陕西省西安市高新第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
2017— 2018学年第一学期期中考试2020届高一年级数学试题满分：120分时间：120分钟、选择题： （本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列函数中与函数y =x 是同一个函数的是（）.选项A :匸“律; -X, x ：: 0选项B :2的定义域为fx|X=0?； X选项C : 3 _3y =• x =x ；选项D : y=(・.x)2的定义域为［0,=).故选B . 故选A .3.已知集合 A 满足AlH1,2,3U1,2,3,4?，则集合A 的个数为( ).A . 2B . 4C . 8D . 16【答案】C2 .若一次函数y =kx 在R 上是增函数，则 k 的范围为（B . k > 0C . k :: 0【答案】AA . y =（ X ）2B . y =(3x )32Xy = X【解析】解: y =x 的定义域为R ，对应法则是 函数值与自变).【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数 f (x) = kx b 在R 上是减函数， k . 0 .【解析】解：••• “NSlUA ・1,2,3,4?,••• A = ；4 ,(1,4：S 「2,4?, (3,4 /, [1,2,4?,厲3,4?,「2,3,4? ,「1,2,3,4?, 则集合A的个数为8 .故选B .24•函数f(x)二一仝在［-2,0］上的最大值与最小值之差为( ).x -1C.【答案】B【解析】解：••• f(x)=log2X在区间［2,2 a］上为单调增函数,由题可得：1 Iog2(2a) -log?2 =•- log2 2a二丄,2 2• a = 2 ,点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法:(1 )直接利用基本初等函数的单调性.(2 )利用定义判断函数的单调性.(3)求导得函数单调性.故选B .5.如图是①y =x a:②y =x b:③y =x c，在第一象限的图像，则 a , b , c的大小关系为( ).A. a b c B . a ::b -c C. b ::c - a D . a ： c . b【答案】D【解析】解:6•已知函数f（x）=x2—kx_8在［1,4］上单调，则实数k的取值范围为（）•A • ［2,8］B • ［-8,-2］C. （-：,-8］U［—2, ：：）D • （-：,2］U［8,：：）【答案】D2 k【解析】解：二次函数f（x）=2x2 -kx -8的对称轴为X =上,4•••函数f （x） =2x2 -kx-8在区间［1,2］上不单调，k••• 1 ::：k：：:2，得4 :：: k ：：:8 •4故选B •7.已知函数f（x）是奇函数，在（0,；）上是减函数，且在区间［a,b］（a ：：：b ：：：0）上的值域为［-3,4］，则在区间［_b,_a］上（）•A .有最大值4B .有最小值-4 C.有最大值-3 D .有最小值-3【答案】B【解析】解：由于f（x）是奇函数，在（0,；）上是减函数，则f（x）在（-二,0）上也是减函数，在区间［a,b］（a ：：：b ：：： 0）上的最小值为-3，最大值为4 ,由于区间［七，-a］与［a,b］对称，则可知f （x）在［4, £］上最大值为3，最小值为-4 .借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示:&设a=0.60.6, b=0.61.5, c=1.50.6，则 a , b , c 的大小关系是( ).A. a :::b :::c B . a ::: c ::: b C. b ::: a --： c D . b .. c ■■■： a 【答案】C【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。
2021-2022学年陕西省安康中学高新分校高一上学期第一次月考(10月)数学试题(解析版)
2021-2022学年陕西省安康中学高新分校高一上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则NA B ⋂=A ．}{1,5,7B ．}{3,5,7C ．}{1,3,9D ．}{1,2,3【答案】A【详解】试题分析：NA B ⋂为在集合A 但不在集合B 中的元素构成的集合，因此{1,5,7}NA B ⋂=【解析】集合的交并补运算2．函数11y x =+的定义域为（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}0x x ≥D ．{|1x x ≤且1}x ≠-【答案】B【分析】根据偶次根式下的被开方数为非负数、分式分母不等于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数11y x +有意义， 则10110x x x -≥⎧⇒≥⎨+≠⎩，所以函数的定义域为{}1x x ≥. 故选：B3．设集合{|03}A x N x =∈<的真子集个数为（ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．4【答案】C【分析】首先判断集合A 的元素个数，再求真子集个数. 【详解】{}0,1,2A =，所以集合A 的真子集个数是3217-=. 故选：C4．已知函数()y f x =的对应关系如下表所示，函数()y g x =的图象是如图所示的曲线ABC ，则()2f g ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）()f x2 3 0A ．3B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据图象可得()21g =，进而根据表格得()12f =.【详解】由题图可知()21g =，由题表可知()12f =，故()22f g =⎡⎤⎣⎦． 故选:D ．5．设集合{|04},{|02}A x x B y y =≤≤=≤≤，则下列对应f 中不能构成A 到B 的映射的是 A ．1:2f x y x →=B ．:2f x y x →=+C ．:f x y x →=D ．:|2|f x y x →=-【答案】B【详解】根据映射定义， 1:2f x y x →=， :f x y x →=， :2f x y x →=- 中的对应f 中均能构成A 到B 的映射，而对于:2f x y x →=+，当4x =，6y =，而6B ∉，不能构成A 到B 的映射，选B.6．设集合{}41,Z M x x n n ==+∈，{}21,Z N x x n n ==+∈，则（ ） A ．M N B ．N MC ．M N ∈D ．N M ∈【答案】A【分析】根据集合M 和N 中的元素的特征，结合集合间的关系，即可得解. 【详解】对集合M ，其集合中的元素为4的整数倍加1， 对集合N ，其集合中的元素为2的整数倍加1，4的整数倍加1必为2的整数倍加1，反之则不成立，即M 中的元素必为N 中的元素，而N 中的元素不一定为M 中的元素， 故M 为N 的真子集，即M N ，故选：A7．