专题08 函数的周期性(原卷版)
专题08 函数的基本性质(核心素养练习)(解析版)
专题八 函数的基本性质核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-比较大小例题10.函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 【答案】B【解析】∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12， 又f (x )在[0,2]上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 考点二 数学运算-二次函数求最值例题11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值．【解析】 因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a 2，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. 考点三 数学建模—函数最值实际应用例题12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【解析】 (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元． 考点四 直观想象-利用函数的图象求函数的最值(值域)例题13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【解析】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．二、学业质量测评一、选择题1．（2017·全国高一课时练习）定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则f(x)必定是( )A.先增后减的函数B.先减后增的函数C.在R 上的增函数D.在R 上的减函数【答案】C【解析】定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立则当()()0f a f b -> 时，0a b -> ，此时f(x)是在R 上的增函数 当()()0f a f b -< 时，0a b -< ，此时f(x)是在R 上的增函数 所以f(x)是在R 上的增函数 所以选C2．（2017·全国高一课时练习）函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.－12【答案】B 【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 3．（2019·全国高一课时练习）已知()()310f x ax bx ab =++≠，若()2018f k =，则()2018f -等于( ) A ．k B ．k - C ．1k - D ．2k -【答案】D【解析】因为()31f x ax bx -=--+，所以()()2f x f x -+=，所以()()201820182f f -+=即()20182f k -=-，选D.4．（2018·全国高一课时练习）函数 f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若 f (1－m )＋f (－m )<0，则 m 的取值范围是( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(－1,1)C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(－1,0)∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，所以(1)()()f m f m f m -<--=，又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以111111m m mm -<-<⎧⎪->⎨⎪-<-<⎩解得102m <<，故选A. 5．（2018·全国高一课时练习）设函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x <的解集是（ ）． A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-<<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或【答案】D【解析】函数()f x 是奇函数，在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，()30f ∴=，且在()0-∞，内是增函数， ()0x f x <，∴①当0x >时，()()03f x f <=03x ∴<<②当0x <时，()()03f x f >=-30x ∴-<<③当0x =时，不等式的解集为φ综上，()0x f x <的解集为{}|3003x x x -<<<<或 故选D6．（2018·全国高一课时练习）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()1f x x x =+-，那么0x <时，()f x 的解析式为()f x =（ ）．A.21x x -+ B.21x x -++C.21x x ---D.21x x --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()()2211f x x x x x ∴-=-+--=+- 函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-即()21f x x x -=+-解得()21f x x x =--+。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(原卷版)(人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题例．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），直线y x m =+与抛物线交于A 、C 两点．(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴平行线交AC 于E 点，当EP 最长时求此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点N ，使以,,,A B M N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA PC+值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】综合与实践如图，抛物线23y ax x c=++与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点()30A ，和点(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由(1)求ABC 的面积；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线22PD CD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点的一点，直接写出所有使得以点B E M N 、、、为顶点的四边形是菱形的点求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．类型三、矩形存在性问题例．已知抛物线()240y ax bx a =+-≠交x 轴于点()4,0A 和点()2,0B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标及PD PE +最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．(1)求点A、B、C的坐标；(2)将抛物线L向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l上是否存在点D，使得以点D的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；的面积为S，求S (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设PBC坐标；(3)已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过,A B 两点，P 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，若四边形AMPN 是正方形，求此正方形的面积．【变式训练1】如图，二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接BC ．点P 是抛物线第一象限内的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ．交BC 于点E ．过点P 作BC 的平行线，交y 轴于点M ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)在点P 的运动过程中，求使四边形CEPM 为菱形时，m 的值；(3)点N 为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM 上是否存在点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．课后训练1．如图1，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点P 的横坐标大1，过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求PM QN +的最大值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y x=上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点求AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点(1,0)-，(3,0)和()0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当AN MN +有最大值时，求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线2y ax bx c =++（0a ≠））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A ，P ，Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．。
专题3 函数的周期性、对称性(原卷版)
上，存在 m( m 3) 个不同的整数 x(i 1, 2,..., m) ，满足
m 1
f ( x) f ( xi 1 ) 72 ，则 b a 的最小值为（
)
i 1
A．15
B．16
C．17
D．18
x
5．已知偶函数 f x 满足 f 3 x f 3 x ，且当 x 0,3 时， f x xe 2 ，若关于 x 的不等式
k 1
件是“存在 k Z ，使得 ( a, b) (3 ,3
k
) ”；
14．定义在 0, 上的函数 f x 满足：对 x 0, ，都有 f 2 x 2 f x ，当 x 1, 2 时，
f x 2 x ，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对 m Z ，有 f 2m 0 ；
4
2k
B． 2k ，
1
4
1
，k z
4
4k
D． 4k ，
2k
A． 2k ，
4k
C． 4k ，
）
1
2
5
，k z
2
1
4
15
，k z
4
2．设函数 y=f (x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f (x-2)=-f (x)对一切 x∈R 恒成立，当-1≤x≤1 时，f (x)=x3，
2
x 3
.
