k a a a a a a +++++++≥…成立， 即证()122112k k k a a a a a ++++++≥…成立，因为222211a a a a -≤+， 223232a a a a ≤-+，……，2211k k k k a a a a ++≤-+，叠加可得()112122112k k k k a a a a a a a -++≤++++++…． 所以()122112k k k a a a a a ++++++≥…成立． 综上所述，()33312122n n a a a a a a ++++++≤……． 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用、证明的方法，数学归纳法证明不等式中的应用，属于难题．22．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.【详解】（1）,,1a b R a b +∈+=1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，()()2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当112314x y z ===时取等号， 即222x y z ++的最小值为1【点睛】本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.23．14【分析】利用1x y z ++=，构造符合柯西不等式条件的标准形式，根据柯西不等式即得所求最值.【详解】由柯西不等式可得，()()2222111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭因为1x y z ++=， 即22241111x y z x y z ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭ 22211114x y z x y z ∴++≥+++， 当13x y z ===时，等号成立， 故222111x y z x y z+++++的最小值为14. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，解题的关键是构造符合柯西不等式条件的标准形式，属于中档题.24．证明见解析【分析】 运用柯西不等式可得222222211[1()()](49)()23a b c a b c ++++++，结合条件即可得证． 【详解】 由柯西不等式可得222222221111[1()()](49)(23)()2323a b c a b c a b c ++++++=++， 所以2222()4911149a b c a b c ++++++， 由7a b c ++=，可得2224936a b c ++（当且仅当36497a b c ===时，取得等号）． 【点睛】 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 25．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】(1)化简得|3|2||1x x -->①当0x ≤时，()3(2)3f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即331x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)249233a b c f ⎛⎫++=+=⎪⎝⎭， 所以1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦2211196(149)333⎡≥⨯⨯=++=⎢⎣.当且仅当314a b c===时，等号成立.所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题型. 26．[]1,2-.【分析】由柯西不等式得()2222236a b ca b c++++≥=，转化条件得()3f x≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x=++-≥+-+=，即可得解.【详解】由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c++≤++++，所以()2222236a b ca b c++++≥=，当且仅当121a b c==即b=a c==时，等号成立，所以()222a b c f x≥++恒成立()3f x⇔≤，因为()12123f x x x x x=++-≥+-+=，当且仅当12x-≤≤时，等号成立，所以()3f x≤的解集为12x-≤≤，所以实数x的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（ ） A ．1B ．2C ．52D ．33．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b ma b b n a m++<<<++ 4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．已知01x y a <<<<，log log a a m x y =+，则有（ ） A ．0m < B ．01m <<C ．12m <<D ．2m >6．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <7．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ）A ．42-B ．4C ．不存在D ．528．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd9．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a |>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 10．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是A ．a a x y -->B ．ax ay <C ．x y a a <D ．log log a a x y >11．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b| B ．若a ＞b ，则11a b< C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 212．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点(2,2)-，(2,1)，(2,3)，(2,4)-，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 14．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.15．若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知11()22f x x a x a x a x x =+-+--+-0x >（）的最小值为32，则实数a =____. 18．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 19．设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______．20．设函数1()||||f x x x a a=++-(0)a >，若(3)5f <，则a 的取值范围是_____. 三、解答题21．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ≠）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算. 22．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 24．已知函数()3f x x x a =-++． （1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -． 26．已知函数()21f x x ax a =-+-．（1）求不等式()0f x <的解集；（2）当[]0,x t ∈时，不等式()()121f x x a ≤+-对任意的0a >恒成立，求实数t 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥， 即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.3．A【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n aa a mb n b ++<<<++。
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数学第二次月考试题
一、选择题
1．若a＞b，c为实数，下列不等式成立是（ ）．
A ac＞bc B ac＜bc C ac2＞bc2 D ac2≥bc2
2．不等式│3-x│＜2的解集是（ ）．
A {x│x＞5或x＜1} B {x│1＜x＜5} C{x│-5＜x＜-1} D {x│x＞1}
3．如果（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必须满足（ ）．
（A） a＜0 B a≤-1 C a＞-1 D a＜-1
4．设f(x)在(－∞, +∞)上是减函数，且a+b≤0，则下列各式成立的是
A f(a)+f(b)≤0 B f(a)+f(b)≥0
C f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b) D f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)
5. 函数521102yxx的最大值为 （ ）
A．326 B．36 C． 6 D．26
6. 设)(21312111)(Nnnnnnnf，则)()1(nfnf （ ）
A．121n B．221n C．221121nn D．221121nn
7. 用数学归纳法证明“122nn对于0nn的正整数n都成立”时，第一步证明中起始值
0n应取 （ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
8. 在数列{an}中，a1＝13，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式( )
A.1(n－1)(n＋1) B.12n(2n＋1) C.1(2n－1)(2n＋1) D. 12．已知a>b>0，全集U=R, M={x| b 二．填空题 4．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面 15.不等式 ||x11x2_____.的实数解为 三．解答题 19. 设，则 20.用排序不等式证明Rcba,,，求证222222222abbccaabccab
1
(2n＋1)(2n＋2)
9、若实数满足
，则
的最小值是（ ）
A 2 B 1 C D
10．若a>b>1, P=balglg, Q=21(lga+lgb)，R=lg 2ba, 则
A R
A M>N B M
13．当0＜x＜1时，x2，x，x1的大小关系是________．
分
成)(kf个区域，则1k条直线把平面分成的区域数)()1(kfkf .
14 若0ab，则1()abab的最小值是_____________
16.已知0x，由等式,,,2214xx4x2x3xx22x
:启发我们可以得到推广结论
(),naxn1nN
x
则________.a
17．解不等式│x+2│+│x-2│≤12．
18．已知A={x││x-1│＜c，c＞0＝，B={x││x-3│＞4}，且A∩B=Ф，求c的范围．
的最小值
21．用数学归纳法证明：121)1(nnaa能被12aa整除（其中n，a为正整数）
22．已知数列na的各项为正数，Sn为前n项和，且)1(21nnnaaS，归纳出an的公式，
并证明你的结论.