正弦函数的概念和转换
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
三角函数正弦余弦正切的定义与性质
三角函数正弦余弦正切的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。
本文将对正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与性质进行详细介绍。
一、正弦函数的定义与性质1. 正弦函数的定义正弦函数（Sine Function）是一个周期函数，可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
2. 正弦函数的性质正弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
（2）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
（4）单调性：在一个周期内，正弦函数是先递增后递减的，且在[0,π]上为递增函数，在[π,2π]上为递减函数。
二、余弦函数的定义与性质1. 余弦函数的定义余弦函数（Cosine Function）也是一个周期函数，可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。
余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
2. 余弦函数的性质余弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
（2）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
（3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
（4）单调性：在一个周期内，余弦函数在[0,π/2]上为递减函数，在[π/2,2π]上为递增函数。
三、正切函数的定义与性质1. 正切函数的定义正切函数（Tangent Function）可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正切函数的定义域为全体实数，但在其周期的特殊点（如π/2）处无定义。
2. 正切函数的性质正切函数有以下几个重要的性质：（1）周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
初中数学三角函数的定义与应用
初中数学三角函数的定义与应用三角函数是初中数学中的一个重要概念，它是数学中用于研究三角形和周期性现象的函数。
三角函数有正弦、余弦和正切三种常见形式，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和其在初中数学中的应用。
一、正弦函数的定义与应用正弦函数是三角函数中最基本的一种，通常用sin表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinα = 对边/斜边。
正弦函数在初中数学中的应用非常广泛，例如在解决直角三角形的问题中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或角度。
二、余弦函数的定义与应用余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosα = 邻边/斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也在解决直角三角形的问题中起到了重要作用。
三、正切函数的定义与应用正切函数是三角函数中的第三种形式，通常用tan表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanα = 对边/邻边。
正切函数的应用也非常广泛，特别是在解决梯度问题、角度关系问题等方面具有重要意义。
四、三角函数的周期性三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内呈现出重复的规律性。
正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π（弧度制下）或360°（角度制下）。
因此，我们可以利用周期性特点来简化计算，并在解决周期性问题时加以应用。
五、三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数和正切函数都具有特定的图像形态和性质。
例如，正弦函数的图像呈现出上下波动的曲线，余弦函数的图像则是波浪形的曲线，而正切函数的图像则是以原点为对称中心的S形曲线。
对于初中生来说，理解这些图像形态及其性质对于学习和应用三角函数非常有帮助。
六、三角函数的应用举例在实际生活中，三角函数有许多应用。
例如，利用三角函数可以解决测量高楼大厦的高度问题，通过测量垂直角和距离，可以利用三角函数计算出高楼大厦的实际高度。
正弦型函数
时间：班级：
一、基础知识复习
1.概念：
形如的函数叫做正弦型函数，其中， 、 、 是常数.
2.正弦型函数 （A>0， >0）的图形变换：
（1）
（2）
（3）
（4）由 变化得到 可以有不同的过程，如：
或
3.正弦型函数的性质：
函数 的定义域：；值域：；周期：；频率：；振幅：；初相：。
二、学情反馈
4．关于函数 的说法不正确的是（）
A．最大值是3 B.当 时取最大值C.值域是（—3，3）D.定义域数R
5．函数 的图象向右平移2个单位后得到的图象解析式是：（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．振幅为 ，周期为 ，初相为 的函数可能是（）
A． B．
C． D．
7．求函数 的振幅、周期和初相，并作出它的图象
8．指出经过怎样的图形变换，可将正弦曲线变换为 的图象（两种方法）
1.函数 的周期是；值域是；
的初相是；
2.把函数 上的所有点的横坐标变为原来的3倍，再右移2个单位得到的函数的解析式是；若先右移2个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的3倍，得到的函数解析式是；