其中正确命题的序号有_________.
19．已知数列 {an } 满足 a1 2 ，且 S n
专题08 一次函数及其应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)
专题08 一次函数及其应用考向1 一次函数的图象与性质【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故选：D．【试题分析】此题考察了一次函数图象的性质以及点的坐标特征，再转化到不等式中，考察不等式变形；【命题意图】一次函数的图象以及其计算的难度不会很大，但是和其他知识点结合考察的时候，可以同步考察各知识点的融合应用，难度就可以大起来了；【命题方向】一次函数的图象和性质在浙江中考中考察的不多，主要还是以后续的应用为主。
当一次函数和其他函数或者几何图形结合考察时，主要难度也不在一次函数上，而在与之结合的图形上。
但是一次函数的考点规律性较强，也基本上可以和其他所有的几何图形结合，所以整体难度还是可以上去的；【得分要点】一.图象的画法：（原理：两点确定一条直线）二．图象的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上k＞0 k＜0性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小直线走势从左往右看上升从左往右看下降增减应用当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）必过象限直线必过第一、三象限直线必过第二、四象限b＞0 直线过第一、二、三象限直线过第一、二、四象限b=0（正比例函数）直线过第一、三象限直线过第二、四象限正比例函数必过原点（0,0）b＜0 直线过第一、三、四象限直线过第二、三、四象限三．待定系数法求一次函数表达式的方法：步骤普通一次函数具体操作正比例函数具体操作1.“设”设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）2.“代入”把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程3.“解”解这个关于k、b的二元一次方程组解这个关于k的一元一次方程4.“再代入”把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式步骤一次函数正比例函数找点找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点找除原点外的任意一个点描点在平面直角坐标系中描出所找的点的位置连线过这两个点画一条直线过原点和这个点画一条直线四．一次函数与方程、不等式的关系一次函数y=kx+b 作用具体应用与一元一次方程的关系求与x轴交点坐标方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标与二元一次方程组的关系求两直线交点坐标方程组⎩⎨⎧+=+=2211bxkybxky的解是直线11bxky+=与直线22bxky+=的交点坐标与一元一次不等式（组）的关系一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
2023-2024学年八年级数学下册 专题08 期中选择填空必刷(压轴18考点53题)(原卷版)
B．2 个
C．3 个
D．4 个
33．如图，▱ABCD 中，AB＝22cm，BC＝8 cm，∠A＝45°，动点 E 从 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 运动，动点 F 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿着 CD 向 D 运动，当 点 E 到达点 B 时，两个点同时停止．则 EF 的长为 10cm 时点 E 的运动时间是（ ）
； ．
11．因为
，所以， 的整数部分为 2，小数部分为
为 x， 的整数部分为 y，则
＝
．
五．二次根式的应用（共 1 小题）
12．已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
；设 的小数部分
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），给出了求其面积的海伦公式：
A．①②
B．①③
C．①②④
D．①②③
45．如图．正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，M 是边 AD 上一点，连接 OM，过点
A．6s
B．6s 或 10s
C．8s
D．8s 或 12s
一十二．平行四边形的判定与性质（共 1 小题）
34．如图，已知△ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，且 BD＝1，以
AD 为边作等边△ADE，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F，连接 BF，则下列结论中①△
点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当△ODP 是腰长为 15 的等腰三角形时，点 P
的坐标为
．
40．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝4，E 为 AD 的中点，F 为线段 EC 上一动点，P
专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性(原卷版)
第二篇 函数、导数及其应用 专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性【考纲要求】1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 【命题趋势】1. 对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大. 【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【素养清单•常用结论】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．【真题体验】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（）A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（）A． B.C．D．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为（）5.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为（）6.【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C．D．8．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A．B．0C．2 D．50【考法拓展•题型解码】考法一函数奇偶性的判断解题技巧：判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．(2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列各函数的奇偶性．①f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；②f(x)＝lg(1－x2)|x－2|－2；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.考法二函数奇偶性的应用解题技巧：与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x(3)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________.考法三函数的周期性归纳总结：函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期．【例3】(1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________.(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 022)＝__________. (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝__________.考法四函数性质的综合应用归纳总结：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】(1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是() A．(22，3) B．(3，10)C．(22，4) D．(－2,3)(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C ．2D ．