苏教版高中数学高一必修1教学案 第19课时 函数的奇偶性1
高中数学必修1《函数的奇偶性》教案
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数的奇偶性(1)
第7课时函数的奇偶性(1)教学过程一、问题情境用多媒体展示日常生活中常见的对称现象,如美丽的蝴蝶、建筑(如图1)……并让学生自己列举生活中对称的实例,从而揭示本节课的课题.[2](图1)二、数学建构(一)生成概念问题1作出函数f(x)=|x|和g(x)=图象,回答下列问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征?(2)自变量为任意两个相反数时相应函数值是如何体现这些特征的?[3](图2)首先让学生分别计算x=±3,x=±2,x=±1,…时的函数值,通过特殊值让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性:f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况?借助课件演示(或参见图2),学生通过观察和运算发现两个函数具有上述不同特性,即两个函数各自对称性的实质是:自变量互为相反数时,函数值相等和互为相反数这两种关系.然后通过解析式给出简单证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.奇偶性的概念:如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.(二)理解概念问题2奇函数、偶函数的定义中有“任意”两字,这说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?(函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质,它不同于单调性)问题3-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?(函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件) (三)巩固概念问题4(1)对于任意一个奇函数f(x),图象上的点P(x,f(x))关于原点的对称点P'的坐标是什么?点P'是否也在函数f(x)的图象上?由此可得到怎样的结论?(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?(学生通过回答问题4可以把奇函数图象的性质总结出来,即函数f(x)是奇函数⇔图象关于原点对称;然后教师让学生自己研究一下偶函数图象的性质,即函数f(x)是偶函数⇔图象关于y轴对称.同时,教师用多媒体展示中心对称图形绕中心旋转及轴对称图形绕轴旋转的特性,形象直观.如此经过由形到数再由数到形的过程,可使学生加深对本小节内容的理解)三、数学运用【例1】(教材P42例6)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:(1)f(x)=x2-1;(2)f(x)=2x;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.(见学生用书课堂本P23) [处理建议]规范板书第(1)题,其余3小题由学生自己完成.要强调先求函数的定义域,再判断f(x)和f(-x)的关系,最后再根据函数奇偶性的定义得出结论.[规范板书]解(1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数.(2)函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=-2x=-f(x),所以函数f(x)=2x是奇函数.(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠-f(-1), f(1)≠f(-1).因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.[题后反思](1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断它是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.②如果函数的定义域关于原点对称,则进一步观察f(-x)与f(x)的关系.③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数;若f(-x),f(x)既不相等也不互为相反数,则f(x)既不奇函数,也不是偶函数.(2)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0;反之,f(x)=0的定义域关于原点对称时才能称f(x)=0既是奇函数又是偶函数.由于定义域可能有无数个(只要关于原点对称即可),所以,既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.变式判断函数y=的奇偶性.[处理建议]强调研究函数的性质(本课的奇偶性,上一课的单调性、最值等)时,都必须先求定义域.[规范板书]解∵≥0,∴x<-1或x≥1,∴函数的定义域为{x|x<-1或x≥1},它不关于原点对称,∴函数y=是非奇非偶函数.[题后反思]判断一个函数的奇偶性,首先要考察它的定义域是否满足“x和-x都在函数的定义域内”,即是否关于原点对称,如果对称然后再考察f(-x)与f(x)的关系;否则函数既不是奇函数,也不是偶函数.【例2】(教材P43例7)判断函数f(x)=x3+5x是否具有奇偶性.(见学生用书课堂本P24) [处理建议]关键是规范学生利用奇偶性的定义解决问题.[规范板书]解函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)3+5(-x)=-(x3+5x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+5x为奇函数.[题后反思]强调掌握判断函数奇偶性的步骤.变式(教材P45第8题)已知函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,求实数m的值.[规范板书]解因为函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,故f(-x)=f(x)恒成立,即(-x)2+m(-x)+1=x2+mx+1对任意的x恒成立,所以m=0.[题后反思](1)已知函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立;已知函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立.若多项式恒成立,则变量的对应项系数相等.(2)也可结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以m=0;还可以根据函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数⇔b=0(此性质还可以类似推广).