专题02 函数周期性问题-高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)
借助函数性质，妙用“二级结论”解题
ʏ林春斌在解决一些涉及函数性质(奇偶性㊁周期性㊁对称性等)问题时,往往可以巧妙应用对应的 二级结论 ,直接得出相应的结果,这样可以避免烦琐的推理过程,从而达到提高解题效率的目的㊂一㊁借助奇函数的 二级结论 解题结论1:如果f (x )是奇函数且在x =0处有意义,那么f (0)=0㊂结论2:若奇函数f (x )在关于原点对称的区间上有最值,则f (x )m a x +f (x )m i n =0㊂结论3:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,则g (-x )+g (x )=2c ㊂结论4:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,g (x )在定义域上有最值,则g (x )m a x +g (x )m i n =2c ㊂例1 已知函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值为㊂分析:通过化简并变形f (x )的表达式,构建函数g (x )=x2|x |+1,结合奇函数的 二级结论 直接确定对应函数的最大值与最小值之和㊂解:根据题意得函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1=2ˑ2|x |-x +22|x |+1=2-x2|x |+1㊂令函数g (x )=-x2|x |+1,其定义域为R ,则f (x )=2+g (x )㊂因为函数g (-x )=--x 2|x |+1=x2|x |+1=-g (x ),所以g (x )是奇函数㊂结合奇函数的 二级结论 得f (x )m a x +f (x )m i n =M +m =2ˑ2=4㊂在利用奇函数的 二级结论 时,要对题设条件中的原函数的解析式进行合理的恒等变形,借助构建的奇函数,利用奇函数的 二级结论 进行分析与求解㊂二㊁借助周期函数的 二级结论 解题已知函数f (x )的定义域内任一自变量x 的值,a ,b 为非零常数㊂结论1:若满足f (x +a )=f (x -a ),f (x +a )=-f (x ),f (x +a )+f (x )=c (c ɪR ),f (x +a )=1f (x )或f (x +a )=-1f (x ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2a ㊂结论2:若满足f (x )=f (x +a )+f (x -a ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为6a ㊂结论3:若函数f (x )的图像关于直线x =a 与x =b 对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论4:若函数f (x )的图像关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论5:若函数f (x )的图像关于直线x =a 对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为4|b -a |(b ʂa )㊂注意:对于结论3,结论4,结论5的巧妙记忆为 两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差㊂例2 函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)是奇函数,且f (x -1)是偶函数,则( )㊂A .f (x +3)是偶函数B .f (x )=f (x +3)C .f (3)=0D .f (x )是奇函数分析:根据题设条件,利用抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,通过关系式的变形与转化,利用奇函数的 二级结论 ,周期函数4知识结构与拓展 高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的 二级结论 得到函数值,以及图像的周期性,进而对所求函数值进行转化与处理㊂解:因为f (x +1)是奇函数,所以f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x -1)是偶函数,所以f (x -1)=f (-x -1),所以f (x +1)=f (-x -3)㊂所以-f (-x +1)=f (-x -3),所以f (x )+f (x -4)=0,所以f (x )+f (x +4)=0,所以f (x +8)=-f (x +4)=f (x ),即函数f (x )的周期为T =8㊂对于A ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (x +5)=-f (x +1)=f (-x +1),所以f (x +3)=f (-x +3),即f (x +3)是偶函数,A 正确㊂对于B ,函数f (x )是周期为8的周期函数,B 错误㊂对于C ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (3)=-f (-1),不能得到f (3)的值,C 错误㊂对于D ,由f (x +1)=f (-x -3),f (x )+f (x +4)=0,可得f (0)=f (-2)=-f (2)=-f (4),不能得到f (0)的值,D 错误㊂应选A㊂涉及周期函数的 二级结论 及其应用,解题的关键是借助题设条件,合理构建对应的抽象函数之间满足的关系式,结合 二级结论 进行分析与求解㊂三㊁借助对称函数的 二级结论 解题结论1:若函数f (x +a )是偶函数,则函数f (x )的图像关于直线x =a 对称㊂结论2:若函数f (x +a )是奇函数,则函数f (x )的图像关于点(a ,0)中心对称㊂例3 已知函数f (x )的定义域为R ,f (x +1)为奇函数,f (x +2)为偶函数,当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ㊂若f (0)+f (3)=6,则f (2024)的值是( )㊂A.-12 B .-2C .6D .12分析:根据题设条件,先利用对称函数的二级结论 得到函数图像的对称性,结合抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,再利用周期函数的 二级结论 得到函数图像的周期性,最后求出函数的值㊂解:因为f (x +1)为奇函数,所以函数f (x )的图像关于点(1,0)对称,所以f (1)=0,且f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x +2)为偶函数,所以函数f (x )的图像关于直线x =2对称,所以f (x +2)=f (-x +2)㊂结合周期性可知函数f (x )的周期为T =4|1-2|=4㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ,结合f (x +1)=-f (-x +1)与f (x +2)=f (-x +2)得f (0)=-f [-(-1)+1]=-f (1+1)=-f (2)=-(4a +b ),f (3)=f (1+2)=f (-1+2)=f (1)=2a +b ㊂又f (0)+f (3)=6,所以-(4a +b )+(2a +b )=-2a =6,解得a =-3㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x +b ,因为函数f (x )的图像关于(1,0)对称,所以f (1)=0,所以f (1)=2a +b =0,所以b =-2a =6㊂由f (x +1)=-f (-x +1),可得f (0)=-f (2)㊂因为当x ɪ[1,2]时,f (x )=6-3㊃2x,所以f (2024)=f (506ˑ4)=f (0)=-f (2)=-(6-3㊃22)=6㊂应选C ㊂解答本题的关键是从对称函数的 二级结论 入手,过渡到周期函数的 二级结论 ,结合逻辑推理与数学运算进行分析与求解㊂定义在[0,1]上的函数f (x )满足f (0)=0,f (x )+f (1-x )=1,fx 5=12f (x ),且当0ɤx 1<x 2ɤ1时,f (x 1)ɤf (x 2),则f 35等于㊂提示:易得f (1)=1㊂将x =1代入fx5 =12f (x )得f 15 =12,将x =15代入f (x )+f (1-x )=1得f 45 =12㊂因为15<35<45,所以f 15 ɤf 35 ɤf45 ,故f35 =12㊂作者单位:江苏省姜堰中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=， 因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+， 所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =， 又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =， 由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−， 由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（ ） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +， 所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=， 因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=， 所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8， 因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点， 所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。
高考数学二级结论-2020版
结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 A. －5 B. －3 C. －1 D. 5 【答案】C【变式训练】1．已知函数221sin 201722017x x f x x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则20172017i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=______． 2．已知函数()221(1x cosx sinx f x x cosx +-+=++x R)∈的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________． 结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2【山东省德州市2019届高三期末联考】已知定义在的奇函数满足，当时，，则（ ） A ． B ．1 C ．0 D ．-1 【答案】D 【解析】根据题意，函数f （x ）满足f （x +2）＝﹣f （x ），则有f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即函数是周期为4的周期函数，则f （2019）＝f （﹣1+2020）＝f （﹣1），又由函数为奇函数，则f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣（1）2＝﹣1； 则f （2019）＝﹣1；故选：D ． 【变式训练】1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 5 2. 已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______． 结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例3【2018四川省广元市统考】已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，()()311g x x =-+，若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为()()()112220182018,,,,,,x y x y x y ，则()20181iii x y =+=∑（ ）A. 8072B. 6054C. 4036D. 2018 【答案】B【变式训练】1. 【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时， ()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(0,1)a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()14，C. ()18，D. ()8+∞，2.【2019年安徽省宿州市十三所重点中学】定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4【2019年上海市浦东新区】已知函数的图像经过点，反函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）求证：是增函数. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】(1)由题意可得：， ∴， ∴ （2）， 任取且， = ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴是增函数.【变式训练】【2018四川省成都市9校联考】已知函数()2f x x ax =-（1x e e≤≤， e 为自然对数的底数）与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是A. 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,e e e e⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D. 1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦结论五 两个经典不等式(1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥.证明x>-1时, f(x)≥⇔x>-1,1-e-x≥⇔1-≥e-x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥.【变式训练】1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )2.已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形中，面积是面积的2倍，数列满足，且，则（）A．31 B．33 C．63 D．65【答案】B【解析】∴，即，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴，即，所以.【变式训练】1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且22=1111AP m AB BC⎛⎫++⎪⎝⎭，则实数m的值为（）A. 1B. 12C.911D.5112.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图，在△ABC中，，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若，则的最小值为( )A．2 B． C．6 D．结论七三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||=.(2)O为△ABC的重心⇔++=0.(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则等于( )A．－ B．－ C． D．【答案】B【解析】【变式训练】1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点为的重心，，则( )A． B． C． D．是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．结论八等差数列设S n为等差数列{a n}的前n项和.(1)a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d,p+q=m+n⇒a p+a q=a m+a n(m,n,p,q∈N*).(2)a p=q,a q=p(p≠q)⇒a p+q=0.(3)S k,S2k-S k,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.(5)S n====….(6)若等差数列{a n}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(a m+a m+1),S偶-S奇=md,=.(7)若等差数列{a n}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)a m,S奇=ma m,S偶=(m-1)a m,S奇-S偶=a m,=.(8)若S m=n,S n=m(m≠n),则S m+n=-(m+n).(9)S m+n=S m+S n+mnd.例8【广东省揭阳市2019届高三学业水平考试】已知数列满足，，则数列中最大项的值为______.【答案】【解析】由得，即数列是公差为8的等差数列，故，所以，当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.【变式训练】1. 等差数列{}n a共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为（）A. 50B. 75C. 100D. 1252. 【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列的公差，的前项和为，若，则下列结论中正确的是（）A. 是递增数列B. 是递减数列C. 有最小值D. 有最大值3.【四川省广元市2019届高三第一次高考适应】已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_____．结论九等比数列已知等比数列{a n },公比为q,前n 项和为S n .(1)a n =a m ·q n-m,a n+m =a n q m=a m q n(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q,则a m ·a n =a p ·a q (m,n,p,q∈N *);反之,不一定成立. (3)a 1a 2a 3…a m ,a m+1a m+2…a 2m ,a 2m+1a 2m+2…a 3m ,…成等比数列(m∈N *). (4)公比q≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n∈N *).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N *),公比为q,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则=q. (6){a n },{b n }是等比数列,则{λa n },,{a n b n },也是等比数列(λ≠0,n∈N *).xk-*/w(7)通项公式a n =a 1q n-1=·q n .从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq 3. 例9【吉林省高中2019届高三上期末】在递增的等比数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（2）由（1）得， 所以 ， 则， 所以. 【变式训练】1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-， 489a =-，则当n T 取得最大值时， n 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 62.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】 已知公差为正数的等差数列的前项和为，且，,数列的前项和。
常考二级结论及其应用（含答案）班主任说，这是高考数学必会内容
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今天整理的这份常考二级结论及其应用含答案把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家
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部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用，以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷
2020数学(文)总复习：妙用8个二级结论巧解高考题
【链接高考 1】 (2018·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln( 1＋x2－x) ＋1，f(a)＝4，则 f(－a)＝________.
－2 [由 f(a)＝ln( 1＋a2－a)＋1＝4，得 ln( 1＋a2－a)＝3，所以 f(－a)＝ln( 1＋a2＋a)＋1＝－ln 1＋1a2＋a＋1＝－ln( 1＋a2－a)＋1 ＝－3＋1＝－2.]
