9函数的周期性(教学案)
数学高一-【】函数的周期性 教学案例
5.函数的周期性一. 知识要点:1. 函数的周期性周期函数定义：若函数)(x f 满足 )()(x f T x f =+, ()0≠T ，则称函数)(x f 为周期函数，T 是其周期说明:定义域为R 时，若T 是周期，那么nT 也是周期 ( n 为整数）2。
最小正周期最小正周期定义:若)(x f y =是周期函数，且在它所有的周期中存在最小的正数0T ，称0T 为)(x f y =的最小正周期。
说明:（1）周期函数不一定有最小正周期（常数函数）（2）最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期不一定不变3.如何判断函数的周期性：⑴ 定义; ⑵ 图象;⑶利用下列补充性质： 设a>0，则：① 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a② 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a③ 函数y=f(x),x ∈R, 若)(1)(x f a x f ±=+，则函数的周期为2a ④ 若函数)(x f 的图象同时关于直线a x =与b x =对称，那么其周期为||2a b -；证：若关于x=a 对称，则有f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，从而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a 代x 可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期为||2a b -；特例：若函数)(x f 是偶函数，且其图象关于直线a x =对称，那么其周期为 T=2a⑤若函数)(x f 关于直线a x =对称，又关于点()0,b 对称, 那么函数)(x f 的周期是4|b-a|； 证：关于直线a x =对称可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，关于点()0,b 对称可得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b 代x 可得：f(-x)+f(2b+x)=0，与（1）式联立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），进而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，与（2）；联立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函数)(x f 是奇函数，又其图象关于直线a x =对称，那么其周期为T=4a二. 例题选讲:例1. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时,13)(-=-x x f , 求)(log 32131f 的值解:(2)(1)(),2f x f x f x T +=-+=∴=,又13331log log 32,log 32432=<<且33log 3241333149(log )(log 32)(log 324)313281f f f -∴==-=-=- 例２．已知定义在R 上函数)(x f y =满足)2()2(-=+x f x f ,且)(x f 是偶函数,当[]2,0∈x 时，12)(-=x x f ，求当[]4,0x ∈-时，函数)(x f y =的解析式.解：27[4,2)()21[2,0]x x f x x x ⎧+∈--⎪∴=⎨⎪--∈-⎩ 变式 :已知)()2(x f x f -=+，当(]4,0∈x 时，1)(2+-=x x f ，求函数)(x f y =的解析式.解：2()(4)(4)1f x f x n x n ∴=-=--+例3：设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性和周期性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和,从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(2) 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.三. 课外作业:1.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意x 都有)(1)(1)2(x f x f x f -+=+成立,设)(n f a n =, 数列{}n a 中值不同的项最多有几项？解：由)(1)(1)2(x f x f x f -+=+得)(1)2(1)2(1)4(x f x f x f x f -=⋅⋅⋅=+-++=+进而得到)()8(x f x f =+，即T=8，所以数列{}n a 中值不同的项最多有8项；2.定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,且当[]1,1-∈x 时，3)(x x f =⑴ 求()y f x =在[]5,1∈x 上的表达式.⑵ 若{}R x x f x A ∈>=,0)(|，且φ≠A ,求实数a 的取值范围.解：可得周期T=4，⑴33(2)[1,3]()(4)[3,5]x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩⑵a<13.设()y f x =是定义在 ()+∞∞-,上以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间(]12,12+-k k ，已知当当0I x ∈时，2)(x x f =，（1）求()y f x =在k I 上的解析式；（2）对*∈N k ，求集合{}上有两个不相等的实根在使方程k k I ax x f a M ==)(| 解：（1）由周期T=2结合平移可得在k I 上2()(2)f x x k =-；（2）上有两个不相等的实根在使方程k I ax x f =)(，即ax k x =-22）（在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，也即04)4(22=++-k x k a x 在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<->∆>-≥+12241200)12(0)12(k k a k k f k f 解得：1021a k <≤+；。