设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【详解】因为1x >时，2()2,f x x x =+-所以211(2)2224,(2)4f f =+-==； 又1x ≤时，2()1f x x =-， 所以211115(()1().(2)4416f f f ==-=故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.8．下列各组函数()f x 和()g x 的图象相同的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()2f x x =，()()21g x x =+C ．()1f x =，()0g x x =D ．()f x x =，()()()00xx g x xx ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 【答案】D【分析】若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，()2g x x ==的定义域为[)0,+∞，所以定义域不同，不是相同的函数，图象不同；对于B 中，()2f x x =，()()21g x x =+的对应关系不同，所以不是相同的函数, 两个函数图象不同；对于C 中，函数()1f x =的定义域为R ，与()01g x x ==的定义域为{|0}x x ≠，所以定义域不同，所以不是相同的函数, 两个函数图象不同；对于D 中，函数(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 两个函数图象相同； 故选：D.9．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】根据二次函数的单调性列式可求出结果.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4∞-上单调递减，所以(1)4a --≥，解得3a ≤-. 故选：A10．若函数()1f x +的定义域为[]1,15-,则函数()2f xg x =A ．[]1,4B ．(]1,4C ．⎡⎣D ．(【答案】B【解析】先计算()f x 的定义域为[]0,16，得到201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，计算得到答案.【详解】设1x t ，则()()1f x f t +=.由()1f x +的定义域为[]1,15-知115x -≤≤，0116x ∴≤+≤，即016t ≤≤()y f t ∴=的定义域为[]0,16，∴要使函数()2f xg x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，即441x x -≤≤⎧⎨>⎩，解得14x <≤， 故选：B .【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.11．设P ，Q 是两个非空集合，定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，若{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，则P Q⨯中元素的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．12 D ．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，且{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =， 所以()()()()()()()()()()()(){}3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7P Q ⨯=， P Q ⨯中元素的个数是12，故选：C.12．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]【答案】D【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可. 【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得()3020352a a a a ⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩解得02a <≤.故选：D.二、填空题 13．已知集合A ＝{x|125x-∈N ，x ∈N }，则用列举法表示为__________________． 【答案】{}1,2,3,4A = 【分析】由题设集合A ＝{x|125x -∈N ，x ∈N }，可通过对x 赋值，找出使得125x-∈N ，x ∈N 成立的所有x 的值，用列举法写出答案． 【详解】由题意A ＝{x|125x-∈N ，x ∈N }∴x 的值可以为1，2，3，4， 故答案为A={1，2，3，4}．【点睛】考查学生会用列举法表示集合，会利用列举法讨论x 的取值得到所有满足集合的元素．做此类题时，应注意把所有满足集合的元素写全且不能相等． 14．已知()123f x x +=+，则()3f =______； 【答案】7【分析】由13x +=，求出x ，然后代入()123f x x +=+中可求得结果. 【详解】由13x +=，得2x =，所以()212237f +=⨯+=，即()37f =， 故答案为：715．已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}10B x mx =-=，若A B A ⋃=，则所有实数m 组成的集合是______；【答案】{}1,0,2-【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分0m =和0m ≠两种情况求解即可.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，则{}110B x mx x x m ⎧⎫=-===⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以11m =-或112m =，得1m =-或2m =， 综上，所有实数m 组成的集合是{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-16．定义在[]22-,上的函数()f x 满足()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，12x x ≠，若()()1f m f m -<，则m 的取值范围是______． 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可得函数在[]22-,上单调递减，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为定义在[]22-,上的函数()f x 满足()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，12x x ≠， 所以()f x 在[]22-,上单调递减， 所以由()()1f m f m -<，得212221m m m m-≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得112m -≤<，即m 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题17．