高中数学 三角函数(解析版)

三角函数

【考纲要求】

1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.

2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x

cos x

＝tan x .

3．能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 5.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 6．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 【思维导图】

【考点总结】 1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类⎩

⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：

角α的弧度数公式 |α|＝l

r

(l 表示弧长)

角度与弧度的换算 ①1°＝π

180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式

S ＝12lr ＝12

|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x (x ≠0)．

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 【思维导图】

【考点总结】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．

(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π

2＋k π，k ∈Z )．

2．三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π

2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α

tan_α

－tan_α

－tan_α

口诀

函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

三、三角恒等变换

【思维导图】

【考点总结】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．

T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝

⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π

2＋k π，k ∈Z .

T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π

2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π

2，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 四、三角函数的图象与性质 【思维导图】

【考点总结】

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π

2，－1)，(2π，0)．

在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π

2

，0)，(2π，1)．

五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y ＝sin x

y ＝cos x

y ＝tan x

图象

定义域

R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋

π

2，k ∈Z } 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在[－π2＋2k π，π

2＋

2k π](k ∈Z )上是递增

函数，在 [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上是递减函数

在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数

在(－π2＋k π，π2＋

k π)(k ∈Z )上是递增函数

周期性

周期是2k π(k ∈Z 且

k ≠0)，最小正周期是2π

周期是2k π(k ∈Z 且

k ≠0)，最小正周期是2π

周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π

对称性

对称轴是x ＝π

2

＋

k π(k ∈Z )，对称中心是(k π，0)(k ∈Z )

对称轴是x ＝k π(k ∈Z )，对称中心是(k π＋π

2

，0)(k ∈Z )

对称中心是(k π

2，

0)(k ∈Z ) 五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 【思维导图】