50(3)(2019·池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a【易错警示】易错点 不会利用函数的奇偶性解抽象不等式【典例】 (2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增. 若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是__________．【错解】：由已知f (2|a －1|)＞f (－2)可得f (2|a －1|)＞f (2)，而f (x )是增函数，所以2|a －1|>2＝212 ，即|a －1|>12，所以a >32或a <12，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 【错因分析】：偶函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，而偶函数在与原点对称的区间上单调性相反，所以在(0，＋∞)上f(x)是减函数．本解答忽视了奇偶性的基本性质，从而在将抽象不等式转化为具体不等式时出错误．【正解】：【答案】：⎝⎛⎭⎫12，32【解析】因为f (x )是偶函数且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)，所以原不等式可化为f (2|a －1|)＞f (2)，故有2|a －1|＜2，即|a －1|<12，解得12<a <32.归纳总结：函数不等式的求解方法解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性的性质，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解．【跟踪训练】 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x >0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【递进题组】1．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－43．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x ＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞)4．(2019·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【考卷送检】 一、选择题1．下列函数是奇函数的是( ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝x 3－12．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A ．17B ．－1C ．1D ．73．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．984．(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数5．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．45C ．－1D ．－456．(2019·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，1 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 二、填空题7．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ＞0，4－2－x，x ＜0，则实数a ＝________. 8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________． 9．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种叙述： ①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________． 三、解答题10．(2019·临川一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．13．(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足等式f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为( ) A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4。
专题08 语法填空 (解析+词汇+变式+技巧+模拟) -2024年1月浙江首考英语卷深度解析
《2024年1月浙江首考英语卷深度解析及变式训练》养成良好的答题习惯，是决定高考英语成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
专题08 语法填空 (解析+词汇+变式+技巧+模拟) 原卷版关键词：人与社会, 说明文, 促销手段, 网络购物, 双十一购物, 移动支付The shelves in most supermarkets are full of family-size this and multi-buy that. However, ifyou’re shopping for one, buying extra 56 (benefit) from price reductions doesn’t make sense. Either your shopping is then too heavy to carry home 57 you can’t use what you’ve bought while it’s still fresh.Of course, shops are not charities — they price goods in the way 58 will make themthe most money. If most of their customers are happy to buy larger quantities, that’s 59 they’ll promote. But that leaves the solo (单独) customers out of pocket and disappointed.Many supermarkets are no longer doing “buy one get one free” promotions because of the 60 (criticize) that they lead to waste. Consumers prefer money off individual items. However, though it’s nice to get a few cents off a pack of sausages, it would help even more if they could sometimes 61 (offer) in smaller packs. Even the biggest sausage fan doesn’t want to eat them every day.If your supermarket sells loose produce, then buying smaller quantities is easier. Over the lasttwo years, some supermarkets 62 (start) selling chicken or salad in packs 63 (design) with two halves containing separate portions (份). Then, when you use one section, 64 other stays fresh.Who knows, perhaps some of the more forward-looking 65 (one) may yet come outwith a whole range of “just for you” pack sizes with special offers as well.一、高频短语1. supermarket n.2. family-size a.3. multi-buy a.4. extra a.5. reduction n.6. charity n.7. price vt.8. customer n.9. promote vt.10. criticize vt. 11. criticism n.12. individual a.13. sausage n.14. loose a.15. produce n.16. portion n.17. section n.18. forward-looking a.19. range n.20. offer n.