函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性和周期性导学案
1、判断下列函数奇偶性:
(1)f(x)＝ (2) f(x)= (3)f(x)＝ ＋
2、如果奇函数 区间[－7，－3]上是（）
A、增函数且最小值为－5 B、增函数且最大值为－5
C、减函数且最小值为－5 D、减函数且最大值为－5
3、奇函数 （）
A、 B、 C、 D、
4、已知
5、设 是奇函数，求 的值。
2、根据定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）求定义域，看定义域是否关于原点对称
（2）验证 或 对定义域中的任意x是否恒成立。
（3）作结论。
3、f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=
4、周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。
二、例题讲解
四、课后作业：
1、对 （）
A、 B、 C、 D、
2、已知定义在R上的奇函数 ，则 的值为（）
A、－1 B、1 C、0 D、2
3设 为（）
A、0.5 B、1.5C、－1.5 D、－0.5
4、已知函数 ， 的值为（）
A、0.5 B、1 C、1.5 D、－1.5
5、已知 ）
A、4 B、6 C、8 D、11
1、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
(5)
2、设奇函数 的定义域为[－4,4],若当 ，则不等式 的解集是_________________________.
3、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 求出函数的解析式并ห้องสมุดไป่ตู้出函数f(x)的图象。
4、已知f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上的单调性，并证明。
高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性 精品导学案
函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性【高考目标定位】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二、热点难点提示1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。
2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
【考纲知识梳理】定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
【热点、难点精析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>判断函数奇偶性的一般步骤（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。
若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性导学案导言：函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常遇到一些特殊的函数，它们具有奇偶性质。
本文将介绍函数的奇偶性概念，以及如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。
一、函数的奇偶性概念在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
它们与自然数的奇偶性概念相对应。
下面分别给出奇函数和偶函数的定义。
1. 奇函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = - f(x)，那么称该函数为奇函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值的相反数也相等。
2. 偶函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = f(x)，那么称该函数为偶函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值保持不变。
二、判断一个函数的奇偶性判断一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过两种方法：图像判断和代数判断。
1. 图像判断：绘制函数的图像是判断函数奇偶性的直观方法。
对于奇函数，若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；对于偶函数，若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数。
2. 代数判断：对于定义在整个实数集上的函数f(x)，可以通过代数方式进行奇偶性判断。
将函数的表达式中的x替换为-x，然后比较原函数和替换后的函数是否相等即可。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，下面分别介绍奇函数和偶函数的性质。
1. 奇函数的性质：a) 奇函数的图像关于原点对称；b) 奇函数在区间[-a, a]上关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；c) 奇函数与奇函数相乘是偶函数；d) 奇函数与偶函数相乘是奇函数。
2. 偶函数的性质：a) 偶函数的图像关于y轴对称；b) 偶函数在区间[-a, a]上关于y轴对称，即f(-x) = f(x)；c) 偶函数与奇函数相乘是奇函数；d) 偶函数与偶函数相乘是偶函数。
四、应用实例奇偶函数在数学和实际应用中具有广泛的应用。
《函数的奇偶性》导学案
学习目标：1,初步理解奇函数、偶函数、函数的奇偶性的概念；2,掌握判断一些简单函数奇偶性的方法.《函数的奇偶性》导学案（一）一、课前预习1.画出函数()()xx f x x f 12==与，从对称的角度观察其图像特点.2.分析函数()2x x f =的图像，比较()()x f x f -与的关系.x……-3-2-10123……2x y =类比：()xx f 1=呢？3.给出奇函数、偶函数的概念：（1）偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做偶函数．偶函数的图像关于对称（2）奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做奇函数．奇函数的图像关于对称判断：①奇、偶函数的定义域都关于原点对称.（）②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()11f f -=-，则函数()f x 一定是奇函数.（）由此，判断函数的奇偶性：图象法（形），定义法（数）二、项目一会判断函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性：⑴()1f x x x =+⑵()11f x x x =+--()1,0x x -+<⎪⎩方法总结：用定义法判断函数的奇偶性：①先验证是否关于对称，②验证与的关系，③根据定义下结论.练习：判断下列函数的奇偶性：⑴()4223f x x x =+⑵()32f x x x =-⑶()21x f x x +=⑷()23f x x x =-+三、当堂检测1.对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（）.A．()()0f x f x --=B．()()0f x f x +-=C．()()0f x f x -= D．(0)0f ≠2.下列说法错误的是（）.A.1()f x x x =+是奇函数B.()|2|f x x =-是偶函数C.()0,[6,6]f x x =∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x x f x x -=-既不是奇函数，又不是偶函数3.函数()|2||2|f x x x =-++的奇偶性是.项目总结：用定义法判断函数奇偶性的一般步骤：课后反思：。
016--2.1.4函数的奇偶性(1)
4、若函数 是奇函数，且 ，则 ___________
四、典型例题
例1、判断下列函数的奇偶性
1 ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
例2、已知f（x） 求
例3、已知 是奇函数，且当 时， ，求 的表达式
五、课堂练习
1、函数 的奇偶性是 （ ）
5、函数 的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
6、 为 上的偶函数,且当 时, ,则当 时, _____.