已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值.【答案】01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，通过解方程组进行求解即可.【详解】∵A ＝B ，∴集合A 与集合B 中的元素相同∴22x x y y =⎧⎨=⎩或22x y y x⎧=⎨=⎩，解得x ，y 的值为00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去.∴x ，y 的取值为01x y =⎧⎨=⎩或1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了已知两集合相等求参数取值问题，考查了数学运算能力.18．已知函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩（1）求((2))f f -的值; （2）若3()2f a =，求a ． 【答案】（1）2；（2）2，34-.【分析】（1）根据函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩，先求得(2)f -，再求((2))f f -的值.（2）根据3()2f a =，分1a >，11a -≤≤，1a <-讨论求解. 【详解】（1）因为函数211,1,()1,11,23, 1.x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪=+-⎨⎪+<-⎪⎩，所以()(2)2231f -=⨯-+=- ()2((2))(1)112f f f -=-+==-（2）当1a >时，1312a +=，解得2a =； 当11a -≤≤时，2312a +=，解得a = 当1a <-时，3232a +=，解得34a =-；综上：a 的值为：2，34-.【点睛】本题主要考查分段函数求值和已知函数值求参数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或}4x ≥. （1）当3a =时，求A B ⋂；A B ⋃； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；A B ⋃=R ；（2）(),1-∞. 【分析】（1）直接求A B ⋂和A B ⋃；（2）对集合A 分A =∅和A ≠∅两种情况讨论分析得解.【详解】（1）当3a =时，{}|15A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或}4x ≥， ∴{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤，A B ⋃=R . （2）若A =∅，此时22a a ->+， ∴a<0，满足A B ⋂=∅，当A ≠∅时，0a ≥.{}|22A x a x a =-≤≤+， ∵A B ⋂=∅，∴21{24a a ->+<，∴01a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围是(,1)-∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，考查集合的运算结果求参数的取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1． （1）求证：(8)3f =；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集． 【答案】（1）证明见解析；（2）1627x <<． 【分析】（1）根据()21f =，结合f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），利用赋值法即可求得()8f ，则问题得证； （2）等价转化不等式，利用函数单调性，即可求得不等式解集.【详解】（1）由题意得(8)(42)(4)(2)(22)(2)3(2)3f f f f f f f =⨯=+=⨯+== （2）原不等式可化为()(2)(8)(8(2))f x f x f f x >-+=- 由函数()f x 是(0,)+∞上的增函数得8(2)0x x >->， 解得1627x <<．故不等式()(2)3f x f x -->的解集为162,7． 【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解，以及利用函数单调性解不等式，属综合基础题. 21．已知集合{|210}P x x =- ，{|11}Q x m x m =-+ ． (1)求集合P R；(2)若P Q ⊆ ，求实数m 的取值范围； (3)若P Q Q ⋂= ，求实数m 的取值范围． 【答案】(1){|2x x <-或10}x >； (2)9m ≥； (3)3m ≤．【分析】（1）由补集定义得结论； （2）由包含关系得不等式组，求解可得；（3）由P Q Q ⋂=，则Q P ⊆，然后分类讨论：按Q =∅和Q ≠∅分类． 【详解】（1）因为{|210}P x x =-≤≤，所以R {|2P x x =<-或10}x >；（2）因为P Q ⊆，所以12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥；（3）P Q Q ⋂=，则Q P ⊆，若11m m ->+即0m <，则Q =∅，满足题意； 若0m ≥，则Q ≠∅，由题意12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤，综上，3m ≤． 22．设函数1()1ax f x x -=+，其中a ∈R ． （1）若1a ＝，()f x 的定义域为区间[]0,3，求()f x 的最大值和最小值； （2）若()f x 的定义域为区间（0，＋∞），求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是单调减函数． 【答案】（1）max min 1(),()12f x f x ==-（2）1a <-【详解】1()1ax f x x -=+＝(1)11a x a x ＋－－＋＝a －11a x ＋＋，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝211111a a x x ＋＋－＋＋＝1212(1)()(1)(1)a x x x x ＋－＋＋．（1）当a ＝1时，设0≤x 1＜x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝12122()(1)(1)x x x x －＋＋．又x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x)在［0，3］上是增函数，所以f (x)max ＝f (3)＝1－24＝12；f (x)min ＝f (0)＝1－21＝－1．（2）设x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0 要f (x)在（0，＋∞）上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)＜0 而f (x 1)－f (x 2)＝1212(1)()(1)(1)a x x x x ＋－＋＋，所以当a ＋1＜0即a ＜－1时，有f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以当a ＜－1时，f (x)在定义域（0，＋∞）上是单调减函数．。
