电动力学第四章郭硕鸿第三版
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电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学 郭硕鸿 第三版 第22次课(第4章习题课)
n H 2 H1
E n 0 n
15．谐振腔内的波型
i t E x, t E x e
p z L3 p z L3 p z L3
E x E y E z m L1
m n A1 cos x sin y sin L1 L2 m n A2 sin x cos y sin L1 L2 m n A3 sin x sin y cos L1 L2 n p A1 A2 A3 0 L2 L3
2
3.平面电磁波场强的全表示式为 i k x t 0
E x, t E e
4. 平面电磁波的特性如下 1).电磁波为横波, E和B都与传播方向垂直； 2). E和B互相垂直，EB沿波矢k方向； 3). E和B同相，振幅比为v． 5.平面电磁波的能量密度的 平均值为 6.平面电磁波能流密度的平 均值为
0 e
t
1 时，就可以认为(t)＝0．
10.导体中的平面波解
x i ( x t ) E ( x , t ) E0e e
良导体情况下：
2
（ 1 ）。
11.穿透深度和趋肤效应
对于良导体，当电磁波频率为交变频率时，电磁场及交频
电磁波沿平行与板面的z方向传播，设波在x方向是均匀的，
由于电磁波沿z方向传播，在x方向是均匀的, k x 0
Ex (C sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t ) sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t ) E y (C Ez (C sin k y y D cos k y y )ei ( kz z t )
郭硕鸿《电动力学》第三版 课后解答详细解释
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式： ( A B) B ( A) (B ) A A ( B) ( A )B
A (
A)
1 2
A2
(A )A
解：（1） ( A B) ( A Bc ) (B Ac )
Bc ( A) (Bc ) A Ac ( B) ( Ac )B
可见 r 'r
○2
1 r
d dr
1 r
r
1 r2
r
r r3
'
1 r
d dr
1 ' r r
1 r2
' r
r r3
可见 1/ r '1/ r
○3 (r / r 3 ) [(1/ r 3 )r] (1/ r 3 ) r (1/ r 3 ) r
d dr
1 r3
r r
第1页
电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1/ r) '(1/ r) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r) ， [E0 sin(k r)] 及 [E0 sin(k r)] ，其中 a 、 k 及 E0 均为常向量。
M
1 2r1
M dl 0
在 r r2 处，磁化面电流密度为
M
0 1 2r2
M
dl
( 0
1) (r22 r12 ) 2r22
《电动力学郭硕鸿版》课件
电场与电势
本章将介绍电场和电势的概念及其相互关系，以及如何计算电场和电势在不同场景下的数值。
电场的高斯定律
本章将详细解释电场的高斯定律及其应用，帮助你理解电场分布和电通量的 计算方法。
电势的计算
本章将介绍如何计算不同电荷分布情况下的电势，以及如何利用电势计算电荷之间的相对势场对电荷的影响以及 能量转化的过程。
电动力学郭硕鸿版PPT课 件
本课程将介绍电动力学的基础概念，包括电场与电势，电场的高斯定律，电 势的计算，电场的能量，
以及恒定电流与电路定律。通过本课程，你将深入了解电动力学的原理和应 用。
课程介绍
本章将对电动力学课程进行详细介绍，包括学习目标、课程大纲、教学方法等内容。
电动力学基础概念
本章将深入探讨电动力学的基本概念，如电荷、电场、电势差等，为后续内 容打下坚实基础。
恒定电流与电路定律
本章将介绍电路中的恒定电流和电路定律，包括欧姆定律、基尔霍夫定律等，帮助你分析和解决实际电路问题。
电动力学高教第三版4-精选
电磁波在空间传播有各 种各样的形式，最简单、 最基本的波型是平面电 磁波。
1．自由空间电磁场的 基本方程
2．真空中的波动方程
r E
r B
r H
r t D
r
t
D 0
r
B 0
2Ec12 2tE 2 0
2B 1 2B0
c 1 00
因此在同一时刻，S 平面为等相 面，而波沿 k方向传播。
o
Rs S
（2）波长与周期
波长 2 周期 T 1 2
k
f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差： k(RsRs)2
波长、波速、 频率间的关
k
v
k 2
系
T 1 2 v
H x ,t H x e i t
对单一频率 DE、BH成立。介质中波动方程为：
r
Байду номын сангаас
r
2 E r v 1 2 2 tE 2 0 2 B r v 1 2 2 tB 2 0
E iE ,
t
2 tE 2 2E
（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；
（2）确定频率、波长和波速；
（3）若介质的磁导率 4107(亨米) 求磁场强度；
（4）求在单位时间内从一个与 xy 平面平行的单位
面积通过的电磁场能量。
解：（1） E沿 x轴方向振荡，
kxkz k2102
波沿 z方向传播。
（2） 2106
E z 0 E 0 (cte o x s site n y )
《电动力学》郭硕鸿_第三版_答案
又
∫ dS × f = ∫ [( f
S S
r
r
r r r dS y − f y dS z )i + ( f x dS z − f z dS x ) j + ( f y dS x − f x d S y )k ]
r r r r r r = ∫ ( f y k − f z j )dS x + ( f z i − f x k )dS y + ( f x j − f y i )dS z
若令 f x = φ i , f y = φ j , f z = φ k 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
r r r P (t ) = ∫ ρ ( x ' , t ) x ' dV ' ,
V
利用电荷守恒定律 ∇ ⋅ J +
r
r ∂ρ = 0 证明 P 的变化率为 ∂t
r r r dP = ∫ J ( x ' , t )dV ' V dt
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
电动力学习题解答 1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式
第一章
电磁现象的普遍规律