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结论 4 对数、指数形式的经典不等式
1．对数形式：1－x＋1 1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当 x＝0 时， 等号成立．
2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0 时，等号成立．
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【典例 4】 设函数 f(x)＝1－e－x.证明：当 x＞－1 时，f(x)≥x＋x 1. [证明] f(x)≥x＋x 1(x＞－1)⇔1－e－x≥x＋x 1(x＞－1)⇔1－x＋x 1
(2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇 数项的和的比为 32∶27，则数列的公差 d＝________.
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(1)10 (2)5 [(1)由 am－1＋am＋1－a2m＝0 得 2am－a2m＝0，解得 am ＝0 或 2.
又 S2m－1＝2m－1a21＋a2m－1＝(2m－1)am＝38， 显然可得 am≠0，所以 am＝2. 代入上式可得 2m－1＝19，解得 m＝10.
点a，b中心对称.)
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【典例 3】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝f(1－x)，
且在[1，＋∞)上是增函数，不等式 f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的 x∈12，1 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3，－1]
高中数学：16个二级结论（含例题解析）吃透，数学选择能快速解题
高中数学二级结论我们都知道掌握二级结论不仅能在考试中快速解决选择与填空题而且也能用来检验简答题的结果考试很实用
高中数学：16个二级结论（含例题解析吃透，数学选择能快速解题高中数学二级结论我们都知道，掌握二级结论不仅能在考试中快速解决选择与填空题，而且也能用来检验简答题的结果，考试很实用！
那么二级结论如何用？很多同学不知道，为了帮助大家更好地复习，学姐整理了《高中数学16个二级结论》每个结论都有例题与详细的解析，建议家长给孩子打印！
高中数学考试万能工具包专题1.2 活用二级结论
第一篇考前必看公式与结论专题专题02 活用二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0. 例1 已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为A. －5B. －3C. －1D. 5 【答案】C【变式训练】1．已知函数221sin 201722017x x f x x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则20172017i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=______． 2．已知函数()221(1x cosx sinx f x x cosx +-+=++x R)∈的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________．结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 【2018江西南昌集训】已知定义在上的奇函数满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【变式训练】1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()2log 27f x x =+,则()2017f =A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 5 2.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=则f(100)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例3 【2018四川省广元市统考】已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，()()311g x x =-+，若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为()()()112220182018,,,,,,x y x y x y L ，则()20181iii x y =+=∑（ ）A. 8072B. 6054C. 4036D. 2018 【答案】B【变式训练】1.【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(0,1)a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（） A. B. ()14，C. ()18，D. ()8+∞， 2.【2018，函数()g x 对任意x R ∈有()()20182322013g x g x -=--成立，()y f x =与()y g x =的图象有m 个交点为()11,x y ，()22,x y …，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A. 2013mB. 2015mC. 2017mD. 4m 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 【2018四川省成都市9校联考】已知函数()2f x x ax =-（，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是A. 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,e e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D. 1,e e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【变式训练】设方程24xx +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，则m n +=________；结论五 两个经典不等式 (1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1时, f(x)≥.证明x>-1时, f(x)≥⇔x>-1,1-e -x≥⇔1-≥e -x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤e x(x>-1).当x>-1时,e x≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥.跟踪集训1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )2.已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.例6 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若12,3AD DB CD CA CBλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则λ=A. 13B.23C.13- D.23-【答案】B【变式训练】1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在ABCV中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且22=1111AP m AB BC⎛⎫++⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v，则实数m的值为（）A. 1B.12 C. 911 D. 5112.