2025届陕西省西安市高新第一中学高考临考冲刺数学试卷含解析
2025届陕西省西安市高新第一中学高考临考冲刺数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()*3n x n N⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则aa-=（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π2．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．133．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞4．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值A ．23B ．1C ．43D ．27．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -9．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 3或－3 D ． 2和－211．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C = ( )A ．{}2B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R12． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋(k ∈Z)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）命题人：袁芹芹一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知向量a =(-1,1,-1)，b =(2, 0,-3)，则a b 等于（ ） A.2 B. -4 C. -5 D.12.不等式021≥+-xx的解集为（ ）A ．]1,2[-B ．]1,2(-C ．),1()2,(+∞--∞D ．),1(]2,(+∞--∞ 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A ．若a > 0，则2a>1 B ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0 C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列4．已知{}n a 是等比数列，1414,2a a ==,则公比q 等于 （ ）A ．21-B ．-2C ． 2D ．215. 命题“任意x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是 （ ） A ．任意x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．存在x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 6. 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c7. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b >8. 若命题))((q p ⌝∨⌝为真命题，则p ，q 的真假状况为（ ）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 9. 已知变量x ，y 满足条件，则目标函数z=2x+y( )A ．有最小值3，最大值9B ．有最小值9，无最大值C ．有最小值8，无最大值D ．有最小值3，最大值810．已知数列{}n a 的前n 项和12+=+n n S n ，则3=a （ ）A. 321 B. 281 C. 241 D. 20111. 设2910n a n n =-++，则数列{}n a 前n 项和最大值时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9或10D ．4或512. 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知0,0,0>>>n y x ，41,x y +=则yx 41+的最小值为 ． 14. 若不等式22214x a x ax ->++对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________ 15.在数列{}n a 中，11a =，13(1)n n a S n +=≥，则数列{a n }的通项公式。
陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
长安一中2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学试题一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A ．()21n a n n =--B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=2．如图，已知平面α 平面a β=，平面β 平面b γ=，平面γI 平面c α=，若//a b ，则c 与a ，b 的位置关系是（）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行33……，那么9在此数列中的项数是（）．A ．12B ．13C ．14D ．154．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为（）A ．B ．8C ．D ．5．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．在ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于()A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．27．在ABC 中，60A ∠=︒，a 4b =，则满足条件的ABC （）A ．无解B ．有解C ．有两解D ．不能确定8．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S .若2610a a a ++为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是.A ．6S B ．11S C ．13S D ．12S 9．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．60B ．54C ．48D ．2410．