r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + ( A ⋅ ∇) B r r r r 1 r A × (∇ × A) = ∇A 2 − ( A ⋅ ∇) A 2 v v v v v v v v v v 解 1 ∇( A ⋅ B ) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B ) + ( A ⋅ ∇) B
电动力学 郭硕鸿 第三版 第20次课(4.4谐振腔)
略去角标 2，以E和H表示介质一侧处的场 强，有边界条件
nE 0
nD
nH
nB 0
这两条件满足后，另两条件自然满足
理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体 表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。我 们可以应用这个规则来分析边值问题中的电磁波图象。 实际求解时，先看方程· E=0对边界电场的限制往往 是方便的。在边界面上，若取x，y轴在切面上，z轴沿法 线方向，由于该处E x=Ey=0，因此方程· E=0在靠近边界 上为 Ez/ z＝0，即 E n 0 n
2
1 E 2 E 2 0 2 v t
2
1 B 2 B 2 0 2 v t
2
i t E x, t E x e
it B x, t B x e
E 2 E0 v
2 2
TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电 磁波。平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的 TEM波。
2．有界空间中的电磁波――边值问题
金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因 此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特 别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制 约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍 兹方程的解不再是平面波解。
二．理想导体边界条件
实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜等金属导体， 对无线电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小， 接近于理想导体。 在一定频率的电磁波情形，两不同介质（包括导体） 界面上的边值关系可以归结为
n E2 E1 0
n H 2 H1
m n A1 cos x sin y sin L1 L2 m n A2 sin x cos y sin L1 L2 m n A3 sin x sin y cos L1 L2 n p A1 A2 A3 0 L2 L3
大学物理通用教程.电动力学.郭硕鸿.第三版.答案
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
若令 H x = f y k − f z j , H y = f z i − f x k , H Z = f x j − f y i 则上式就是
r
r
r
r
r
r
r r r ∇ ⋅ H dV = d S ∫ ∫ ⋅ H ,高斯定理 则证毕
V S
2)由斯托克斯公式有
∫ f ⋅ dl = ∫ ∇ × f ⋅ dS
r r r r r r r r ∂Ax (u ) ∂A y (u ) ∂Az z (u ) dAx (u ) ∂u dA y (u ) ∂u dAz (u ) ∂u dA ∇ ⋅ A(u ) = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∇u ⋅ ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
l S
r
r r
r
电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter4
sin θ 1
ww∴有(ωc
sinθ1 )2
+
β
2 z
−
α
2 z
=
ω 2 µε
w αzβz
=
1 ωµσ 2
解得
β
2 z
=
1 (µεω 2 2
−ω2 c2
sin 2 θ1 ) +
1 ω2 [(
2 c2
sin 2 θ1
− ω 2 µε )2Βιβλιοθήκη + ω 2 µ 2σ
2
]
1 2
α
2 z
=
−
1 (µεω 2 2
课 后 答 案 网
相速 kx − ωt = 0
w ∴vp
=
ω k
a 群速 dk ⋅ x − dω ⋅t = 0
d ∴vg
=
dω dk
h 2 一平面电磁波以θ = 45o 从真空入射到ε r = 2 的介质 电场强度垂直于入射面 求反射 k 系数和折射系数
解 nr 为界面法向单位矢量 < S >, < S ' >, < S '' > 分别为入射波 反射波和折射波的玻印
=
−
∂Bv
×
v H
=
∂D∂vt
⋅
v D
=
0
∂t
o ∇
⋅
v B
=
0
得
.c ∇
⋅
v B
=
v B0
⋅ ∇ei(kv⋅xv−ωt)
=
v ik
⋅
v B0e
i(kv⋅xv−ωt )
=
v ik
⋅
电动力学第三版答案 郭硕鸿著ppt课件
收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作
A
ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A(
x)在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的
强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量的正源；
当div
A
0
，表示该点有吸收通量的负源；当div
读作“del”，或“nabla”
在直角坐标系中的表示
i
x
j
y
k
z
二 矢量场的散度 高斯定理
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 v方向通过 ds
的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体
积，即 dN v cosds v ds
称为矢量 v通过面元 ds的通量。
bx
by
bz
a
cx cy cz
满足旋转定律
b
c
3、三重矢积
av
v (b
cv)
(av
cv)bv
(av
bv)cv
av
v (b
cv)
v (b
cv)
av
不满足交换定律
4、矢量求导法则
(1) d ( f av) f d av d f av
dt
dt dt
(2)
d
(av
v b)
d
av
v b
av
d
v b
增量为
( p2 ) ( p1 )
若下列极限
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作 ，称之为标量场
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1 •自由空间（介质）：指P =0 ,
J =0的无限大空间.