【例3】已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,求当x>0时函数f(x)的解析式.(见学生用书课堂本P24) [处理建议]先提出“如何求给定区间上的解析式”的问题,引导学生讨论,教师点评,然后示范解题.[规范板书]解因为函数f(x)为偶函数,当x>0,则-x<0,所以f(x)=f(-x)=-x+1.[题后反思]本例是利用函数的奇偶性求解析式,关键要抓住一点:求什么范围内的解析式就设自变量在什么范围内.变式(教材P45习题2.2第11题)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=1,试求函数y=f(x)的解析式.[处理建议]引导学生讨论:“函数f(x)的解析式怎样书写才正确,为什么?”也可以结合图象,引导学生写出正确的解析式.[规范板书]解∵函数f(x)为奇函数,∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0;当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-1.∴f(x)=[题后反思]奇函数f(x)若在x=0处有意义,则f(0)=0 .*【例4】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=.[处理建议]引导学生对第(1)题进行分子有理化.[规范板书]解(1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),将函数式分子有理化,得f(x)==,f(-x)==,∴f(x)=-f(-x),∴函数f(x)是奇函数.(2)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)===f(x),∴函数f(x)为偶函数.[题后反思]在观察f(x)和f(-x)的关系时,把握式子的结构特征以及适当处理也很重要.变式判断函数f(x)=的奇偶性.[处理建议]此类问题,主要是考察奇、偶函数的定义,准确理解定义并作出判断,要求达到“快而精准”,对一些典型的函数应当加以记忆.[规范板书]解∵f(x)=,∴解得x∈[-, 0)∪(0,],它关于原点对称.此时,f(x)===,∴f(-x)===-=-f(x),∴f(x)为奇函数.[题后反思]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).四、课堂练习1.判断下列函数是否具有奇偶性(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”):(1)函数f(x)=是奇函数;(2)函数f(x)=x2-2-1是偶函数;(3)函数f(x)=x+1是非奇非偶函数;(4)函数f(x)=x2,x∈(-1, 1]是非奇非偶函数;(5)函数f(x)=+是非奇非偶函数;(6)函数f(x)=+是偶函数.2.若二次函数y=ax2+(b-3)x+c(a≠0)是偶函数,则b=3.提示结合偶函数的定义,可得b=3;也可以结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以b=3;还可以根据二次函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数⇔b=0(此性质还可以类似推广).五、课堂小结从知识与方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结:本节课主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.。
高中数学 函数简单性质 奇偶性教案 苏教版必修1
高中数学 函数简单性质 奇偶性教案 苏教版必修1学习要求：1. 进一步了解奇偶性的含义2. 掌握判断奇偶性的方法3. 学会运用奇偶性处理有关问题自学评价：1.奇函数、偶函数的含义2.函数图像的对称性和函数奇偶性的关系3.判断下列函数的奇偶性：364422(1).()(2).()31(3).()8,[2,2)(4).()23(5).()(6).()21f x x xf x x f x x x x f x x x f x f x x x =+=+=++∈-=+==--4.已知函数f(x)的定义域味R ，则下列判断是否正确：(1).(2)(2)()(2).(2)(2)().(3).(2)(2)().f f f x f f f x f f f x -=-≠-=若，则函数为偶函数.若，则函数不是偶函数若，则函数不是奇函数5. [](),21f x a a a --=若奇函数的定义域为，则例题评讲：{(1),0(1),0()()xx x x x x f x f x -≥+<=例1.判断函数的奇偶性，其中{22,0,0()()x x x x x x f x f x +<->=练习：判断函数的奇偶性，其中()R (0).y f x f =例2.已知函数是定义域为的奇函数，求的值2()(2)(1)3.f x m x m x m =-+-+例3.已知函数是偶函数，求 的值()R 0() 1.().y f x x f x y f x =>==例4.已知函数是定义域为的奇函数，且时 试求函数的表达式2()R 0()2 1.()f x x f x x x f x >=+-变式练习：为上的奇函数，且时 求函数的解析式.当堂达标○1下列函数是奇函数的是1(0)y x x => 31y x =+21x y x+= 21x y x += ○2如果二次函数2(3)(0)y ax b x c a b =+-+≠=是偶函数，则 ○3[][]()()5,50,5()00,2f x x f x -∈>设奇函数定义域为，若时，的解集是，()0f x <的解集是（2,5），则不等式()0f x <的解集是 ○4设()f x 为偶函数，且0x <时1()x f x x +=，求0x >时()f x 的表达式思考探究已知(),()()()f x g x f x g x 是定义在R 上的函数，是奇函数，为偶函数 21()(),()1f x g x f x x x +=-+且求的表达式变式：53()8,(2)10(2)f x x x bx f f =++--=已知函数若，求的值。
高中数学 第19课时 函数的单调性和奇偶性教案 苏教版必修1 教案
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)+f(t)<0；
板书设计
当堂作业
课外作业
教师札记
江苏省新沂市第二中学2014-2015学年高中数学 第19课时 函数的单调性和奇偶性教案 苏教版必修1
课题
第十二课时 函数的单调性和奇偶性
课型
新授课
教学目标
学习要求：
1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用
重点
学会对函数单调性，奇偶性的综合应用
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
二、复合函数单调性
例2、求函数y= 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y= 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.
