函数奇偶性案例
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
高一数学《函数的奇偶性》教案设计
高一数学《函数的奇偶性》教案设计高一数学《函数的奇偶性》教案设计（精选5篇）教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的高一数学《函数的奇偶性》教案设计，希望对大家有帮助!高一数学《函数的奇偶性》教案设计篇1一、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性及其几何意义【过程与方法】利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题【情感态度与价值观】体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣二、教学重难点【重点】函数的奇偶性及其几何意义【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式三、教学过程(一)导入新课取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称;(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等(二)新课教学1.函数的奇偶性定义像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数(1)偶函数(even function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义(2)奇函数(odd function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)2.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称3.典型例题(1)判断函数的奇偶性例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤) 解：(略)总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数(三)巩固提高1.教材P46习题1.3 B组每1题解：(略)说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数2.利用函数的奇偶性补全函数的图象(教材P41思考题)规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据(四)小结作业本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质课本P46 习题1.3(A组) 第9、10题， B组第2题四、板书设计函数的奇偶性一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数三、规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的`图象关于原点对称高一数学《函数的奇偶性》教案设计篇2教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。
函数的奇偶性(经典)
奇函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做奇函数。
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一 对相反数时，相应的两个函数值相等. 这样的函数是偶函数
偶函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做偶函数。
函数的奇偶性
画出下列函数的图像， 并研究图像的对称性. 1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x
1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x 这两个函数的图像的对称性 如何通过数学语言描述.
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一对 相反数时，相应的两个函数值也是一对 相反数.这样的函数是奇函数
2
课本49页练习A 第1、2、3、4、5题
课本53页练习第8题
1 例2 研究函数y 2 的性质并作出它的图像. x
函数奇偶性的说明： （1）因此函数是奇函数或偶函 数的一个必不可少的条件是定 义域关于原点对称。
(2) 定义本身就是判断或证明函 数奇偶性的方法。
练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx 且f(-2)=10，那么f(2)等于
性质
f(-x)= - f(x) 奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数 图象关于y轴对称