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15B ．5C D ．211．设A 是ABC 最小内角，则sin cos A A +的取值范围是（）A ．(B ．⎡⎣C ．(D ．(12．若，则1x ＋1y 的最小值为.A ．120B ．15C ．12D ．213．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥14．在平面上，1212,1AB AB OB OB ⊥== ，12AP AB AB =+.若12OP <uu u r ，则OA 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．22⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎝二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15．已知1sin 24α=，且42ππα<<，则cos sin αα-=________．16．若1a = ，2b = ，a 与b的夹角为60°，若()()35a b ma b +⊥- ，则m 的值为________.17．已知a，b R +∈且1a b +=，那么下列不等式：①14ab ≤；②1174ab ab +≥；≥④114a b+≥中，正确的序号是________．18．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶的仰角是45 ，在D 点测得塔顶的仰角是30 ，并测得水平面上的120BCD ∠= ，40CD m =，则电视塔的高度是_________.19．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为r ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计6年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．20．在ABC 中，29cos2210A b c c +==，5c =，ABC 的内切圆的面积是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：（1）EG //平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF //平面B 1D 1H .22．已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．23．（1）已知324ππβα<<<，且()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-，求：cos 2α的值．（2）如图所示，已知60MON ∠=︒，Q 是MON ∠内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．24．已知函数()f x 对任意实数p ，q 都满足()()()f p q f p f q +=，且()113f =．(1)当N n *∈时，求()f n 的表达式；(2)设()n a nf n =（*N n ∈），n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S ．(3)设()()1n nf n b f n +=（N n *∈），数列{}n b 的前n 项和为n T ，若123111120002n m T T T T -+++⋅⋅⋅+<对*N n ∈恒成立，求最小正整数m ．1．C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确；对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.2．D 【分析】用线面平行的判定定理和性质定理证明即可．【详解】解：//a b ，a ⊂/平面γ，b ⊂平面γ，//a ∴平面γ，a ⊂Q 平面α，平面γI 平面cα=//a c∴//b c∴////a b c∴故选：D ．3．C 【分析】由n a =9n a =可得．【详解】根据题意，n a =由9n a ==，解得14n =，即9是此数列的第14项，故选：C ．4．C 【分析】根据斜二测画法，还原其平面图，便可求出面积.【详解】还原平面图：2OA =，2OB OB '==，所以该平面图形面积为2S OA OB ==，故选：C 【点睛】此题考查斜二测画法作直观图，原图与直观图面积关系，通过作图规则，还原原图，即可求出面积；若能熟记原图与直观图面积关系可以迅速求解，大大简化过程.5．C 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．6．C 【分析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．【详解】解：在ABC 中，若123A B C ∠∠∠=::::，又A B C π∠+∠+∠=所以6A π∠=，3B π∠=，2C π∠=．由正弦定理可知：::sin :sin :sin sin :sin :sin 2632a b c A B C πππ=∠∠∠==．故选：C ．【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数，属于基础题.7．A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出sin B 即可判断作答.【详解】在ABC 中，60A ∠=︒，a =4b =，由正弦定理得：sin sinb A B a == 41=，所以ABC 无解.故选：A 8．B 【分析】先由等差数列性质得到261063++=a a a a 是一个确定的常数，再由等差数列的求和公式，即可判断出结果.【详解】因为等差数列中，261063++=a a a a 是一个确定的常数，所以11111611()112a a S a +==为确定的常数.故选B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列性质以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.9．A 【详解】试题分析：由三视图可知：原几何体是一个横放的三棱柱，其中底面是一个直角边分别为3、4的直角三角形，高为4．由此可求底面的直角三角形的斜边长为5，故该几何体的表面积为12(34)453444602⨯⨯+⨯+⨯+⨯=．故选A ．.考点：三视图求面积.10．C 【分析】根据给定的长方体，作出异面直线1AD 与1DB 所成的角，利用三角形计算作答.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连11A D AD O ⋂=，取11A B 中点E ，连接OE ，1D E，如图，则O 是11,A D AD 的中点，于是得1//OE DB，112OE DB =，则1D OE ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角或其补角，而11112OD AD ==，12D E =，等腰1D OE中，1112cos 5OD D OE OE ∠==，所以异面直线1AD 与1DB故选：C【分析】先根据三角形最小内角得A 范围，再根据辅助角公式化简sin +cos A A ，最后根据正弦型函数的性质即可求解范围.