函数的周期性教学案例
教学实践新课程NEW CURRICULUM教师（观看教室前张贴栏上的“课程表”，有意装出惊讶的腔调）：我们一学期要上二十一周课，一百五十多天，我们的课表怎么只列出了五天的课呢？（由学生熟悉的事件提出问题）学生1：从周一到周五，这个学期每周的课程都是重复的，这周的课上完了，下周一开始重新按照课表上课，我们从小学读书到现在，课表上给出的都是五天的课程安排。
我们都很熟悉这个规律。
教师：那请同学们思考一下，这种规律反映的是一种什么现象呢？全体学生：是周期现象。
教师：现实生活中，这种现象多么？学生2：很多，还有四季更迭、月亮的圆缺、奥运会和世界杯的举办。
学生3：还有每年元旦、五一、十一这样的节日和假期的到来（笑声）。
教师：这些事件中我们能发现，好多事物来了又去，去而复还，可见周期性是普遍存在的,那么我们能不能给一般的周期函数下一个定义呢？学生4：当自变量x增加一个数值或减少一个数值后，相等的函数值y重复出现，这就刻画了此函数的周期性。
教师：意思表达的很好！但这只是粗略的文字语言，必须用精确地数学符号语言来表述才行。
学生4:设函数f（x），若存在常数a，对于定义域中的任意自变量x的值，都有f（x+a）=f（x）成立，那么就称f（x）为周期函数，a可以说是这个函数的周期。
教师：很好!f（x+a）=f（x），就是当自变量x增加一个数值或减少一个数值后，相等的函数值y重复出现的符号语言。
但还有几点要完善的地方，第一，我们习惯上把周期用T表示；第二，尽管我们已注意到“对任意自变量x”，但我认为精确度还不够。
教师：现在针对刚才我们同学的“研究成果”提出两个问题，请大家思考。
按照前面的“定义”，可得出这样的结论“所有函数都是周期函数”。
教师：设任意函数f（x），f（x+0）=f（x）是不是都成立？学生：是这样啊！教师：所以可以得出“所有函数都是周期函数”，且“0是所有函数的周期“这个结论。
学生5（恍然大悟）：如果“所有函数都是周期函数”，那么研究周期函数就失去意义了，应该加上条件“T是非零常数”就可以解决这个问题.教师：太好了！在数学研究中，对问题的本质是逐步认识和完善的。
高中数学函数周期变化教案
高中数学函数周期变化教案
教学目标：
1. 理解函数的周期性和变化规律；
2. 掌握如何找到函数的周期和变化规律；
3. 能够应用周期变化函数解决实际问题。
教学重点：
1. 函数的周期性；
2. 函数的变化规律。
教学难点：
1. 找到函数的周期；
2. 分析函数的周期变化。
教学准备：
1. 教师备好教案和讲义；
2. 准备投影仪和电脑；
3. 准备白板、黑板、粉笔或者白板笔。
教学步骤：
一、引入
1. 引导学生回顾函数概念，复习函数的定义和性质；
2. 提出问题：什么是函数的周期性？函数的周期存在哪些特征和规律？
二、讲解
1. 讲解函数的周期性概念和定义；
2. 介绍如何找到函数的周期：通过图像、数学公式等方法找到函数的周期；
3. 分析周期变化函数的变化规律：常见的周期函数有哪些？它们的变化规律是怎样的？
三、示例演练
1. 给出几个周期变化函数的例题，让学生分析并找到函数的周期；
2. 让学生通过实际案例来解决周期变化函数问题。
四、练习检测
1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识；
2. 引导学生自主思考、解决问题。
五、总结
1. 总结本节课学习的内容，巩固学生对函数周期变化的理解；
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的分析和解决问题能力。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够更深入地理解函数的周期性和变化规律，掌握如何找到函数的周期，并能够运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注重教师引导学生主动思考和解决问题，提高学生的学习兴趣和能力。
数学《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)
1．函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论 1. 函数 y = f (x) 的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a － x) = 2b 证明：(必要性)设点 P(x ,y)是 y = f (x) 图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P‘(2a－x，2b－y)也在 y = f (x) 图像上，∴ 2b－y = f (2a － x) 即 y + f (2a － x)=2b 故 f (x) + f (2a －x) = 2b，必要性得证。
(充分性)设点 P(x0,y0)是 y = f (x) 图像上任一点，则 y0 = f (x 0)∵ f (x) + f (2a －x) =2b∴f (x0) + f (2a － x0) =2b，即 2b－y0 = f (2a － x 0) 。
