常微分方程应用举例说课材料
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
常微分方程及其应用
常微分方程及其应用常微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量的变化率与变量本身的关系。
常微分方程广泛应用于物理学、生物学、经济学等众多领域，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
在物理学中，常微分方程被广泛应用于描述自然界中的各种现象。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程来描述物体的运动。
考虑一个质点在力的作用下运动的情况，我们可以通过将质点的质量、受力和加速度之间的关系表示为一个常微分方程。
这个方程可以描述质点在不同时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，常微分方程被用来描述生物体内的各种生理过程。
例如，人体的代谢过程可以用常微分方程来描述。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述人体内各种物质的转化和消耗。
这些方程可以帮助我们理解人体的代谢过程，从而指导健康管理和疾病治疗。
在经济学中，常微分方程被用来描述市场供求关系和价格变化。
例如，一种商品的价格会随着供求关系的变化而发生变化。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述市场供求关系的变化，从而预测价格的走势。
这些方程可以帮助我们理解市场的运行机制，从而指导经济政策和投资决策。
除了物理学、生物学和经济学，常微分方程还被广泛应用于其他领域，如工程学、环境科学和计算机科学等。
在工程学中，常微分方程被用来描述控制系统的动态行为。
在环境科学中，常微分方程被用来描述气候变化和生态系统的演化。
在计算机科学中，常微分方程被用来描述算法的复杂性和性能。
常微分方程及其应用是数学中的重要内容。
它不仅在物理学、生物学和经济学等自然科学领域发挥着重要作用，也在工程学、环境科学和计算机科学等应用科学领域发挥着重要作用。
通过建立和求解常微分方程，我们可以更好地理解和预测自然和社会现象的变化，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
因此，对常微分方程的研究和应用具有重要的理论和实践意义。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程中的一些简单例子和方法
常微分方程中的一些简单例子和方法常微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到很多实际问题的数学模型解析和数值求解。
常微分方程可以用于描述很多自然现象，比如物理、生物、经济和工程学等领域。
它是应用数学中的一部分，也是数学中比较重要的一部分，今天我们就来介绍一下常微分方程中的一些简单例子和方法。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程形如: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
这种方程的解就是y(x)。
下面我们来看几个例子。
1. 求解方程$y'=3x^2$。
对方程两边求积分，得到$y=\int3x^2dx=x^3+C$。
其中C是常数，可以通过初始条件来确定。
比如，如果y(x)在x=0处等于2，则$y(0)=2$，代入求解得到$C=2$，所以完整的解为$y=x^3+2$。
2. 求解方程$y'=2xy$。
对方程两边分离变量，得到$\frac{dy}{y}=2xdx$，对两边求积分，得到$\ln|y|=x^2+C$。
移项得到$y=Ce^{x^2}$，其中C是常数。
3. 求解方程$y'+2xy=x$。
这是一个非齐次线性微分方程，首先求解它的齐次方程$y'+2xy=0$，这个方程的解是$y=Ce^{-x^2}$。
然后我们要找到一个特殊解，这个特殊解满足非齐次方程。
我们可以猜测特殊解为$y=A+Bx$，代入非齐次方程得到$B=1$，$A=-\frac{1}{2}$，因此特殊解为$y=-\frac{1}{2}+x$。
因为非齐次方程的通解等于它的齐次解加上特殊解，所以得到通解为$y=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}+x$。
二、二阶常微分方程二阶常微分方程形如：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$。
其中y是未知函数，x是自变量，f(x)、p(x)和q(x)都是已知函数。
这种方程的解是y(x)。
第4章常微分方程数值解ppt课件
其中L为李普希兹条件。
总目录
本章目录
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.2.3 中心欧拉公式
y(x)的在x=x1处的中心差商式：y' ( x1 )
y(x2 ) y(x0 ) 2h
又y'(x1) f (x1, y(x1)) ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：
y2 y0 2hf ( x1 , y1 )
2k3
k4
k1 f xn , yn
(1)
k2
f
xn
1 2
h,
y
n
1 2
hk1
(2)
k3
f
xn
1 2 h, yn
1 2
hk
2
k4 f xn h, yn hk3
(4-16)
yn1
yn
h 8
k1
3k 2
3k3
k4
k1 f xn , yn
k 2
f
xn
1 3 h, yn