【详解】因为A 是三角形ABC 中的最小内角，所以(0,]3A π∈,因为cos sin ()4A A A π+=+，7(,]4412A πππ+∈，所以sin()42A π+∈，所以sin +cos +)(1,4A A A π=∈故选：D.12．B 【详解】试题分析：，，，（当且仅当）.考点：对数的运算、基本不等式.13．C 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=，依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥，所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥.故选：C 14．D建立平面直角坐标系，设出O 点的坐标(),x y 的取值范围，也即求得OA的取值范围.【详解】根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(a ，b )，()()12,0,0,B a B b .由121OB OB ==uuu r uuu r 得2222()1()1x a y x y b ⎧-+=⎨+-=⎩则2222()1()1x a y y b x⎧-=-⎨-=-⎩又由12OP <uu u r ，得()()2214x a y b -+-<，则221114x y -+-<，即2274x y +>①.又22()1x a y -+=，得22222121x y a ax a x ++=+≤++，则21y ≤；同理由22()1x y b +-=，得21x ≤，即有222x y +≤②.由①②知22724x y <+≤<而OA =uu r 2OA <≤uu r 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用坐标法求解平面几何问题，属于中档题.15．【分析】由题()2cos sin αα-，进而根据角的范围判断出cos sin αα-的符号，即得.【详解】∵1sin 22sin cos 4ααα==，∴()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=，因为42ππα<<，所以cos sin αα<，则cos sin 0αα-<，所以cos sin αα-=-故答案为：16．238【分析】由条件可求得 1a b ⋅= ，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m 的方程，解方程即可求出m .【详解】∵1a = ，2b = ，a 与b 的夹角为60°，∴cos 601a b a b ⋅=⋅= ，∵()()35a b ma b +⊥- ，∴()()()35353200a b ma b m m +⋅-=+--= ，∴238m =，故答案为：238.17．①②④【分析】利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；【详解】解：对于①:a ，b R +∈，1a b +=，∴21()24a b ab += （当且仅当12a b ==时取得等号），所以①正确；对于②：由①有104ab < ，设1y x x =+，则1y x x =+在10,4⎛⎤ ⎝⎦上单调递减．所以1117444ab ab ++= ，所以②正确；对于③：22a b a b a b +=+++++= （当且仅当12a b ==时取得等号），对于④：()1111224a b a a b a a b b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ （当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立），所以④正确．故答案为：①②④．18．40m【解析】设AB x =，可得BD =，BC x =，然后在BCD △中利用余弦定理可求得x 的值，由此可求得电视塔的高度.【详解】由题意，设AB x =，由于AB ⊥平面BCD ，BC 、BD ⊂平面BCD ，AB BC ∴⊥，AB BD ⊥，由题意可得45ACB ∠= ，30ADB ∠= ，在Rt ABC 中，tan ∠=AB ACB BC ，tan 45AB BC x ∴== ，同理可得BD =，在BCD △中，120BCD ∠= ，40CD =，根据余弦定理，得2222BD BC CD BC CD cos DCB =+-⋅⋅∠，即：)22240240cos120x x =+-⨯⋅⋅ ，整理得2208000x x --=，解之得40x =或20x =-（舍）即所求电视塔的高度为40米．故答案为：40m .【点睛】本题考查解三角形的应用，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.19．()()66111ar r r ++-【分析】设每年应偿还x 万元，则()()()()()()62345111111a r x x r x r x r x r x r +=++++++++++，利用等比数列求和即可求解．【详解】设每年应偿还x 万元，则()()()()()()62345111111a r x x r x r x r x r x r +=++++++++++所以()()()6611111x r a r r ⎡⎤-+⎣⎦+=-+，故()()66111ar r x r +=+-故答案为：()()66111ar r r ++-20．π【分析】利用二倍角余弦公式得到4cos 5b Ac ==，再由余弦定理得到2C π=，即可求出a 、b ，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得解；【详解】解：由29cos210A =，所以24cos 2cos 125A A =-=，又2cos 22A b c c+=，所以2cos 2cos 12122A b c b A c c +=-=⨯-=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222b a c +=，所以2C π=，因为5c =，所以cos 4b c A ==，所以3==a ．设其内切圆的半径为r ，因为11()22S a b c r ab =++⋅=，1r ∴=，所以内切圆的面积是π．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）可证明四边形BEGO 为平行四边形，故OB //EG ，由线面平行的判定定理即得证；（2）可证明BD //B 1D 1，HD 1//BF ，由面面平行的判定定理即得证.【详解】（1）如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG =12B 1C 1，BE =12B 1C 1，所以BE =OG ，且11////BE B C OG所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB //EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG //平面BB 1D 1D .（2）由于1111//,BB DD BB DD =所以四边形11BB D D 为平行四边形所以BD //B 1D 1.