故点 P‘(2a－x0，2b－y0)也在 y = f (x) 图像上，而点 P与点 P‘关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x) 的图像关于原点 O对称的充要条件是 f (x) + f ( －x) = 0 ab 结论2. 若函数 y = f (x) 满足 f (a +x) = f (b － x)那么函数本身的图像关于直线 x = 2对称，反之亦然。
证明：已知对于任意的x0, y0都有 f(a+ x0) =f(b－x0)= y0令 a+x0= x' , b－x0= x"则Ａ( x'，y0)，Ｂ( x"，y0)是函数 y=f(x)上的点ab显然，两点是关于 x= 2对称的。
ab反之，若已知函数关于直线 x = 2对称，在函数 y = f (x) 上任取一点Ｐ( x0, y0 )那么P(x0,y0) ab关于 x = 2对称点P'(a+ b－x0,y0)也在函数上故f( x)=f(a+ b －x0) f(a+( x0-a))=f(b-( x0-a)) 所以有 f (a+x) = f (b － x)成立。
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性(精选3篇)
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性（精选3篇）教案一：函数的对称性教学目标：1. 能够理解函数的对称性的概念。
2. 能够识别并绘制函数的对称轴。
3. 能够利用函数的对称性来简化计算和证明过程。
教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的对称性概念。
可以使用具体的例子来说明，例如y = x²这个函数。
让学生观察这个函数的图像，并指出函数的对称轴在x轴上。
步骤2：识别对称轴（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数图像的对称轴。
可以使用不同类型的函数，如多项式函数、三角函数等。
步骤3：绘制对称轴（25分钟）现在，学生可以用纸和铅笔，或者计算机绘图软件，绘制给定函数的图像，并标出对称轴。
教师可以给予学生一份工作表，上面列有几个函数，要求学生绘制它们的图像和标出对称轴。
步骤4：应用对称性（15分钟）最后，教师可以给学生一些问题，让他们应用对称性来简化计算和证明过程。
例如，让学生证明一个函数在对称轴上的值是相等的，或者让他们通过给定函数的对称轴来求出其他点的函数值。
教学延伸：教师可以进一步探讨函数的奇偶性质与对称性的关系，以及函数的图像在对称轴两侧的关系。
教案二：函数的周期性教学目标：1. 能够理解函数的周期性的概念。
2. 能够识别函数的周期和周期的长度。
3. 能够利用函数的周期性来简化计算和证明过程。
教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的周期性概念。
可以使用具体的例子来说明，例如y = sin(x)这个函数。
让学生观察这个函数的图像，并指出函数的周期为2π。
步骤2：识别周期（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数的周期和周期的长度。
可以使用不同类型的函数，如三角函数、指数函数等。
《函数的奇偶性与周期性》教案
《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。
1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。
二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。
”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。
2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。
1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。
2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。
3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。
3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。
1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。
2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。
3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。
4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。
1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。
高中数学函数周期变化教案
高中数学函数周期变化教案教学目标1. 理解函数周期性的定义及其数学表达方式。
2. 掌握常见周期函数的性质和图像特点。
3. 学会判断一个函数是否具有周期性。
4. 通过实例分析，提高解决实际问题中周期性现象的能力。
教学内容1. 函数周期性的定义向学生介绍函数周期性的概念：如果存在非零常数\( T \)，使得对于定义域内的所有\( x \)，都有( f(x+T) = f(x) \)成立，则称\( f(x) \)是以\( T \)为周期的周期函数。
强调周期的最小正值称为基本周期。
2. 周期函数的性质通过举例说明周期函数的几个基本性质：- 若\( f(x) \)以\( T \)为周期，则\( f(x+kT) = f(x) \)对于任意整数( k \)都成立。