【2018湖北省襄阳市调研】两个不共线向量OA OB u u u v u u u v、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且()OC xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v，，则22x y +的最小值为_______．结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则(1)O 为△ABC 的外心⇔||=||=||=.(2)O 为△ABC 的重心⇔++=0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔·=·=·.(4)O 为△ABC 的内心⇔a+b +c =0.例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P 的轨迹一定经过( )A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点 答案 C【变式训练】1.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列设S n为等差数列{a n}的前n项和.(1)a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d,p+q=m+n⇒a p+a q=a m+a n(m,n,p,q∈N*).(2)a p=q,a q=p(p≠q)⇒a p+q=0.(3)S k,S2k-S k,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.(5)S n====….(6)若等差数列{a n}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(a m+a m+1),S偶-S奇=md,=.(7)若等差数列{a n}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)a m,S奇=ma m,S偶=(m-1)a m,S奇-S偶=a m,=.(8)若S m=n,S n=m(m≠n),则S m+n=-(m+n).(9)S m+n=S m+S n+mnd.例8 设数列的前n项和S n，且，则数列的前11项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列是首项为，以为公差的等差数列，，数列是以为首项和公差的等差数列，数列前项和为，故选D.【变式训练】1. 等差数列{}n a共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为（）A. 50B. 75C. 100D. 1252.【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列的公差，的前项和为，若，则下列结论中正确的是（）A. 是递增数列B. 是递减数列C. 有最小值D. 有最大值3. 已知项数为奇数的等差数列{}n a 共有n 项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数n 的值是__________. 结论九 等比数列已知等比数列{a n },公比为q,前n 项和为S n .(1)a n =a m ·q n-m,a n+m =a n q m=a m q n(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q,则a m ·a n =a p ·a q (m,n,p,q∈N *);反之,不一定成立. (3)a 1a 2a 3…a m ,a m+1a m+2…a 2m ,a 2m+1a 2m+2…a 3m ,…成等比数列(m∈N *). (4)公比q≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n∈N *).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N *),公比为q,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则=q.(6){a n },{b n }是等比数列,则{λa n },,{a n b n },也是等比数列(λ≠0,n∈N *).(7)通项公式a n =a 1q n-1=·q n.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq 3.例9 【2018河南省中原名校第五次联考】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3624,216S S ==，则数列{}n a 的公比为 （ ） A. 3 13 C. 12D. 2 【答案】D【变式训练】1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 62. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*12211,2,1n n n a a S a a n N ++==+=-∈，则nS=___________.结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共顶点的三条棱的长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.例10 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A. 17πB. 25πC. 34πD. 50π 【答案】C【变式训练】如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==，060DAB ∠=，E 是AB 的中点，将ADE ∆，BEC ∆分别沿ED ，EC 向上折起，使AB 重合于点P ，若三棱锥P CDE -的各个顶点在同一球面上，则该球的体积为__________．结论十一 焦点三角形的面积公式(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积=b 2·tan ,其中θ=∠F 1PF 2.(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积=,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P 在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.【解析】设，则. ，又，，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.【变式训练】1.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（）A. 33B. 32C.3 D.332. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163 B ．323 C ．32D ．42结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.过椭圆+=1上一点P(x 0,y 0)的切线方程为+=1.3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点M 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.例12 已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程.解析 联立方程得消去y,整理得x 2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l 与抛物线C 相离.由结论知,P 在抛物线外,故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x=2(y+y 0),即y=x 0x-y 0. 【变式训练】1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=02.设椭圆C:+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=.(2)k1·k2=.(3)k0·k=.例13 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【变式训练】1.