二、核心语块1. benefit from2. makes sense3. either..or…4. no longer5. buy one get one free6. lead to7. a range of7. as well变式一、单句填空1. The __________(shelf) in most supermarkets are full of family-size this and multi-buy that.2. However, if you’re shopping for one, __________(buy) extra to benefit from price reductions doesn’t make sense.3. Either your shopping is then too heavy to carry home __________ you can’t use what you’ve bought while it’s still fresh.4. Shops are not charities — they price goods in the way __________ will make them the most money.5. If most of their customers are happy to buy larger quantities, that’s __________ they’ll promote. But that leaves the solo (单独) customers out of pocket and __________(disappointed).6. Many supermarkets are no longer doing “buy one get one free” promotions because of the __________(criticize) that they lead to waste.7. How ever, though it’s nice to get a few cents off a pack of sausages, it would help even more if they could sometimes __________(offer) in smaller packs.8. Even the biggest sausage fan doesn’t want __________(eat) them every day.9. If your supermarket sells loose produce, then __________(buy) smaller quantities is easier.10. Over the last two years, some supermarkets __________(start) selling chicken or salad in packs designed with two halves __________(contain) separate portions (份).11. Then, when you use one section, __________ other stays fresh.12. Who knows, perhaps some of the more forward-looking __________(one) may yet come outwith a whole range of “just for you” pack sizes with special offers as well.变式二：第57题变式（平行结构）1. (2020浙江)Although Mary loved flowers, ________she nor her husband was known as a gardener.2. (2019全国II) I love coming here and seeing my family and all the friends I have made over the years. I work not because I have to, ________ because I want to.”3. __________you must improve your work or I shall dismiss you.4. Between the two generations, it is often not their age, ________ their education that causes misunderstanding.5. Between working full-time ________ taking care of the kids, he didn't have much time for hobbies.6. I shall go swimming tomorrow whether you come with me ________stay at home.7. It is often said that the joy of traveling is ______ in arriving at your destination ______ in the journey itself.8. It was an extremely dark, lonely country road. Neither a single person ______ any traffic was in sight at all.9. The exchange program between the UK and China may affect various schools ranging _________kindergartens to high schools10. Customs can vary from region ___________ region, clothes can vary in colour and size.变式三：第61题变式（情态动词后边跟什么）1. (2020全国III卷)The artist was sure he would ___________ (choose), but when he presented his masterpiece to the emperor’s chief minister, the old man laughed.2. (2020浙江1月卷)People tend to focus on the first factor. However, greater attention should ___________ (place) on longevity (长寿).3. The first thing you have to do is to collect items that can _____________(recycle).4 Let’s hurry, Jane. They must_________________(wait) for us anxiously.5.—I hear she married a beggar.—She must __________(be) mad.6. (2019•天津卷)The workers were not better organized, otherwise they would _______________ (accomplish) the task in half the time.7. (2018•天津卷) I can't find my purse. I must_____________(leave) it in the supermarket yesterday, but I'm not sure.8. (2015•天津) I needn’t ___________ (worry) before I came to the new school, for my classmates here are very friendly to me.9.The teachers must _______________ (grade) our papers now.10. Black holes cannot ___________(see) directly, so determining the number of them is a tough task.