- 若\( f(x) \)和\( g(x) \)分别以\( T_1 \)和\( T_2 \)为周期，则( f(x)+g(x) \)以\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数为周期。
- 类似地，若\( f(x) \)以\( T )为周期，\( c )为常数，则\( cf(x) \)也以\( T \)为周期。
3. 常见周期函数的类型介绍几类常见的周期函数，如三角函数、指数函数等，并通过图像展示它们的特点。
例如正弦函数( y=\sin(x) )是周期函数，其周期为\( 2\i \)。
4. 判断函数的周期性讲解如何判断一个函数是否具有周期性，包括直观观察法、代数法和图像法。
提供几个练习题，让学生实践这些方法。
教学方法采用启发式和探究式教学相结合的方式，鼓励学生参与到问题的讨论和解决过程中来。
利用多媒体工具辅助教学，使抽象概念形象化，便于学生理解。
教学过程1. 导入新课：通过日常生活中的例子（如四季更替、钟表的循环等）引出周期性的概念。
2. 呈现定义：详细解释函数周期性的定义，并用数学语言准确描述。
3. 探讨性质：结合实例，引导学生总结周期函数的性质。
函数的周期性教案
函数的周期性教案教案标题：函数的周期性教案目标：1. 理解函数的周期性的概念和特点。
2. 掌握函数周期性的判断方法。
3. 能够应用函数的周期性解决实际问题。
教学重点：1. 函数的周期性的定义和特点。
2. 函数周期性的判断方法。
3. 函数周期性在实际问题中的应用。
教学难点：1. 函数周期性的判断方法的灵活应用。
2. 函数周期性在实际问题中的转化和解决。
教学准备：1. 教师准备：a. 准备教学课件，包括函数周期性的概念、特点和判断方法的说明。
b. 准备多个函数的周期性判断的例题和实际问题的应用题。
c. 准备学生小组合作讨论的活动安排。
2. 学生准备：a. 预习相关教材内容，了解函数的周期性的概念和特点。
b. 准备纸笔，以便进行课堂练习和解题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，并复习函数的定义和性质。
2. 引导学生回顾函数的周期性的概念，并提问函数周期性的特点是什么。
二、概念讲解（10分钟）1. 通过教师讲解和示例演示，介绍函数周期性的定义和特点。
2. 强调函数周期性的重要性和应用价值。
三、判断方法讲解（15分钟）1. 教师通过课件展示，详细讲解函数周期性的判断方法，包括函数图像的观察和函数表达式的分析等。
2. 提供多个函数的图像和表达式，引导学生进行判断，并解释判断的依据和思路。
四、练习与讨论（20分钟）1. 学生个人练习：在纸上完成教师提供的函数周期性判断题目。
2. 学生小组合作讨论：教师分配学生进入小组，让学生相互讨论并解答教师提供的函数周期性应用题。
3. 教师巡回指导，鼓励学生积极参与讨论，解答问题。
五、实际问题应用（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，引导学生将问题转化为函数周期性的判断和解决。
2. 学生个人或小组完成实际问题的解答，并向全班展示解题过程和结果。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调函数周期性的重要性和应用。
2. 提出拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索函数周期性的相关内容。
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函数的周期性(教学案)
一、 学习目标：1、了解周期函数和周期的定义；
2、能够从图象判断函数的周期性；
3、会利用函数的周期性求简单函数的值.
二、 学习重点： 函数的周期性
三、 学习难点：对函数周期性的理解
四、 教学过程：
（一）新课引入：
请同学们各自列举三~五个循环往复、周而复始的（有规律）事物，
并考虑其性质。
（二）新知识学习：
由交流引入分析、归纳周期现象：“有规律的重复现象”，从数值上看，就是变化着的量的每一个值在_______________会重复出现；从图象上看，整个图象是由______________重复拼接而成的。
这种现象就是量变化的__________.
周期函数的图象特征和周期
如果函数y=f(x)的变化存在周期现象，即它的图象是由_______________________________________，那么就把它叫做
_________.____________________________叫做它的_______________. 用式子表达： 对于函数)(x f y =，若存在常数T>0,对定义域中的任何x 都有______________,f(x) 叫做__________.满足上述条件的最小正数T 叫做_______________.
说明：①T 是函数)(x f y =的周期，则____________
也是周期； ②周期函数的定义域是____________.
（三）问题探讨
问题1. 根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小正周期。
(1) (2) (3)
问题2.周期为2的函数 )(x f y =是奇函数，当10<≤x 时，x x f +=1)(，求)5.23(-f 和)25.139(f 的值.
(四)、课内练习：
1．根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小正周期。
2、偶函数函数 )(x f y =的周期为3，当10<≤x 时，x x f +=1)(，求)5.23(-f 和)25.140(f 的值.
（五）课堂小结：（学生共议）
（六）作业：
1.根据下列函数的图象，判定函数是否为周期函数。
若是，指出函数的最小正周期。
(4)
2. 奇函数函数 )(x f y =的周期为3，当10<≤x 时，x x f +=1)(，求)5.23(f 和)25.140(-f 的值.。