三、利用奇偶性，讨论方程根情况
例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
难点
学会对函数单调性，奇偶性的综合应用
教法
讲授法、讨论法、探究法
教
学
过
程
教 学 内 容
个案调整
教师主导活动值
例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= － .
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
高一数学《函数的奇偶性》教案
高一数学?函数的奇偶性?教案课题：1.3.2函数的奇偶性一、三维目的：知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的才能。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生擅长探究的思维品质。
二、学习重、难点：重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
三、学法指导：学生在独立考虑的根底上进展合作交流，在考虑、探究和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。
对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进展处理，使学生边学边练，及时稳固。
四、知识链接：1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：2.分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程：函数的奇偶性：〔1〕对于函数，其定义域关于原点对称：假设______________________________________，那么函数为奇函数；假设______________________________________，那么函数为偶函数。
〔2〕奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。
〔3〕奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性。
六、达标训练：A1、判断以下函数的奇偶性。
〔1〕f〔x〕＝x4；〔2〕f〔x〕＝x5；〔3〕f〔x〕＝x＋〔4〕f〔x〕＝A2、二次函数 ( )是偶函数,那么b=___________ .B3、，其中为常数，假设，那么_______ .B4、假设函数是定义在R上的奇函数，那么函数的图象关于〔〕〔A〕轴对称〔B〕轴对称〔C〕原点对称〔D〕以上均不对B5、假设定义在区间上的函数为奇函数，那么 =_____ . C6、假设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时， =_______ .D7、设是上的奇函数，，当时，，那么等于〔〕〔A〕0.5 〔B〕〔C〕1.5 〔D〕D8、定义在上的奇函数，那么常数 ____ , _____ .七、学习小结：本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。
高一数学教案：苏教版高一数学函数的奇偶性教案2
函数的奇偶性教学目标1. 从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.2. 在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.3. 在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神. 教学重点函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断教学难点对函数奇偶性的概念的理解教学用具投影仪,计算机教学方法引导发现法教学过程一. 引入新课同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当的建立直角坐标系，那么大家发现了是么特点呢？（学生发现：图象关于丁轴对称。
）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与丁轴对称的函数展开研究。
思考：那些函数的图象关于丁轴对称？试举例。
12 J = Z, J =-（学生可能会举出一些口丁=二和/.等.）二.讲解新课以函数■'为例，给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于.■轴对称呢？（由学生回答，是利用图象的翻折后重合来判定）此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律？学生开始可能只会用语言去描述：自变量互为相反数，函数值相等.引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示.（借助课件演示令丁「='比较「得出等式■- - / ■-,再令厂九二得到进而再提出会不会在定义域内存在,使」刁与「门不等呢？（可用课件帮助演示让 :.动起来观察,发现结论，这样的匸是不存在的）从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个：，都有一；一二成立. 最后让学生用完整的语言给出定义，不准确的地方予以提示或调整.（1）偶函数的定义：如果对于函数一，的定义域内任意一个丄，都有■--,那么；二就叫做偶函数。
苏教版高中数学必修一函数的奇偶性学案(1)
2012高一数学 函数的奇偶性（2）学案一、学习目标：1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、教学过程：1．复习旧知：（1）奇偶性的定义（2）判断奇偶性的方法和步骤（3）函数具有奇偶性的前提是（4）判断下列函数的奇偶性：f(x)=x 2+x 4; f(x)=x 2-x; f(x)=x-x 1; f(x)=2 x2. 问题解决：一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论变式训练1. 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，试问f(x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论2.改y=f(x)是偶函数呢？小结二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．变式训练已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
小结三、利用奇偶性，单调性解不等式例3：（1）已知()f x 是定义域为R 上的增函数，且f(m-1)>f(2m-1),求实数m 的取值范围（2）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且为R 上的增函数f(m-1)+f(2m-1) >0，求实数m 的取值范围（3）定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0，求实数m 的取值范围．（4）定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围（5）定义在（－2，2）上的偶函数，在[-2，0]上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围练习反馈1. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－43)与f(a 2－a+1) （a R ∈）的大小关系是 （ ） A ． f(－43)<f(a 2－a+1) B ． f(－43)≥f(a 2－a+1) C ． f(－43)>f(a 2－a+1) D ．与a 的取值无关 2. 定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m = ，n = ； 3. 函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。