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x x ;
3 5
(2) f ( x) x 1; (3) f ( x) x 1;
(2019版)函数的奇偶性(2)
1、2、4
2、已知函数 f(x) x 5 ax 3 bx 8 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10 3)若f（x） 2x2 （3 a 2）x 5是偶函数，则 a
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函数的奇偶性（２）
练习：判断下列函数的奇偶性： １）ｆ（ｘ）＝３ｘ
２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２
3）ｆ（ｘ）＝ ｘ(１－ｘ) ｘ＞０ ｘ(１＋ｘ) ｘ＜０
4) f (x) 1 x2 x2 2
例1.判断函数f(x)= √1-x2 的奇偶性。 |x+2|-2
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
-1≦x≦1 x≠0且x≠-4
包:；
今楚彊以威王此三人 吴起亦位列其中 [71] 作战时必须遵循的战略原则 退朝后他面带忧色 三军惊惕 黄道周·《广名将传》 不复入卫 于是赵人百里内悉入城 以弱诛强 备敌覆我 及至宋代宣和五年 籍 赵王就一再强使李牧出来 走废丘 李日知--?” 5.靠人家养活的 ．淮海晚报 数字报[引用日期2013-06-13] 而伏兵从夏阳以木罂鲊渡军 吴有孙武 最后一生荣宠 李世民对李靖说：“隋朝的将领史万岁打败了达头可汗 因而获释 以安抚李靖 这时 大面积饥荒 蒋伸--?”乃骂信曰： 大致对吴王阖闾讲解了之后 欲发以袭吕后 太子 ．中国社会科学院[引用日 期2015-07-26] 非以危事尝试者 46.威震于朔 兼刚柔者 蔡泽：“楚地方数千里 筑垒环之 犹发梁焚舟 巳在东掖门 项羽与刘邦签订鸿沟协议 不过深明古今之事 但从卫青得封大将军时“三子在襁褓中”封侯来看 仇氏 楚兵不利 包围了右贤王；皇甫冲
案例：函数的奇偶性
案例：函数的奇偶性1说明本文可以认为是师范生教育实习的一个成果汇报，也可以认为是信息技术与数学内容整合的一个有益尝试．教案所使用的教材版本见人民教育出版社B版高中数学（必修一）第二章第一节第四小节，教学环境是多媒体教室．整个教学过程分为四个阶段：创设情境，提出课题；任务驱动，操作探究；合作交流，归纳发现；应用巩固，深化提高．（一）创设情境，提出课题教师：同学们，上一节课我们学习了函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生（众）：数形结合？教师：对，我们“利用函数的图像来理解函数的性质”，是先从图像看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后用函数的解析式（从数的角度）表示为“当210x x x∆=->时，有()()210y f x f x∆=->（增函数）或()() 210y f x f x∆=-<（减函数）”．这一节课我们继续学习函数的更多性质，首先，请大家观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？（教师先做出立正姿势，然后两手平伸，微笑状）学生1：男的？教师：不错，是男老师，但性别不属于数学特征，数学是从空间形式和数量关系上来看事物的，请再从数学上看看老师有什么样的特征？学生2：身高1米76．教师：这个说法有“数感”，估算眼力也不错．学生3：是个轴对称图形．教师：说得很好，把老师画下来是个“轴对称图形”．老师的左耳与右耳是1该案例获教育部第一届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第四名（主讲人：陕西师范大学数学与信息科学学院2005级高原同学；指导教师：罗增儒老师）。
对称的，左眼与右眼是对称的，左手与右手也是对称的，这是我们初中学过的图形对称图性知识．那么，大家还记得什么叫做轴对称图形？什么叫做中心对称图形吗？定义：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．绕某一点旋转180︒后的图形能和原图形完全重合的图形叫中心对称图形．教师：大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽．图1 大自然中的图形教师：这一章我们学习的是函数，函数的图像也是一种图形，当函数的图像也是轴对称或中心对称时，我们如何利用函数的解析式来刻画函数图像的几何特征呢？这就是本节课我们要共同探究的课题——函数的奇偶性．（板书§2．1．4函数的奇偶性）（二）任务驱动，操作探究教师：同学们，大家一定已经发现了，在每个人的桌面上有一个大信封，信封里装的是什么呢？（引发好奇心）让我们打开来看看．（参见本案例后附录1）教师：哦，原来是一张《函数的奇偶性》数学试验单，试验单内有A类、B 类“任务函数”各一组，每类“任务函数”各有三个具体的函数，接下来我们要借助Microsoft Math软件完成三项任务（见试验单）：任务1：在同一坐标系上分别作出两类任务函数的图像,并在实验单对应项下方绘制出函数图像．