变式四：第62题变式（使用现在完成时场合）1. (2021·浙江卷) It doesn't impress like George Washington's plantation on the Potomac, but Lincoln's home in downtown Springfield, Illinois, ____________ (prove) irresistible to visitors since it opened to the public.2. (2020•天津卷) The number of medical schools reached 18 in the early 1990s and ____________ (remain) around that level since.3. (2019·江苏卷) The musician along with his band members ___________(give) ten performances in the last three months.4. (2019•全国II卷) I don't see any reason to give up work. I love coming here and seeing my family and all the friends I _______________ (make) over the years.5. (2018·北京卷) China’s high-speed railways ____________ (grow) from 9,000 to 25,000 kilometers in the past few years.6. (2018·全国II卷) Diets have changed in China — and so too has its top crop. Since 2011, the country ________ (grow) more corn than rice.7. It is the most instructive lecture that I ___________ (attend) since I came to this school.8. During the last three decades, the number of people participating in physical fitness programs _________________(increase) sharply.19. Zhong Nanshan is the most distinguished doctor in China that ___________(recognize) internationally.10. —Where is Peter? I can't find him anywhere.—He went to the library after breakfast and ____________ (write) his essay there ever since.During China’s dynastic period, emperors planned the city of Beijing56 arrangedthe residential areas according to social classes. The term “hutong”,57 (original)meaning “water well” in Mongolian, appeared first during the Yuan Dynasty.In the Ming Dynasty, the center was the Forbidden City, 58 (surround)in concentric (同心的)circles by the Inner City and Outer City. Citizens of higher social classes 59 (permit) to live closer to the center of the circles. The large siheyuan of these high-ranking officials and wealthy businessmen often 60 (feature)beautifully carved and painted roof beams and pillars (柱子). The hutongs they formed were orderly, lined by 61 (space) homes and walled gardens. Farther from the center lived the commoners and laborers. Their siheyuan were far smaller in scale and 62 (simple)in design and decoration, and the hutongs were narrower.Hutongs represent an important cultural element of the city of Beijing. Thanks to Beijing’s long history 63 capital of China, almost every hutong has its stories, and some are even associated with historic 64 (event). In contrast to the court life and upper-class culture represented by the Forbidden City, the Summer Palace, and the Temple of Heaven, the hutongs reflect 65 culture of grassroots Beijingers.语法填空考点剖析考点一：提示词为动词，考查谓语动词若句中没有其他的谓语动词，或者虽已有谓语动词，但需填的动词与之是并列关系时，所给动词就是谓语动词，就要考虑时态、语态和主谓一致，偶尔也有考查虚拟语气的情况。
专题08 中考19题 三角函数的应用—2023年中考数学必考特色题型讲练(河南专用)(原卷版)
专题08三角函数的应用选题介绍本题型属于河南省中招考试的必考题型，每年解答题中均有体现。
本专题整理的三角函数的应用主要是解答题型，所考知识点主要是锐角三角函数在直角三角形中的应用，本题型首先会引入一个环境，然后让学生通过利用解直角三角型的思想求长度。
该题一般为解答题，分值9分，难度系数中等，得分率偏高。
利用三角函数解直角三角形的解题思路：①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；②构造直角三角形（题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造，直接解直角三角形，如果不再则需作垂线构造）；③解直角三角形；④设直角边为x；（直角三角形中有边长时直接求其它边，没有边长时需要设x）；⑤利用三角函数构造关于x的方程。
真题展现2022年河南中招填空题第19题19.开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。
某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得浮云阁顶端D的仰角儿为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°。
已知测角仪的高度为1.5m，测量点A、B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求浮云阁DC的高度。
（结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.2021年河南中招填空题第19题19．（9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．2020年河南中招填空题第18题18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．2019年河南中招填空题第19题19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）2018年河南中招填空题第20题20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE（结为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）模拟演练字母型1.黄河全长约5464千米，是中国第二长河．位于郑州市黄河文化公园东部的黄河滩地公园，集休闲观光、农业采摘、林间漫步、亲子研学等多项功能，成为省会郑州的“大氧吧”“后花园”和网红打卡地．周末，小明一家来到黄河滩地公园游玩，小明想测量某段黄河的宽度．如图，小明利用自制测角仪，在河岸A处测得对岸C处在南偏东40°方向，沿岸边向东走100步到达B处，并测得对岸C处在南偏东30°方向，请根据以≈︒≈︒≈，上信息，估算此段黄河的宽度．（结果精确到0.1m．参考数据：一步0.8m,sin400.64,cos400.77︒≈≈tan40 1.73）2.无塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔．某数学活动小组到汝南测无影塔的高度．如图，他们在点D处测得塔顶A的仰角为30°，沿直线前行23米至点C，在点C处测得塔顶4的仰角为50︒．已如点B，C，D在同一直线上，请依据相关数据求无影塔的商度（结果精确到0.1m．参考数据：sin500.77,cos500.64,tan50 1.117︒≈︒≈︒≈≈9.3）．背靠背型3．如图，小明在某森林公园的一处观景台观赏垂直而下的瀑布，从D点看到瀑布顶端B的仰角为45︒，看到瀑布底端E的俯角为30︒，若瀑布底有一水潭，D点到水潭水平面的距离DA为4m，求瀑布顶端到水潭水平面的距离BE的长．（结果保留整数．参考数据：2 1.414≈≈，3 1.732)4.