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1 微分方程在化工中的应用
微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是 套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：
1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变 而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽， 其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸 汽的温度。
2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。
f
(xn1, yn1 )]
(4-10)
上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：
yn1
yn
h(f 2
(xn , yn )
一阶常微分方程的解法与应用
一阶常微分方程的解法与应用一阶常微分方程是微积分中的重要概念，它描述了变量的变化率与其本身的函数关系。
在物理学、工程学和经济学等领域中，一阶常微分方程的解法与应用广泛存在。
本文将介绍一阶常微分方程的解法和一些典型的应用案例。
一阶常微分方程的解法有多种方法。
其中最基本的方法是分离变量法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分开，使得左边只包含自变量的函数，右边只包含因变量的函数。
然后对两边分别进行积分，得到方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = x^2。
我们可以将方程中的变量分离，得到dy = x^2 dx。
然后对两边分别进行积分，得到y = x^3/3 + C，其中C为积分常数。
这个解表示了方程的通解，含有一个未知常数C。
除了分离变量法，还有一些其他的解法，例如常系数线性微分方程的解法。
常系数线性微分方程具有形式dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数。
对于这种形式的微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是先猜测方程的一个特解，然后将特解代入原方程中，得到一个关于未知常数的方程。
通过求解这个方程，可以得到特解，并加上通解的形式，得到方程的整体解。
一阶常微分方程的应用广泛存在于各个领域。
以下将介绍一些常见的应用案例。
首先，一阶常微分方程在物理学中具有广泛的应用。
例如，在牛顿第二定律中，物体的加速度与其所受的力和质量之间存在着一阶常微分方程的关系。
通过解这个方程，可以得到物体的运动轨迹和速度等相关信息。
其次，在生物学中，一阶常微分方程也起到重要的作用。
例如，在人口增长模型中，人口的增长率与人口数量之间存在一阶常微分方程的关系。
通过解这个方程，可以预测未来的人口数量及其增长趋势。
此外，一阶常微分方程还在经济学中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，季节性变动、经济增长和投资回报等现象都可以用一阶常微分方程来描述。
通过解这些方程，可以分析经济趋势和制定相应的政策。
《常微分方程》PPT课件
dxx((tt)) kdt G(y)F(x)C
G(y)
F(x)
P(x) dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的
繁殖率与细菌的数目成正比，假设t 0时细菌的数
目为 x(t，) 求系统的细菌繁殖规律。
解： 设 t示在 时x(t刻) 细菌数目，依题意有
t 时y， r k
两边积分
f(x)dx
《常微分方程》PPT课件
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6.1 微分方程的根本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的根本概念
zxy
2. zaxbyc型方程
作变换 dy abf(z) dx
d y(xy)2 dx 例8. 求方程 n1,令zy1n y 的通解
2
arctan(xy)xC 解：令 则 r y(t) krky0 en y0
得方程通解为 VlnV dV lnVadt
将 代回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程通解 y(t)krrky0 en y0
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
。 dz
dx
2处1y 的ddyx 切线斜率为2x，求这曲线的方程
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系
式:
r1,2b2ba24ac
①
yx12
②
由 ① 得 y2xdxyf(y) (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
dy f (x)g( y) dx
常微分方程的科学例子
常微分方程的科学例子常微分方程在科学里就像一把神奇的钥匙，能打开很多神秘现象的大门。
就说物理学里的牛顿第二定律吧。
大家都知道力能改变物体的运动状态，这简单一句话背后可就藏着常微分方程呢。
一个物体受力之后，它的加速度和力、质量之间有个关系，这个关系用方程一写出来，就是个常微分方程。
就好比一个人在不同的力量拉扯下，他会以不同的速度和方向改变自己的行动路径，这个路径怎么预测呢？靠的就是这个类似的方程。