7、函数 为偶函数，那么 的大小关系为__________________.
8、已知 为偶函数，其定义域为 ，求 的值域.
【当堂检测】
1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
4、如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_____________为对称轴的________图形；反之，如果一个函数的图象_______________对称，则这个函数是____________________.
三、基础自测
1、一次函数 ，是奇函数，则_______________
2、二次函数 是偶函数，满足的条件是____________
A．y＝－x2＋5(x∈R)B．y＝－xC．y＝x3(x∈R)D．y＝－ (x∈R，x≠0)
2、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3、偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课 编制人：年级主任：班级：姓名：编号：016
人教课标版(B版)高中数学必修1《函数的奇偶性》导学案
2.1.4 函数的奇偶性一．学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二．学习过程：引例：已知函数()314f x x =，()2g x x =， 则有()f x -= ，()g x -=讨论()f x 与()f x -、()g x 与()g x -的关系。
1. 函数奇偶性的定义：奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数。
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。
奇偶性：如果一个函数()f x 在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数()f x 具有奇偶性。
注意：（1） “对任意x D ，都有x D -∈”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具有奇偶性，还需判断()f x -是否等于()f x ±，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±等等。
（3） 从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2. 函数奇偶性的性质：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。
注意：（1） 若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则()00f =；（2） 既是奇函数又是偶函数的函数图象在x 轴上。
高中数学必修一《函数的奇偶性》教学导学案
（3）这种关系是否对任意 都成立(从解析式入手)？
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
9
4
1
0
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
1
0
-1
…
探究一：偶函数概念
1、定义：一般地，如果对于函数 的内一个 ，都有，那么函数 就叫做偶函数
2、性质：（定义域、几何意义、解析式）
【小试牛刀】
2、性质：（定义域、几何意义、解析式）
合
作
学
习
例1判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
变式训练：判断函数 的奇偶性
【规律总结】
例2函数 是奇函数，则 ________.
变式训练：若 是偶函数，定义域为 ，则 等于()
A. B. C. D．2
【规律总结】
应
用
学
习
【当堂检测】
1．若函数 为偶函数，则 ()
情感、态度与价值观:在探究偶、奇函数的概念及性质的过程中，增强合作意识，体验成败，感受喜悦，磨练意志。培养自主探究、小组合作，培养团队合作的良好习惯．
学习重点
函数的奇偶性及性质；
学习难点
判断函数奇偶性的方法及格式．
自
主
学
习
【预习新知】阅读教材 ，自主完成
观察下图思考并讨论以下问题：
（1）这两个函数图像有什么共同特征？
主备审核授课人授课时间班级姓名
导入学习
学习目标
知识与技能:1、理解函数的奇偶性概念及其性质；2、能判断一些简单函数的奇偶性。
高中数学《函数的奇偶性》导学案
1．3.2 奇偶性1．奇偶函数的定义(1)偶函数的定义：□1如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数的定义：□2如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．函数奇偶性的几何特征(1)□3奇函数的图象关于原点对称；(2)□4偶函数的图象关于y 轴对称．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )(2)函数f (x )＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，f (2)＝4，则f (－2)＝________.(2)(教材改编P 36T 1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 4＋2x 2；②f (x )＝x 3＋1x ； ③f (x )＝x 3＋x 2.(3)(教材改编P 36T 2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的递增区间．答案(1)4(2)①是偶函数②是奇函数③是非奇非偶函数(3)完整图如下函数的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)『释疑解难』理解函数奇偶性的注意点(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在[－3,5]上却不具有奇偶性．(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则根据定义可得，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0，即奇函数的图象过原点．(3)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．这样的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空数集．探究1 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ；(3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.解 (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．拓展提升 函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．【跟踪训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x －x 2，x >0；(2)f (x )＝0； (3)f (x )＝2x ＋1；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(3)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．探究2 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)[结论探究]本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．解由例题图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．拓展提升巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．【跟踪训练2】(1)奇函数y＝f(x)的局部图象如图(1)所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________；(2)已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图(2)所示，那么f(x)的值域是________．答案(1)f(2)>f(4)(2)[－3，－2)∪(2,3]解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f (－2)<f (－4)，所以－f (－2)>－f (－4)，即f (2)>f (4)．(2)利用奇函数图象的性质可以得到函数f (x )在[－2,0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．探究3 利用函数奇偶性求解析式例3 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋2)，x >0，0，x ＝0，x (2－x )，x <0.拓展提升求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性解出f (x )．注意：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，则未必有f (0)＝0.【跟踪训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 设x <0，∴－x >0.∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.探究4 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)，因为f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 拓展提升奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．【跟踪训练4】 (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.2.奇偶函数的主要性质(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f (|x |)＝f (x )，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.