… - cB \ E =
卫
;:t
、' H 「B k 2
B =0 i T -----定态波亥姆霍兹方程 基本解:
Ex —Eoe^
B x,t 二B o e
ikx "
性质: （1） B 与E 的关系: B 」E E 0
-B ， E, B,k 构成右手螺旋关系
(2) B 与E 同位相; (3)
，振幅比为波速 （因为E,B,k 相互垂直,
k
B E )。
©
能量密度：吨&D + H"推
4B 2
第四章电磁波的传播
电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场， 电磁场在空间互相激发，
在空间以波动的形式存在，就是电磁波
主要内容：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况 ；在真
空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、 衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。
电磁波在空间传播有各种各样的形式, 最简单、最基本的波型是平面电磁波。
知识体系:
麦氏方程为:
D =0
B = 0
平面电磁波的能量和能流
定态波
＜耳
B
电场能等于磁场能，能量密度平均值为
1
.
良导体：「‘: o , J =匚E
2
B k 2
B =0
+—
— ct
'、、D =0
E 二
os
k i ：
2.
电磁波在界面反射和折射
n 汉（E 2 - E — ）= 0 fx （H 2 _H — ）=0
A.
入射波，反射波，折射波波矢量位于同 k 二k , （反射定律）
si n T v — “2 卩 2
fs7
n 2
B. ----------- = — = —|
fc
」—=n 21 =—
J 知巴
」平面，
（折射定律）
3.
谐振腔
定态波:
P 2E +k 2
E =0
帝E =0
« H =-亠京汇E 在求解中主要用到 n £ E = 0
斤 5 =«"（「般未知）
（1）解为:
m
n P
二 A 1
xsi n
ysin -
z
L
L 2
L 3
m
n
P
=A sin
xcos
y sin
■
L
m
n
P
=A sin
xsi n
ycos
z
n E = 0 ■：En ；：n
s =0
• N 彳 N N
A 平均值：S = —ReE” H i=
2 -
基本解：E x,t 二巳』""二巳汀匕」",
两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定
1
2
2 o
n
E z
（2）谐振频率:
2 2 2 X k y k
z
宀
［（
匚）（
匚）（
L 3
）］
该波型为（1，1，0）型, E x 二 E y =0 , E z 二 A sin xsin 兀
L 2
所以
m 2
门2
p 2
1/2
"丁2
忙）㈡气门
（3）讨论
给定一组（m, n, p ）,解代表一种谐振波型（本征振荡,在腔内可能存在多种谐 振波型的迭加）；只有当激励信号频率二「mnp 时，谐振腔才处于谐振态。
不存在（m, n, p ）中两个为零的波型，若m=n=O ,贝U E 三0。
对每一组（m, n, p ）值，有两个独立偏振波型，这是因为对于确定的 E 可以分
解到任意两个方向。
最低频率的谐振波型
假定L^> L 2 > L 3，则最低谐振频率为 叫10 = — I —2中一~2
严 \ L !
L 2
H = Njl- JI -
--
E =E z
e z
，k e x
' e y
，k ・E=0，为横电磁波。
L 1
L 2
但是在一般情况下，k E = 0。
4.
矩形波导管
1矩形波导管
由四个壁构成的金属管，四个面为 * =
a
、y = 0, b
I
!
一般情况下让电磁波沿z 轴传播，对理想导体：E 1 = 0, H 1= 0 , 理想导体边界条件：n E = 0, n H = *
2 •解的形式
£E n
s = 0 (x =0,a; y = 0,b)
k y
最高截止波长为蔚?
V E+k i=0
4
V ，E=0
满足方程 n E =0 (x =0,a;y =0,b)，
E x (x, y, z) = A-i cosk x xsin k y ye 'kzZ
“ E y (x,
y,z) = A 2 sin k x x cosk y ye '
kzZ ik z
E z (x, y,z) = A 3Sin k x xsin k 『ye z
其中k x 1 - i - H 的解由H 二-丄、E 确定
coP
最低截止频率为:
疋
（
），術=不（
）；
（0）- （0）=23，一般把波长 <2a 的波，称为超短波即
k ' '10 微波
本章重点： 1、电磁场的波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波
2 、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系，偏振
3 、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4
、谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点： 1、振幅、位相关系
2
、导体内电磁波的运动
（与波型（m, n ）有关）;
截止频率为:。