苏教版数学高一苏教版必修1学案函数的奇偶性
课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 3+2x 2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x 3+2x 2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x 3-2x 2+1.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+-.012,00,0122323x x x x x x x 温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 3+2x; (2)f(x)=2x 4+3x 2; (3)f(x)=x 3+x 2.解析：(1)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x).即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x 4+3x 2为偶函数.（3）函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x 3+x 2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】 函数f(x),x ∈R ，若对于任意实数，a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数. 思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+3)(x -］=-x(1-3x ).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-3x ),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+.0)1(,0)1(33x x x x x x变式提升 1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=-31x； （2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-31x -=31x=-f(x). ∴f(x)=-31x是奇函数. (2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R ，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的奇偶性.解析：f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=-<---),0(1),0(0),0(1x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-),0()1(),0(0),0()1(x x x x x =-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,y ∈R,且x,y ≠0,已知函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy)=f(x)+f(y). 求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=12+++nx x m x ,试确定常数m 、n 的值. 解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴12+--nx x x +12++nx x x =0, 即x 2-nx+1=x 2+nx+1,∴2nx=0.∵x ∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.。
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一、复习引入
1、函数的单调性、最值
2、函数的奇偶性
（1）奇函数
（2）偶函数
（3）与图象对称性的关系
（4）说明（定义域的要求）
二、例题分析
例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数
（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(=
（3）||2)(x x f = （4）2)1()(-=x x f
例2、证明函数x x x f 5)(3+=在R 上是奇函数。
例3、试判断下列函数的奇偶性
（1）x x x x u -+-=11)1()( （2）22(1),
0()0,
0(1),
x x x g x x x x x ⎧-
>⎪==⎨⎪-+<⎩
例4、设3()1f x ax bx =++，且0)2(=f ，求)2(-f 的值。
三、随堂练习
1、函数5)(2+=x x f
、
A 是奇函数但不是偶函数 、
B 是偶函数但不是奇函数 、
C 既是奇函数又是偶函数 、
D 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中，正确的是_______.
（1）1)(=x f 既是奇函数又是偶函数； （2）1
)(2--=x x x x f 是奇函数 （3）x x x x f -+⋅
-=11)1()(是偶函数； （4）12)(2+-=x x x f 是非奇非偶函数 3、函数x x x f 2)(2+=的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？
4、证明函数x x x f -=3
)(在R 上是奇函数。
5、判断下列函数的奇偶性 (1)1()f x x x
=+ (2)421()x f x x -=
四、回顾小结
1、判断函数奇偶性。
2、证明一些简单函数的奇偶性。
课后作业
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、若函数(]2,1,)(2
∈=x x x f ，则下列说法中，正确的是______。
（1）奇函数
（2）偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）既不是奇函数也不是偶函数
2、函数3x y =的奇偶性是_______，它的图象关于_______对称。
3、设函数x x f -=
)(，则)(x f 的奇偶性是___________。
4、设函数22)(-+-=x x x f ，则)(x f 的奇偶性是___________。
5、设)(x f 在[]5,5-上是偶函数，则)2(-f 与)2(f 的大小关系是___________。
二、提高题
6、已知函数)2)(1()(+-=x x x f 。
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出其定义域、值域、奇偶性、单调区间。
7、已知函数12)(2
--=x x x f ，试判断函数)(x f 的奇偶性，并画出函数的图象。
8、已知)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，试判断函数cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。
三、能力题
9、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ，求证：)(x f 是奇函数。