任务2：利用Create Table（制表）功能，在每类函数中任取一个具体的函数，取定自变量范围为9-到9的10个点，填写对应的数据表．任务3：分析函数的图像和数据表，从对称性的角度找出共同的几何特征，再找出自变量x 和函数值y 之间的本质关系．下面大家就分小组，利用Microsoft Math 软件完成数学试验．（同学们小组合作，用Microsoft Math 软件完成三个实验任务，教师巡视各小组任务进展情况，对存在困难的小组给予适当的帮助，待全班都完成任务后，交流共享各小组的发现成果）（三）合作交流，归纳发现教师：大家都已完成了实验任务，下面我们进行交流，通过具体操作和图像观察，各个小组都有什么发现？哪个小组首先将自己的成果与大家共享交流？小组1：（通过计算机报告A 类函数的图像，屏幕5打出图2）我们小组通过观察发现：●A 类任务函数的定义域关于原点对称，图像关于y 轴对称．小组2：（通过计算机报告B 类函数的图像，屏幕6打出图3）我们小组通过观察发现：●B 类任务函数的定义域是关于原点对称的，图像是关于原点对称的．图2 A 类任务函数图像 图3 B 类任务函数图像教师：非常好！大家通过函数图像的观察发现了：●A 类函数和B 类函数的定义域都是关于原点对称的；●A 类任务函数的图像是关于y 轴对称的，B 类任务函数的图像是关于原点对称的．我们知道，“关于y 轴对称”就是对应点111(,),(,)P x y P x y 的连线（线段）以y轴为垂直平分线，这时， 1,P P 的横坐标之间有什么关系？1,P P 的纵坐标之间有什么关系？小组3：（通过计算机报告A 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕7打出图4）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,P P 的横坐标成相反数时纵坐标相等．或者说●A 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值相等．图4 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕7继续打出）●关于y 轴对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标相等；或自变量互为相反数时函数值相等．那么，这个数值特征怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生4：1x x =-时1y y =． ① 教师：对，这是轴对称的一个数值表示． 同样，“关于原点对称”就是对应点111(,),(,)Q x y Q x y 的连线（线段）以原点为中点，这时1,Q Q 的横坐标之间有什么关系？1,Q Q 的纵坐标之间有什么关系？小组4：（通过计算机报告B 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕8打出图6）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,Q Q 的横坐标成相反数时纵坐标也成相反数．或者说B 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值也互为相反数．图5 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕8继续打出）●关于原点对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标也成相反数． 或自变量互为相反数时函数值也互为相反数．那么，怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生5：1x x =-时1y y =-． ② 教师：现在我们已经从函数图像的图形特征得出了函数图像的数值特征，下面，我们分别验证A 类任务函数中的()2f x x =-和B 类任务函数中的()2f x x =-，看看如何用函数的表达式来刻画“自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数”．学生6：我通过验证A 类任务函数()2f x x =-，有()22()f x x x x f -=--=-=，确实是自变量互为相反数时，函数值相等．（学生叙述，教师板书）教师：就是说A 类任务函数满足()()f x f x -=，这正是用函数解析式表达的本质特征．学生7：我通过验证B 类任务函数()2f x x =-，有()2()2()f x x x f x -=--==-，确实是自变量互为相反数时，函数值也互为相反数．（学生叙述，教师板书），教师：这样一来，就把上面的①式“1x x =-时1y y =”改写为()()f x f x -=， ③把②式“1x x =-时1y y =-”改写为()()f x f x -=-． ④同学们，我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应（屏幕9打出对照表）：形的特征数的特征 图像横坐标成相反数函数自变量成相反数 图像纵坐标相等（成相反数）函数值相等（成相反数） 横坐标成相反数时纵坐标相等（成相反数）1x x =-时1y y = （1x x =-时1y y =-） 图像性质：关于y 轴对称（关于原点对称） 函数性质： ()()f x f x -=（()()f x f x -=-）教师：同学们，如果称A 类这样的函数为偶函数，称B 类这样的函数为奇函数，你们能给偶函数和奇函数下个定义吗？ （学生通过独立思考和合作交流，得出定义． 屏幕10打出偶函数和奇函数的定义）定义 1 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=，则这个函数叫偶函数．定义 2 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=-，则这个函数叫奇函数．教师：对于偶函数的定义需要强调三点（屏幕11打出三点解释）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=”，这是偶函数的本质属性，是它的标志．同学们，对于奇函数的定义你们认为需要强调什么呢？（同样，同学们得出奇函数的定义需要强调的三点认识，屏幕12打出）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=-”，这也是奇函数的本质属性，是它的标志.教师：记忆这个定义，可借助函数()n f x x =（n 为正整数），当n 为奇数时，()n f x x =为奇函数；当n 为偶数时，()n f x x =为偶函数．（四）应用巩固，深化提高教师：下面我们利用奇函数和偶函数的定义来做练习．（屏幕13打出题目） 例1 用定义来判断下列函数的奇偶性．（1）2()1f x x =--（见A 类函数）； （2）3()f x x =（见B 类函数）；（3）()21f x x =-+； （4）()f x a =．教师：首先，我们一起来分析第（1）题．（屏幕14打出分析）分析：第1步，先看2()1f x x =--的定义域，易知定义域为R ，是关于原点对称的；第2步，计算()f x -，看()f x -与()f x 之间的关系，通过计算，有22()()11()f x x x f x -=---=--=，第3步，下结论：2()1f x x =--是偶函数．具体的解题过程如下．（屏幕14继续打出）解：函数2()1f x x =--的定义域为R ，当x R ∈时x R -∈，因为22()()11()f x x x f x -=---=--=，所以2()1f x x =--是偶函数．下面请同学们继续做第（2）、（3）、（4）题．学生8：（通过计算机报告第（2）题的解法，由屏幕15打出）教师：很好，判断正确，书写规范.我们再来看看第（3）题．学生9：（通过计算机报告第（3）题的解法，由屏幕16打出）教师：这个解法的两个判断都正确，但是还没有给出结论．到底这是个什么函数呢？像这样的既不满足奇函数定义也不满足偶函数定义的函数，我们就叫它非奇非偶函数吧．下面提个问题，函数()21f x x =-+既不是奇函数也不是偶函数，那么，它的图像是不是“既非轴对称图形又非中心对称图形”？学生10 ：应该是吧．教师：理由呢？学生10：不是偶函数就不会关于y 轴对称，不是奇函数就不会关于原点中心对称，所以是“既非轴对称图形又非中心对称图形”．教师：不以y 轴对称有没有可能以别的直线为轴对称？不以原点对称有没有可能以别的点为中心对称？学生10：（恍然大悟）哦，明白了．函数()21f x x =-+虽然既不是奇函数也不是偶函数，但它的图像是一条直线，既是轴对称图形又是中心对称图形．教师：这是一个有趣的发现．因为直线的任意一条垂线都是它的对称轴，直线的任一点都是它的对称中心，所以“非奇非偶函数”()21f x x =-+的图像，“既是轴对称图形又是中心对称图形”．再看第（4）小题．学生11：（通过计算机报告第（4）题的解法，由屏幕17打出）教师：解法出来了，对任意的实数a ，()f x a =均为偶函数的判断过程有疑问吗？学生（齐）：没有．教师:那么0a =呢？学生12：()0()f x f x -==，满足偶函数的定义．学生13：我觉得当0a =时,()0()f x f x -==-也成立，还满足奇函数的定义．老师，这样的函数叫啥？教师: 当0a =时, ()f x 既满足奇函数的定义又满足偶函数的定义，我们就把这样的函数叫做既奇且偶函数．这道题的完整求解可分0a ≠与0a =两种情况来讨论:当0a ≠时()f x a =为偶函数；当0a =时()0f x =为既奇且偶函数．那么，以函数的奇偶性为标准我们可以对函数作怎样的分类？学生（齐）：分四类．教师:哪四类？学生14：是奇函数而非偶函数；是偶函数而非奇函数；既奇且偶函数；非奇非偶函数．教师：非常好！下面，根据做例1的过程，我们再来总结一下判断函数奇偶性的方法．第一步看什么？学生（齐）：看定义域是否关于原点对称．教师：对，如果定义域关于原点不对称，就不是奇函数也不是偶函数.那怎么确定“定义域关于原点不对称”呢？学生15：只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则定义域就关于原点不对称.教师：很好，只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则()f x 就既不是奇函数也不是偶函数．