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是.2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB 的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在椭圆上,设A,B 是椭圆上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.直线AB 的斜率k AB 为定值.已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在双曲线上,设A,B 是双曲线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.直线AB 的斜率k AB 为定值-.已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.直线AB的斜率k AB为定值-.例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),k PA=k,则k PB=-k(k≠0),又P(8,4),所以直线PA的方程为y-4=k(x-8),【变式训练】已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点,若其坐标为A,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB过定点.(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).例15 已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.解析由题意知l AB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l AB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2+2m>0,①因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.(1)当m=0时,x=ty,l AB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以l AB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.综上,l AB过定点(2p,0).【变式训练】已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E 为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.例16 过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a=时,求证:AM 1⊥AN 1.证明 证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l 为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM 1|,|NA|=|NN 1|,所以∠MAM 1=∠MM 1A,∠NAN 1=∠NN 1A.因为MM 1∥NN 1,故∠M 1MA+∠N 1NA=180°,所以∠MM 1A+∠MAM 1+∠NN 1A+∠NAN 1=180°,所以∠MAM 1+∠NAN 1=90°,即∠M 1AN 1=90°,故AM 1⊥AN 1.由②可得y 1·y 2=-p 2. 因为=(-p,y 1),=(-p,y 2),故·=0,即AM 1⊥AN 1.证法三:同证法二得y 1·y 2=-p 2. 因为=-,=-,故·=-1,即AM 1⊥AN 1.【变式训练】1. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，直线3=2l x -：，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上三个答案均有可能2.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若·=0,则k= . 【变式训练】 1．【答案】201811,122x t x t =-+=-，()()12f t f t +-=，()()12016012,2,....20172017f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20172017i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=2018220182⨯=. 2．【答案】2 ∴()f x 的图象关于点()0,1对称，∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点()0,1对称 ，即M m 2+= 故答案为：2结论二 函数周期性问题 【变式训练】 1. 【答案】A【解析】依题意()()()3f x f x f x -=-=-，故函数()f x 为周期为3的周期函数，()()()()()2220173672111log 27log 5f f f f =⨯+==--=--+=-，故选A.2.【答案】C结论三函数的对称性 【变式训练】 1. 【答案】D【解析】∵()()22f x f x +=-，∴函数()f x 图象的对称轴为2x =，即()()4f x f x -=+， 又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=， ∴()()4f x f x +=，∵函数()f x 为周期函数，且T 4=是一个周期．结合函数()f x 为偶函数，且当[]20x ∈-，时，，画出函数()f x 在区间()26-，上的图象（如图所示），并且()()()2?261f f f -===．∵在区间()26-，内方程()()log 20(01)a f x x a a -+=>≠，有且只有4个不同的根， ∴函数()y f x =和()y log 2a x =+的图象在区间()26-，内仅有4个不同的公共点．结合图象可得只需满足1{log 81a a >< ，解得8a >．∴实数a 的取值范围是()8+∞，． 2. 【答案】D以12233...5m m m x x x x x x --+=+=+==，12233...3m m m y y y y y y --+=+=+==，设121...m m x x x x M -+++=，则121...m m x x x x M -+++=，两式相加可()()()()1221215...25,2m m m m x x x x x x x x M m M m --++++++++===，同理可得 选D.结论四 反函数的图象与性质 【变式训练】【答案】4【解析】由题意，方程24xx +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，24m m ∴+=……①，24n log n += …… ②由①得24mm =-，24m log m ∴=-（ ）令4t m =- ，代入上式得24t log t -=24t log t ∴+= 与②式比较得t n =于是44m n m n -=∴+= 故答案为4． 结论五 两个经典不等式 1.【答案】B【解析】因为f(x)的定义域为即{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x 知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.结论六 三点共线的充要条件 【变式训练】 1. 【答案】D【解析】设()()10133BP BN AN AB AC AB AB AC λλλλλλ⎛⎫==-=-=-+≤≤⎪⎝⎭u u u r u u u vu u u v u u u vu u uv u u u v u u u v u u u v ，∴()13AP AB BP AB AC λλ=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v．又()222221*********AP m AB BC m AB AC AB mAB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴2{ 3111m λλ==-，解得611{511m λ==．∴511m =．选D ． 2.