被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案．铁塔位于铁塔公园的东半部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元1049年(北宋皇祐元年)，是1961年我国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称．某数学兴趣小组开展了“测量开封铁塔的高度”的实践活动，具体过程如下：工具准备：皮尺，测角仪．方案设计：如图2，开封铁塔AB 垂直于地面，在地面上选取C ，D 两处分别测得ACB ∠和ADB ∠的度数（,,C B D 在同一条直线上）数据收集：通过实地测量：地面上C ，D 120m ，45ACB ∠=︒，42ADB ∠=︒．问题解决：（1）求开封铁塔AB 的高度(精确到0.1m).景点介绍开封铁塔的高度为55.88米，则计算结果的误差为多少？并说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么？（参考数据：sin420.67︒≈，cos420.74︒≈，tan420.9︒≈ 1.41≈）（2）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．活动阅读型5.嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB 的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin 320.52︒≈，cos320.84︒≈，tan 320.62︒≈）6.手机测距APP 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距APP 提供的测高模式如下：点,,,A B C D 都在同一平面内，手机位置为A 点，待测物体为CD ，且AB 和CD 均与地面BD 垂直．从点A 处测得顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β．奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到 1.65m AB =，仰角35α=︒，俯角28β=︒，求出广告牌CD 的高度（参考数据：sin 350.57,cos350.82,tan 350.70,sin 280.47,cos 280.88,tan 280.53︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到0.1）．垂直构造型7．宝轮寺塔-中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱-呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度()AB进行测量．因塔底部B无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面C处测得塔尖A的仰角()∠为45︒，因ACB广场面积有限，无法再向C点的正后方移动，故操控无人机飞到C点正上方10米的D处测得塔尖A的仰角为32︒，A，B，C，D四点在同一个平面内，求塔高()AB为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：︒≈︒≈，tan320.62)sin320.53︒≈，cos320.858.如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41）．不规则图形构造直角三角形9.郑州外国语中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行60米至B 处，测得正前方河流右岸D 处的俯角为30°．线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一条直线上．其中tan 2α=，MC =米．（1）求无人机的飞行高度AM ；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD ．（结果精确到1 1.41≈， 1.73≈）10.如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角∠EOA=30°，在OB 的位置时俯角∠FOB=60°，若OC ⊥EF ，点A 比点B 高7cm ，求单摆的长度（结果精确到0.1，1.73）．。
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专题08 函数的周期性专项突破一 周期函数的定义与求解1．有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（ ）．A ．①②都正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①②都错误2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ）A ．2()(1)f x x =-B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛= ⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．32π 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（ ） A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________． 8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。
函数”，试写出一个“ l f 。
函数”：__________．专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)1．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716 B ．54 C ．2 D ．12．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e x f x =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．eBC ．92eD ．924．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．-11 B ．-8 C ．3log 4 D ．38log 4-5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当02x ≤≤时，()()()22log 1,012,12x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⋅-<≤⎪⎩，则()()20222023f f +的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727- 7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()222f x f x +=-+，且()0f x >，则()2021f =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0x ∈，2]时，f (x )＝e x ，则f (7)=______. 9．已知()f x 是以4为周期的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()1f x x =-，则()21f -=________．10．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(1)2(10)3f f -=+，则(2021)f =___________. 11．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()(2)f x f x =+；③当01x ≤<时，()21x f x =-，则135(1)(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()3f x x =，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13．设()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()2()log 1f x x =+，则函数()f x 在[]2,4上的解析式为__________.14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20192f x f x +=，且[)02x ∈，时，()3x f x =，则()2022f =__________. 15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2． （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算f (0)＋f （1）＋f （2）＋…＋f (2019)．