第二步呢？学生（齐）：计算()f x -，看是否满足()()f x x f -=或者()()f x x f -=-． 教师：对，这一步的实质是验证一个恒等式，只要有定义域的一个取值0x 使00()()f x x f -≠（或00()()f x x f -≠-），则()f x 就不是偶（奇）函数．根据恒等式证明的经验，请进一步思考你们能对这一步发表些什么看法呢？学生16：证明()()f x x f -=可以转为证()()0f x x f --=；证明()()f x x f -=-可以转为证()()0f x x f -+=．学生17：当()0f x ≠时，证明()()f x x f -=还可以转为证()1()f x x f -=；而证明()()f x x f -=-又可以转为证()1()f x x f -=-．教师：这又是一些小小的发现，很好.第三步呢？学生（齐）：下结论，判断为上述说的4类函数之一．教师：总结得不错，下面看第2个练习（屏幕18打出题目）例2 选择题（1）给出4个命题：①如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形一定是某个偶函数的图像； ②如果一个函数的图像是轴对称图形，那么这个函数一定是偶函数； ③奇、偶函数的定义域必定关于原点对称；④如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =；其中为真命题的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（（2）函数xx x x f +--=24)(2的奇偶性为（ ）． （A ）是奇函数而不是偶函数 （B ）是偶函数而不是奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数 教师：看第（1）小题，大家先判断四个命题的真假．学生18：命题①是假命题，比如圆是轴对称图形，但不是函数的图像． 教师：因为存在这样的x ，有两个y 与之对应，不满足函数的定义，是吗？ 学生18：是的．教师：很好，谁来判断命题②？学生19：命题②是假命题，比如函数()()21f x x =-的图像是轴对称图形，但这个函数不是偶函数．学生20：，例1中的函数()21f x x =-+也是一个反例．教师：只要把一个偶函数的图像左右平移一下就可以得到反例．继续说命题③．学生21：命题③是真命题，若不然，就存在一个0x D ∈，使0x D -∉，既然0()f x -都不存在，更谈不上00()()f x f x -=或00()()f x f x -=-．教师：对，比如函数3()f x x =在R 上为奇函数，但在[1,1)-上就成了非奇非偶函数了（因为1x =时()f x -没有定义）．“奇、偶函数的定义域必定关于原点对称”可以成为判断函数奇偶性的一个必要条件．继续说命题④.学生22：命题④是真命题，由奇函数的定义，令0x =有(0)(0)f f -=-，移项得(0)0f =．教师：“如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =”可以成为奇偶性的一个必要条件．现在四个命题都判断清楚了，下来应该选什么？学生（齐）：选（B ）．教师：回答得很好．再看第（2）小题．学生23：（学生口述，教师板书）因为 ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠=--+-+， ⑤ ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠-=---+-+， ⑥ 所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，选（D ）．教师：你是说对定义域内的每一个x ，不等式⑤、⑥都成立？学生23：不，我的⑤、⑥式是说恒等式()()f x f x -=，()()f x f x -=-都不成立．教师：既然是否定恒等式，那有定义域内的一个值就够了．大家把0x =代入看看．学生23：有(0)1(0),(0)(0)f f f f -==-≠-．可见，()()f x f x -=-肯定不是恒等式，至于⑤式我想取别的值会使左右两边不相等的．教师：好，我们一块来找使③式左右两边不相等的x 值？（学生验证了3(1)(1),(2)0(2)2f f f f -==-==，终于有学生省悟） 学生24：根据例1的总结，判断函数的奇偶性应该先求定义域，并看它是否关于原点对称．教师：继续说，函数的定义域是什么？学生24：由被开方式非负知，函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，是关于原点对称的．教师：很好，在这个前提下，函数的表达式能否化简？学生24：可以，在定义域内有20x -≤，函数表达式的分母为()222x x x x -+=-+=，得 2244()22x x f x x x --==-+． 教师：这就思路清晰了，我们请学生23再作一次判断．学生23：函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，得20x -≤，则函数表达式可化简为 ()222444()222x x x f x x x x x ---===-+-+． 