【答案】18【解析】因为,,C M N 三点共线，所以()1122t t OC tOM t ON OA OB -=+-=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1,22t tx y -==，12x y +=， 22x y +表示原点与直线102x y +-=动点的距离的平方，它的最小值为21001282⎛⎫+- ⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭，填18．结论七三角形“四心”向量形式的充要条件【变式训练】1. 【答案】D【解析】由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P 是△ABC的垂心.2. 【答案】C【解析】设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.结论八等差数列【变式训练】1.【答案】B【解析】设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，由题意得2x+d=200，3x+3d=225，解得x=125，d=﹣50，故中间的m项的和为75，故选B．2.【答案】C【解析】，则是递增数列，但应是先减后增数列，故错误，应有最小值，故正确故选3.【解析】由题意，结论九 等比数列 【变式训练】 1.【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则当n 为奇数时，n T 为负数，当n 为偶数时，n T 为正数，所以n T 取得最大值时，n 为偶数，排除B ，而，，，4T 最大，选择C.2.【答案】21n-结论十 多面体的外接球和内切球 【变式训练】【解析】易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，结论十一 焦点三角形的面积公式 【变式训练】1.【答案】A【解析】设θ=∠21PF F ，，.60︒=∴θA.2. 【答案】A【解析】：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot162cot221===∆πθb S PF F .故答案选A.结论十二 圆锥曲线的切线问题 【变式训练】 1.【答案】A【解析】如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).结论十三 圆锥曲线的中点弦问题 【变式训练】【答案】【解析】 设PA 2的斜率为k 2,PA 1的斜率为k 1,则k 1·k 2=-=-,又k 2∈[-2,-1],所以k 1∈.2.证明 设P(x 0,y 0),则A(-x 0,-y 0),C(x 0,0),k AC ==,又k PA ==k,所以k AC =,由k BA ·k PB =-知,k PB ·k BA =k PB ·k AC =·k PB =-,所以k PB ·k=-1,即PA⊥PB. 结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题【变式训练】【解析】设直线AE 的方程为y=k(x-1)+,联立方程得消去y,整理得(4k 2+3)x 2+(12k-8k 2)x+4-12=0,则x E ==.①同理,设直线AF 的方程为y=-k(x-1)+,则x F =.②所以k EF ===,将①②代入上式,化简得k EF =.结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题【变式训练】 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程得消去y 得,(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0,结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题 【变式训练】 1.【答案】C【解析】根据结论知道一AB 为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为1x =-，故这个圆和直线3=2x -是相离的关系。
高中数学竞赛专题-函数2
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a) 说明“两个自变数相差a，则函数值互 为相反数”，于是相差2a时，函数值 相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；
考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函 数f ( x )的图像关于直线 x a 对称，这
故选（C）．
【解法2】设x∈(1，2)
则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，
∵ －1＜x－2＜0,
∴ 0＜2－x＜1
于是， f (2 x) log 2
1 1 (2 x)
log 2
1 x1
∵ f (x) 是奇函数，
∴ f (2－x)＝－f (x－2)，
∴
f ( x) log 2
2
不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明
自变数相差a－b时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x)
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数， 且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表 明自变数相差a－b时，函数值互为相 反数，于是相差2（a－b）时，函数值 相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为 周期函数，且 2（a－b）是周期．
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f x-【详解】(2由条件可知函数在区间
)(252
f
=
函数在区间[0,4
C ．(sin
)(cos )33
f f π
π
> D ．33
(sin )(cos )22
f f >
【答案】B 【解析】因为
()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-单调递增，所以
[]()1,0?,x f x 时∈- 单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时 单调递减，
因为110sin cos 122<<<，1sin1cos10,>>> 1> sin cos 033ππ>>,33
1sin cos 022
>>> 所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()sin1cos1f f <, sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,
33sin cos 22f f ⎛⎫
⎛
⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
6．已知
()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，函数
()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．10,
9⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．
()1,5
D ．
()5,9
【答案】D
【解析】由题得，令()log a
h x x =，定义域为0x >，()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，即()
f x 和()h x 的图像在定义域内有3个交点，
()(2)(2)[2(2)](4)(4)f x f x f x f x f x f x =-=--=---=--=-，故函数()f x 的一个周期是4，又
[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数(),()f x h x 图像如图，若两个
函数有3个交点，则有log 51log 91
a a <⎧⎨>⎩，解得59a <<，则a 的取值范围是(5,9).
7．已知函数()y f x =
的定义域为R ，且满足下列三个条件：∵任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有。