《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)

1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计【教学目标】1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.【导入新课】1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、xy 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；减函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.例1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-，[)3,1[)[]5,3,1,2-上是增函数.注意：1.单调区间的书写2．各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x ，03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y .所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x 2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆. 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x .于是0>∆y . 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值；（2） 计算x ∆、y ∆；（3） 对比符号；（4） 结论.二、奇函数、偶函数的概念：1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例4 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【提示】①不对，如函数21()f x x=是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A.（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 【提示】由2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0.又定义域为［1,2a a -］，∴(1)20a a -+=，∴31=a ．故答案为A. 例5 判断下列函数的奇偶性：（1）()(f x x =-(2)()f x ； （3）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩. 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数. (2)222101110x x x x ⎧-≥⎪⇒=⇒=±⎨-≥⎪⎩，∴()0f x =∴()f x 既是奇函数又是偶函数. （3）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-U ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x =， ∴()f x 为偶函数. （4）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数.例 6 若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：2(2)(4)0f a f a -+-<.解：由已知得2(2)(4)f a f a -<--，因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2(2)(4)f a f a -<-.又()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，从而223224121132141a a a a a a a a a ⎧⎧-<<-<-⎪⎪-<-<⇒<<⇒<⎨⎨⎪⎪-<-<<<⎩⎩， 即不等式的解集是2).例7 已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-. （1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 在R 上是减函数；（3）求()f x 在[3-，6]上的最大值与最小值.（1）证明：令0x y ==，可得 (0)(0)(00)(0)f f f f +=+=，从而，f(0) = 0.令y x =-，可得 ()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. （2）证明：设12,x x ∈R ，且12x x >，则120x x ->，于是12()0f x x -<．从而121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-<.所以，()f x 为减函数.（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f -，最小值为(6)f .(3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1) 2.f f f f f f f -=-=-+=-+=-=，(6)(6)[(3)(3)]4f f f f =--=--+-=-.于是，()f x 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4. 课堂小结1. 单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.2. 求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.3. 判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.作业见同步练习部分拓展提升1.下列四个函数：①1x y x =-; ②2y x x =+； ③2(1)y x =-+; ④21x y x =+-，其中在(-,0)∞ 上为减函数的是（ ）（A ）① （B ）④ （C ）①、④ （D ）①、②、④2.函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定3. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范围为( )A.m>0B.30<m<2C.-1<m<3D.1322m -<< 4．下列命题中，真命题是（ ）A ．函数1y x=是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数30(1)y x x =-是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数2y x =是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D ．函数2(0)y ax c ac =+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数5．若)(x ϕ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－36()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 7．函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <8．已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-9．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++10．根据函数单调性的定义，证明函数在 上是减函数．11.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围.参考答案1. A2. D3.B4.C 【提示】A 中，1y x=在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a <时，2(0)y ax c ac =+≠在（0，2）上为减函数，答案为C.5.C 【提示】)(x ϕ、()g x 为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数.又()f x 有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3.∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C.6.D【提示】2a-1<0时该函数是R上的减函数.7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.8.D【提示】0a b+≤可转化为a b≤-和b a≤-在利用函数单调性可得.9.解：(1)2221(0)21(0)x x xyx x x⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩即22(1)2(0)(1)2(0)x xyx x⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和.（2）当2230,13x x x-++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x=-++=--+当2230,13x x x x-++<<->得或，函数2223(1)4y x x x=--=--，即22(1)4(13)(1)4(13)x xyx x x⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或.如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和.(1) (2)10.证明：设1212,x x R x x∈<且，则33221221212121()()()(),f x f x x x x x x x x x-=-=-++ 12x x<因为，21x x->所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设2x≠，那么222222121123()24xx x x x x x++=++>，12()()f x f x>所以，故()f x在(,)-∞+∞上为减函数.11.解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22f f f+=⋅，因为1()02f>所以(0)1f=. (2)设0x<则0x->，由条件可知()0f x->，又因为1(0)()()()0f f x x f x f x==-=⋅->，所以()0f x>.∴Rx∈时，恒有0)(>xf.（3）设12x x <则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --.因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x -->，又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x -->，所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.(4)因为()(2)1f x f x ⋅->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ⋅-=->，所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或.。