你说神不神？如果没有这方程，咱们想知道物体怎么运动，那可就像瞎子摸象，只能瞎猜了。
再看看生物学里的种群增长模型。
比如说一群兔子在一片草原上生活。
最开始兔子少的时候，有足够的草吃，没什么天敌，兔子就会快速繁殖，数量蹭蹭往上涨。
可兔子多到一定程度，草不够吃了，天敌也更容易发现它们，这时候兔子数量增长就慢下来了。
这个过程怎么描述呢？用常微分方程就行。
这就像是在一个大锅里煮饺子，刚开始饺子少，水多，火又旺，饺子就一个劲儿地往上冒。
可饺子多了，锅就显得挤了，水也不够用了，饺子再想多就难了。
这和兔子种群增长是不是很像？要是没有这个方程来描述，我们想合理管理兔子种群，保护生态平衡，那可就难如登天了。
化学里也离不开常微分方程。
化学反应的速度和各种反应物、生成物的浓度有关。
比如氢气和氧气反应生成水这个反应，反应速度不是一成不变的。
刚开始氢气和氧气浓度高，反应就快，随着反应进行，它们的浓度降低，反应速度也就慢下来了。
这就像两个人在搬东西，东西多的时候，一次能搬好多，速度快。
东西少了，一次搬不了多少，速度就慢了。
这里面的关系用常微分方程一表示，我们就能更好地控制化学反应，制造出我们想要的东西。
要是没有这个方程，化学工业得乱成一锅粥了吧。
在工程学里常微分方程也是大功臣。
就拿电路来说，电流在电路里流动，它的变化和电压、电阻等因素有关。
这就像水流在水管里流动，水压、水管的粗细等会影响水流速度一样。
电路里这些量之间的关系用常微分方程描述，工程师就能准确地设计电路，让电器正常工作。
常微分方程的解法及其应用
常微分方程的解法及其应用在物理学、工程学、经济学等领域的建模和分析中，常微分方程的解法和应用具有重要的意义。
本文将介绍一些基本的常微分方程的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指只包含一个自变量和它的一阶或高阶导数的方程。
例如，y''+2y'+y=0就是一个二阶常微分方程，其中y是自变量的函数。
常微分方程通常用符号y'(t)表示y对时间t的导数。
在解常微分方程时，主要任务是找到y(t)的函数形式，使得它满足给定的微分方程和初始条件。
初始条件可能是y(0)=a和y'(0)=b之类的信息。
二、常微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是一种适用于第一阶微分的方法。
当方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)时，我们可以将其转化为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边积分即得到y(x)的解析式。
例如，dy/dx=2x/(1+y^2),我们可以将其转化为dy/(1+y^2)=2xdx，然后对两边积分即可求解。
2.常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，其中a 和b是常数。
对于这种类型的微分方程，有特征方程r^2+ar+b=0，解得特征根r1和r2，然后根据通解公式y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)求解。
其中，c1和c2是待定系数，由初始条件求得。
3.欧拉方程的解法欧拉方程是指形如ax^2y''+bxy'+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数。
解欧拉方程需要做一个变量替换，设置y=x^r，然后求得r满足的特征方程ar^2+(b-a)r+c=0的两个根r1和r2，通解为y=c1x^r1+c2x^r2。
4.变换系数法变换系数法是对不齐次线性微分方程使用，它可以将y''+ay'+by=f(x)这样的方程转化为(r^2+ar+b)y=g(x)，其中g(x)是已知的函数。
常微分方程
（8-3）有形如式（8-5）的解，那么其
中的CC′（x）e-∫p（x）dx=Q（x）
求得C（x）=∫e∫p（x）dxQ（x）dx+C 将所得C（x）代回式（8-6）中，可得到非齐次
齐次线性微分方程（8-3）的求解问题也
就解决了. 这种通过把齐次方程通解中的任意常数
例
下面通过几何学、物理学的几个实例来具体说明微分方程的基本概念.
【例8-1】设曲线过点（1,2）且在曲线上任意点（x,y）处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y=f（x）,则由题意及导数的几何意义可知dy/dx=2x或dy=2xdx
上式两端同时积分,得y=∫2xdx=x2+C（C为任意常数） 又根据曲线过点（1,2）的条件知y|x=1=2,即12+C=2 解得C=1,故所求曲线的方程为y=x2+1
第 八 章
常微分方程
8.1 常微分方程的基本概念
8.2 一阶微分方程 8.3 可降阶的高阶微分方程 8.4 二阶常系数线性微分方程
目录
8.5 应用示例——新产品推广模型问题
8.6 数学实验八
8.1 常微分方程的基本概念
在解决实际问题时,常常需要建立与问题有关的各变量之间的函数关 系.这种关系有时能直接建立,有时却只能根据一些基本的科学原理建 立所求函数与其变化率之间的关系式,再从中解出所求的未知函数.
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题. 定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分 方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称为偏 微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别微 分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常系 数、齐次与非齐次等.