常微分方程应用举例说课材料

tg
y
y
y
AO x OM x x x2 y2
根据导数的几何意义
y tg
得到微分方程
y
y
一阶齐次
x x2 y2
变形为
dx x x2 y2 x ( x )2 1 (1)
dy
y
y
y
以下求解见272页
例3. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
常微分方程应用举例
列微分方程的常用方法 (1) 利用物理定律列方程 (2) 利用导数的几何意义列方程 (3) 利用微元分析法列方程
例 1 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
因此 [t,t+dt] 内，流出体积为
dV 0.62 2ghdt, (1)
等量关系：流出体积量＝体积减少量 h
现求体积减少量
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小
( : 密度, s :弧长)
按静力平衡条件, 有
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
y 1 a
1 y2
设 OA a, 则得定解问题:
速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附 近作上下振动.试确定物体的振动规律 x x(t ).
解 受力分析 1. 恢复力 f cx;
2. 阻力 R dx ;
dt
o x
x
F ma, m d 2 x cx dx ,
dt 2
dt
d 2 x 2n dx k 2 x 0 物体自由振动的微分方程
dt 2
dt
若受到铅直干扰力 F H sin pt,
d 2 x 2n dx k 2 x hsin pt 强迫振动的方程
百度文库
dt 2
dt
高阶线性方程
y
1 a
1 y2
悬链线
y
M
令 y p(x), 则 y d p , 原方程化为 H a A gs
dx
ox
Arsh p ln ( p 1 p2 )
两端积分得
Ar sh
p
x a
C1,
则有
得C1 0,
两端积分得
得C2 0
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a (exa
x
ea
)
a2
例4.
设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始
以下求解见268页
可分离变量
例2 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由曲线y y( x)绕 x 轴
旋转而成的
点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线 经反射都成为平行于x轴的平行光
y
M
( x, •
y)
T
Ao
x
由光的反射定律
于是有 AO OM x 2 y 2