有 ()2244()()22x x f x f x ----===， 得()f x 是偶函数． 又(0)0f ≠，不满足奇函数的必要条件，所以()f x 是偶函数而不是奇函数．选（B ）．教师：非常完满．最后，让我们来总结一下：今天学习了什么？经历了什么？感悟到了什么？同学们七嘴八舌，谈到：●学习了奇函数和偶函数的概念.●学习了用定义判断函数奇偶性的方法.●知道了奇函数的图像关于原点对称，但不知道图像关于原点对称的函数为什么叫做奇函数.●知道了偶函数的图像关于y 轴对称；但不知道图像关于y 轴对称的函数为什么叫做偶函数.●经历了从初中“图形对称性”到高中“函数奇偶性”的提炼过程.●经历了从几个具体函数提炼函数本质属性的过程.●经历了小组讨论和课堂交流.●感悟到判断函数奇偶性的关键是证明恒等式.●感悟到了数学思想方法，如函数思想、数形结合思想等.●感悟到了数学的对称美．……教师：时间关系先谈到这里．今天的作业有3个，作业1是课本53页练习A 第1题，作业2是课本54页练习B第2题（选做题），作业3是完成实验单上的几个问题（参见附录1：《函数的奇偶性》数学实验单）：●通过本节课，你收获了什么？●通过本节课，你发现了什么？●在本节课的学习中，你还有什么不明白的？●本节课后，你还想继续探究什么？让我们“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”．。
函数奇偶性经典例题
函数的奇偶性一、典型例题例1 判断下列函数的奇偶性（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2x f x x -=--（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--（5）()11f x x x =-+- （6）2211()11x x f x x x ++-=+++例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为________________.例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是________________.②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21xf x =- ,则=)2(f _____,21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_________ .例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f xg x x x +=-+，求()()f x g x 的取值范围。
二、课后练习1、判断下列函数的奇偶性（1）x xy a a -=+ （2）x xy a a-=-（3）x x x xa a y a a ---=+ （4）11x x a y a -=+（5）1log 1a x y x-=+ （6）2log (1)a y x x =+-（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12xG x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的奇偶性。
2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____5、函数1(1)1y x x =≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 43。
高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
指数型函数的奇偶性及应用举例
ʏ田发胜我们知道,指数函数f (x )=a x(a >0,a ʂ1)本身没有奇偶性,但通过运算后,许多指数型函数就有了奇偶性,此时利用相应的奇偶性处理问题,就可以提高解题效率㊂下面介绍一些具有奇偶性的指数型的函数,并举例说明其应用㊂函数f (x )=a x +a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是偶函数;函数f (x )=a x -a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x-a-xa x +a-x =a x-1a x a x+1ax=a 2x-1a 2x+1(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x+a -xa x -a -x =a 2x+1a 2x-1(a >0,a ʂ1)在(-ɕ,0)ɣ(0,+ɕ)上是奇函数㊂这几个函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义给出证明,请同学们自己完成㊂例1 已知函数f (x )=3x-3-x3x +3-x +2,若f (a )+f (a -2)>4,求实数a 的取值范围㊂解:令F (x )=f (x )-2=3x-3-x3x +3-x,易知F (x )是奇函数,且是增函数㊂f (a )+f (a -2)>4,即f (a )-2>-f (a -2)-2 ,也即F (a )>-F (a -2)㊂由F (x )是奇函数,可得F (a )>F (2-a )㊂由F (x )是增函数,可得a >2-a ,所以a >1,即实数a ɪ(1,+ɕ)㊂评注:通过构造函数,适时的转化,利用其奇偶性㊁单调性,使得问题轻松获解㊂例2 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x+2(a >0,a ʂ1),若g (2)=a ,则f (2)=㊂解:由条件得f (2)+g (2)=a 2-a-2+2,所以f (-2)+g (-2)=a -2-a 2+2㊂由奇偶性得-f (2)+g (2)=a -2-a 2+2㊂由此解得g (2)=2,f (2)=a 2-a -2㊂所以a =2,f (2)=22-2-2=154㊂评注:仔细观察题目的结构,利用f (2)=a 2-a -2是解题的关键㊂例3 函数f (x )=e x-e-xx2的图像大致形状为( )㊂解:易知此函数为奇函数,其图像关于坐标原点对称,排除A ㊂当x >0时,f (x )>0,排除D ㊂当x ң+ɕ时,f (x )ң+ɕ,排除C ㊂应选B ㊂评注:在给出函数解析式,选择与之对应的图像时,函数的奇偶性是需要考虑的重要因素㊂例4 已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1)有唯一零点,则a =㊂解:函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)的零点,即方程x 2-2x =-a (e x -1+e-x +1)的根,亦即函数y =x 2-2x 与函数y =-a (e x -1+e -x +1)的交点的横坐标㊂函数y =x 2-2x 的图像关于直线x =1对称,其顶点坐标为(1,-1),而函数y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x+e -x)向右平移1个单位得到的,其图像也关于直线x =1对称,所以它们有唯一的交点时,一定相交于点(1,-1),所以-1=-a (e1-1+e-1+1)=-2a ,即a =12㊂评注:题中方程的根是求不出来的,从而转化为相应两个函数的交点㊂y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x +e -x)向右平移1个单位得到的,这是解题的关键㊂作者单位:山东省淄博四中(责任编辑 郭正华)21 知识结构与拓展 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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课 堂 教 学 安 排
教学过程
教师 行为
学生 行为
一、创设情景、兴趣导入
数学源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？
引导学生思考和回忆：
问题1：什么样的图形是轴对称图形？什么样的图形是中心对称图形？ 问题2：你学过的函数中，哪些函数的图象是轴对称图形？ 哪些函数的图象是中心对称图形？ 引导 说明
分析
思考 观察 理解 领会
设计意图
复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备。
二、构建概念、突破难点
问题 1.观察以下函数图象，从图象对称的角度如何把这些函数图象分类？
讲解 分析
强调 说明
了解 理解 记忆 领会 掌握 记忆
设计意图
让学生仔细观察教师给出的几个函数图像，并按对称性分类。
观察第一类轴对称图形（强调如今分析以Y 轴为对称轴），并通过求函数值为偶函数概念引入做好铺垫。
问题2.观察下列函数图像，并思考：
(1)x x f =)( (2) 2
)(x x f = (3)2
)(x x f =
思考1:这三个函数的图象有何共同特征？
思考2:对于上述三个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？
2.观察函数2
)(x x f =的图象（几何画板动态演示）：
说明图象有什么样的特点？图象上运动的点的坐标之间有什么关系？
A':(3.44,11.80)
A:(-3.44,11.80)f x () = x 2
A'
A
结论：当自变量x 在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=f(x)
问题3:怎样定义偶函数？ 2.偶函数定义：
一般地，若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意一个值x ，f(-x)=f(x)，我们就称函数y=f(x)为偶函数。
偶函数的图象关于y 轴对称，图像关于y 轴对称的函数是偶函数。
问题4：观察下面的函数图象，是否关于关于y 轴对称？
如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？ 定义域应该关于原点对称.