(3)函数的单调性与奇偶性的关系①若f (x )是奇函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f (x )是偶函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性相反.②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.3.分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8答案 C解析 A ，D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数．2．若函数f (x )满足f (－x )f (x )＝1，则f (x )图象的对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加，解得g (1)＝3.4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)若g (x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．解 (1)g (x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g (－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3，∵g (x )＝g (－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34 D ．1答案 A解析 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2解析因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案C解析解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案D解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析 ∵x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (－x 2)<f (－x 1)．二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.答案 13 解析 由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0，所以a ＋b ＝13.8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；(2)f (x )＝x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <－1，0，|x |≤1，－x ＋2，x >1.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)对于函数f (x )＝x ，其定义域为[0，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )＝x 既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x <－1时，－x >1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x >1时，－x <－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．B 级：能力提升练10．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．解(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1，则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0.又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)<0.所以f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.。
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1.3.2奇偶性
【学习目标导航】
1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义．
2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．
3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．
【学习重、难点】
1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)
2．函数奇偶性的应用．(难点)
【问题提出导入新知】
1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题：
（1）f (x)＝x2（2）g(x)＝|x|
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗？
（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于y轴的对称点(—x, f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？
)= ；)=
这时我们称函数f (x)＝x2与g(x)＝|x|为偶函数。
（5）偶函数的定义：如果对于函数f (x)的，都有，那么函数f (x)就叫做偶函数。
偶函数的图象特征：图象关于对称。
2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题：
1
（1）f (x)＝x（2）g(x)＝
x
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？
（3）点(x, f (x))在函数y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在y= f (x)的图象上吗？为什么？
对于R 内的任意的一个x ，都有f (—x )= ；g (—x )= 这时我们称函数f (x )＝x 与g (x )＝
x
1
为奇函数。
（5）奇函数的定义：如果对于函数f (x )的 ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数。
奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 对称。
3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题：
（1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x ”中的“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ （2）－x 与x 两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 得出结论： (3)如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？
得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论：
【典例分析】
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x )＝x ＋x 3＋x 5； (2) f (x )＝x 2＋1； (3) f (x )＝x ＋1；
(4) f (x )＝x 2，x ∈[－1, 3]； (5) f (x )＝0； (6) f (x )＝5.
（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0常函数. 前提是定义域关于原点对称）.
【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 。
【活学活用1】判断下列函数的奇偶性： (2) f(x)=2x 4+3x 2；
(5) f(x)=x 3+2x ；
(6)2
211)(x x x f -+-=
【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。
(3)()f x
=(4)()f x =
1(1)()f x x x =-
【例2】（1）如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部图象，求f (－4).
（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部图象，试比较f (1)与f (3) 的大小.
（1）（2）
【活学活用2】(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小
并试作出y轴右侧的图象．
【思考】奇函数f(x)的对称区间上的单调性有什么关系？偶函数呢？
【例3】已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
【活学活用3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，求函数f(x)在R上的解析式．
【课堂练习】
1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为。
2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
4.若函数f(x)＝（m－1）x2+2m x+3是偶函数，则m= 。
【课堂小结】
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) ⇔f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数.
2.两个性质:
一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.
3.判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。
【课堂作业】
课本第36页第1题及大册子第24页。