3．将函数 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 ，得到新函数的图象，那么这个新函数的解析式是（）
A B
Cபைடு நூலகம்D
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
sincostan所有公式
sincostan所有公式sin、cos、tan是三角函数的基本概念，它们是三角比值，用来描述一个角度的大小。
下面是sin、cos、tan的所有公式的详细说明：1. 正弦函数(sin)的公式：- 正弦函数定义域为所有实数，值域在[-1, 1]之间。
即：-1 ≤ sinθ ≤ 1常用公式：- 正弦函数的周期性：sin(θ + 2πk) = sinθ，其中k为整数。
- 奇偶性：sin(-θ) = -sinθ，即正弦函数是奇函数。
- 正弦函数的双曲正弦关系：sinh(iθ) = i*sinθ，其中i为虚数单位。
- 余弦函数的平方和：sin²θ + cos²θ = 1，该公式称为三角恒等式。
2. 余弦函数(cos)的公式：- 余弦函数定义域为所有实数，值域在[-1, 1]之间。
即：-1 ≤ cosθ ≤ 1常用公式：- 余弦函数的周期性：cos(θ + 2πk) = cosθ，其中k为整数。
- 奇偶性：cos(-θ) = cosθ，即余弦函数是偶函数。
- 余弦函数的双曲余弦关系：cosh(iθ) = cosθ。
- 正弦函数的平方和：sin²θ + cos²θ = 13. 正切函数(tan)的公式：- 正切函数定义域为所有实数，值域为所有实数。
即：tanθ ∈ (-∞, +∞)。
常用公式：- 正切函数的周期性：tan(θ + π) = tanθ，其中k为整数。
- 奇偶性：tan(-θ) = -tanθ，即正切函数是奇函数。
- 正切函数与余切函数的关系：tanθ = 1/cotθ，cotθ = 1/tanθ。
- 正弦函数和余弦函数的关系：tanθ = sinθ/cosθ。
4.其他公式：- 和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ。
- 二倍角公式：sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α，tan2α = 2tanα/(1-tan²α)。
九年级正弦函数的定义
2、 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . 则PA⊥x轴
在Rt△APO中，由勾股定理得
OP OA2 AP2 32 42 5.
α
A (3,0)
因此 sin AP 4 .
C DB
五、课堂小结
正弦函数的概念
sin
A
=
∠A的对边
斜边
正弦函数
正弦函数的应用
已知边长求正弦值 已知正弦值求边长
AB= BC
C 设BC=1，则 由勾股定理
AB是 直角三角形的斜边
在450角直角三角形中
450的 对边 直角的斜边
=？ A
2
45° 1
AC= AB2 BC2 2
1 450的 对边 直角的斜边
B
=
1
2
2 2
问题引入
2
30° A
B 60°
1
C
300的对边 1
=
斜边
2
2
45° 1 A
450的对 边斜边
可知：不同的角，这个比值是不同的， 即这个比值是随着角A的变化而变化 因此是角A的函数. 是三角形中的函数，因此叫三角函数.
B 1 C
=2 2
B
30°
2
22 12
3
60°
A
1
600的对
边斜边
C
3
=2
二、三角函数定义 ----正弦函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=900，如图
B
弦
斜边
股
对边
∠A正弦函数=
5
正弦型函数
武陵源一中：赵群龙
正弦型函数
一.概念： 1.形如y=Asin( x+ )的函数，叫做正弦型函数。 用它来表示物理中的震动量时，x≥0,A>0, >0,其中 A——振幅：震动时离开平衡位置的最大距离。 2 T= ——周期：震动一次所需要的时间。 f= T1 ——频率：单位时间内震动的次数。 x+ ——相位。 ——初相。
10
3
正弦型函数
例1,用“五点法”做出函数y=3sin(2x+ )的图像。
3
例2，把y=sinx的图像经过怎样的变换可以得到函数 y=2sin(3x+ 3 )的图像？
4
正弦型函数
三，正弦型函数的性质： 1.周期：T= 2 ; 2.最值：1）当 x+ =2k + 2 (k z)时，y取最大值A； 3 2）当 y取最小值－A。 2 3.单调区间： 4.对称4sin(3x+ )的周期、振幅、频率和初相 分别是多少？ 解：函数的周期T= 23 ; 振幅A=4； 3 频率f= 2 ; 初相 = 2 .
2
6
正弦型函数
例4.指出函数y=2sin( x+ )的最大值和最小值及 取得最值时x的值。
1 3
3
7
正弦型函数
2
正弦型函数
二，正弦型函数图像的作法： 1，方法一：“五点法”。 2，方法二：图像变换法。 步骤一：相位变换y=sinx——y=sin(x+ ); 步骤二：周期变换y=sin(x+ )——y=sin( x+ ): 步骤三：振幅变换y=sin( x+ )——y=Asin( x+ ). 说明：这三个步骤的顺序可以调换，但是一 般的情况下把振幅变换放在最后一步。
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正弦函数的概念和转换
概念:对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。
转换：正弦和余弦的转换公式为sin(α+π/2)=cosαsin(α+3π/2)=-cosα2、sin²α+cos²α=1、sinα=±√[(1-cos2α)/2]等。
正弦为数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，而余弦为三角函数的一种，在Rt△ABC（直角三角形）中，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边。