16．已知函数()f x 是实数集R 上的函数，且()()3f x f x =-+，当03x ≤<时，()22f x x x =-.(1)求()f x 的周期.(2)求912x <≤时，函数()f x 的表达式.(3)若关于x 的方程()f x ax a =-在区间[)0,6上恰有4个解，求实数a 的取值范围.专项突破三 抽象函数周期性1．定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=-，则下列是周期函数的是（ ）A ．()y f x x =-B ．()y f x x =+C ．()2y f x x =-D ．()2y f x x =+2．已知函数()21y f x =+的图象关于直线1x =对称，函数()1y f x =+关于点()1,0对称，则下列说法正确的是（ ）A ．()10f =B ．()()11f x f x -=+C ．()f x 的周期为2D ．()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．已知()11y f x =-+是奇函数，则下列等式成立的是（ ）A ．()()112f x f x -+--=-B ．()()112f x f x -+--=C ．()()11f x f x =+-D ．()()11f x f x +=--4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．05．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．定义在正整数上的函数满足()()()()21N*f k k f k k ++-∈，则()65f =（ ）A ．()1fB ．()3fC ．()5fD ．()7f7．函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数()y f x =的图象关于原点对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（ ）A ．－3B ．－2C ．2D ．39．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（ ）A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-10．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()41f x +为奇函数，则下列等式不一定．．．成立的是（ ）A ．()10f -=B ．()10f =C ．()20f =D ．()30f =11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为偶函数，(2)f x +为奇函数，则(2022)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（ ）A ．34B ．2C ．52D ．413．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ） ①()()16f x f x =-；②()110f =；③()()20220f f =-；④()()20213f f =-.A ．1B ．2C ．3D ．414．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（ ）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数15．已知()f x 是R 上的奇函数，()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()22f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 最小正周期为4B ．()33f -=-C ．()20200f =D ．()20213f =-16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________.17．定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(2)2f x +=(2021)f =____________. 18．已知定义在Z 上的函数()f x ，对任意,x y Z ∈，都有()()4()()f x y f x y f x f y ++-=且1(1)4f =，则(0)(1)(2)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+的值为_________19．已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.20．已知f (x )是定义在R 上的函数，满足1()(1)1()f x f x f x -+=+． （1）若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）证明：函数f (x )的周期是2；（3）当[0,1)x ∈时，f (x )＝2x ，求f (x )在[1,0)x ∈-时的解析式，并写出f (x )在[21,21)()x k k k ∈-+∈Z 时的解析式．专项突破四 函数周期性的应用1．已知在R 上的函数f x （）满足对于任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，(7)(7)f x f x +=-，且在区间[0,7]上只有1x =和3x =两个零点，则()0f x =在区间[0,2022]上根的个数为（）A ．404B ．405C ．406D ．2032．定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()12f x ≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()134,422k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()132,222k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，则()f x 在区间(0,8)上零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x ＋2）＝f （﹣x ），当x ∈[0，1]时()2sin f x x π=，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）A ．庚子年B ．丙卯年C ．癸亥年D ．戊申年6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当(0,3)x ∈，()e =x f x x ，则下面结论正确的是（ ）A ．19(ln 3)(e)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．19(e)(ln 3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．19(e)(ln 3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．19(ln 3)(e)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭7．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ） A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>8．已知f （x ）是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[]0,1x ∈时，()πsin2x f x =，则函数()()e xg x f x -=-在区间[2021,2022]-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．2020C ．4043D ．40449．已知函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，对x ∀∈R ，都有()()31f x f x -=+恒成立，当[]0,2x ∈时，()212f x x =，当0k >时，若函数()f x 的图象和直线()4y k x =+有5个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点11．周期为4的函数()f x 满足()()4f x f x =-，且当[]0,2x ∈时()31f x x =-，则不等式()0f x ≤在[]22-,上的解集为______；12．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则方程1()=01f x x +-在[]2,4-上的所有根之和为____.。