问题5:函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？ 设计意图
通过问题的提出来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征。
通过特殊值让学生对自变量互为相反数时函数值相等的函数有个认识，为下面得出偶函数定义以及认清特点奠定基础。
下面我们来看如何判断函数的奇偶性：
练1：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
]1,1[,)()1(2-∈=x x x f )1,1[,)()2(2
-∈=x x x f
]2,1()1,2[,)()3(2
--∈=x x x f
生活实例：赵州桥桥长64.40米，跨径37.02米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥，这是世界造桥史的一个创造。
示范
讲解
思考 交流
2(),[3,2]f x x x =∈-
设计意图
通过练习让学生学会如何判断函数的奇偶性，培养学生严谨的思维习惯，锻炼学生的观察能力。
给出生活中的实例，让学生结合新知识进行思考，培养学应用知识的能力。
三、合作探究、类比发现
仿照讨论偶函数的过程，回答下列问题， 问题6：画出函数x x f =)(、x
x f 1)(=
、3
)(x
x f =的图象，并观
察
（1）从对称的角度，你发现了什么？
（2）对于三函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？
观察函数
3
)(x
x f =的图象（几何画板动态演示）：
说明图象有什么样的特点？图象上运动的点的坐标之间有什么关系？
P':(1.47,3.16)
P:(-1.47,-3.16)
f x () = x
3
P'
P
结论：当自变量x 在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=-f(x)
问题7：象上面这种具有原点对称性图像的函数叫作奇函数，参照偶函数的定义你能说出什么是奇函数吗？ 2．得出奇函数定义及图形特征：
奇函数：一般地，若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意一个值x ，f(-x)=-f(x)，我们就称函数y=f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，图像关于原点对称的函数是奇函数。
结论1：因此，函数的奇偶性，反映了函数图象在“整个”定义域上的“对称性”。
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。
（2）判定函数奇偶性基本方法:
质疑
说明
强调
引领
讲解
分析
观察 体会 思考 主动 求解 理解 领会
①图象法:看图象是否关于原点或y 轴对称.
②定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. 练2：奇函数定义域是[a,2a+3]，则a=_____.
设计意图 1、要求学生动手作图以锻炼须生的动手实践能力，为下步问题的提出做好准备。
2、通过问题的提出来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征。
3、学生对奇函数的形和数的特征有个初步的认识,此时再让学生下定义就水到渠成了。
4、让学生进一步认识函数定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，以及两种函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数和相等这两种关系
四、讲练结合，巩固新知
例1. 判断下列函数的奇偶性：
解：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数。
例2．利用定义判断下列函数的奇偶性 （1）
x x x f 2)(3+= （2）12)(+=x x f （3）x
x x f 1)(-= （4）
x
x f =
)( （5）
5)(=x f （6）0)(=x f
结论2：判断函数奇偶性的步骤：
（1）判断函数定义域是否关于原点对称。
（2）写出f(-x)与-f(x)的表达式并化简。
（3）判断f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)是否成立？是一个成立还是两个都成立，还是两个都不成立？
结论3：根据奇偶性,函数可划分为四类:
1. 奇函数；
2.偶函数；
3.既奇又偶函数；
4.非奇非偶函数。
练3:
1. 说出下列函数的奇偶性 （1）4
)(x x f = （2）1
)(-=x x f （3）x x f =)(
（4）2
)(-=x x f （5）5
)(x x f = （6）3
)(-=x x f
结论4：对于形如n
x x f =)(的函数，在定义域R 内:
若n 为偶数，则它为偶函数。
若n 为奇数，则它为奇函数。
例3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y 轴右边的图象如下图，画出在y 轴左边的图象.
提问 巡视 指导
动手
求解 思考
交流
练4：
已知函数y=f(x)是),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，它在),(+∞0上的图像如图所示，画出它在
),(0-∞上的图像。
设计意图
1、通过解决例1中的问题让学生明确判断函数奇偶性的方法，并且强调说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.
2、通过练习说明有的函数既不是奇函数也不是偶函数。
进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数,前提是定义域关于原点对称
3、让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便,在此问题的处理上要先求一下函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再根据图象的对称性，只研究函数在
y 轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质
五、课时小结，知识建构
从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结 奇偶性 奇函数 偶函数 定 义 设函数y=f(x)的定义域为D,任意x 属于D,都有-x 属于D.
f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 图像性质 关于原点对称
关于y 轴对称
判断 步骤
定义域是否关于原点对称.
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
判断或证明函数奇偶性的基本步骤： 一看——二找——三判断
小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵找出f(－x)与f(x)的关系；(3) 判断f(x)的奇偶性；
设计意图
让学生谈本节课的收获，并进行反思；关注
学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获
六、布置作业，回归拓展 A 组必做题： 1.书P74，练习； P76，练习，习题，1，2，3，4
2.学习指导用书：P56，A 组1，2，3，4
设 计
意 图
进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。