连接HB ，D 1F ，1,HD BF取P 为1DD 中点，连结,AP PF因此////,AB CD PF AB CD PF==因此四边形ABFP 为平行四边形，故有//AP BF又11//,AH PD AH PD =因此四边形1AHD P 为平行四边形，故有1//AP HD又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF //平面B 1D 1H .【点睛】本题考查了线面平行和面面平行的证明，考查了学生空间想象、逻辑推理能力，属于中档题22．(1)3a b=(2)231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）化简()()230a b x a b +-<+，结合不等式的解集即可判断0a b +<，得到3234b a a b -=-+即可得到a 和b 满足的关系.（2）可用a 或b 对不等式()()()222120a b x a b x a ---->++进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.【详解】（1）解：因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =．（2）由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-．即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）23．（1）3365-；（2）14.【分析】（1）利用同角公式及和角的余弦公式计算作答.（2）作QA OM ⊥于A ，QB ON ⊥于B ，用OQ 长表示,AOQ BOQ ∠∠的正余弦，再借助和角的余弦公式计算作答.【详解】（1）因为324ππβα<<<，则有32ππαβ<+<，04παβ<-<，又12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，则5sin()13αβ-=，4cos()5αβ+=-，所以cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=-++=-+--+124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）作QA OM ⊥于A ，QB ON ⊥于B ，有2QA =，11QB =，设OQ x =，如图，在Rt AOQ 中，2sin AOQ x ∠=，cos AOQ ∠=，在Rt BOQ △中，11sin BOQ x ∠=，cos BOQ ∠=而Q 在MON ∠内，则60AOQ BOQ ∠+∠= ，而cos()cos cos sin sin AOQ BOQ AOQ BOQ AOQ BOQ ∠+∠=∠∠-∠∠，21112x x =，即22224121122(1)(1)(2x x x --=+，解得14x =，所以OQ 的长是14.【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.24．(1)()13n f n =；(2)323443n nn S +=-⨯；(3)2012.【分析】（1）利用给定条件，可得()()()11f n f n f +=，再借助等比数列定义求解作答.（2）由（1）的结论，利用错位相减法计算作答.（3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，结合恒成立的不等式列式计算作答.(1)依题意，当*N n ∈时，()()()11f n f n f +=，而()113f =，则数列(){}f n 是以13为首项，13为公比的等比数列，所以()1111333n nf n -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.(2)由（1）知()3n n n a nf n ==，231233333n n n S =+++⋅⋅⋅+，2341112333333n n n S +=+++⋅⋅⋅+，两式相减得23121111333333n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-11111123331322313n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-⨯-，所以323443n n n S +=-⨯.(3)由（1）知，(1)()3n nf n n b f n +==，于是得1(1)(123)36n n n T n +=+++⋅⋅⋅+=，因此，16116()(1)1n T n n n n ==-++，则1231111111111116[(1)()()()]6(1)62233411n T T T T n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-<++ ，依题意，200062m -≥，解得2012m ≥，所以最小正整数m 的值是2012.【点睛】思路点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解.。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合{}1,0,1M =-和{}220N x x x =+=关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出M N ⋂即可得答案.【详解】解：{}{}2202,0N x x x =+==-，故{}0MN =，故选：A 2．若4sin 5α，α是第二象限的角，则tan α的值等于（ ） A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】先求得cos α，然后求得tan α. 【详解】由于4sin 5α，α是第二象限的角， 所以23cos 1sin 5αα=---，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选：C3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)(λ∈R )，若a ⊥b ，则+=a b ( ) A ．5 B ．52C ．53D ．10【答案】B【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.【详解】依题意0a b ⋅=，即60λ+=，解得6λ=-，则b ＝(2，－6)，(5,5)a b +=-，故25a b +=+=故选：B.4．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1，由此可判断得选项. 【详解】解：∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ， 故选：C ．5．已知点M 是直线13y x =与单位圆在第一象限内的交点，设xOM α∠=，则cos2=α（ ） A ．45B ．45-C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系可得sin 1tan cos 3ααα==，22sin cos 1αα+=，解方程可得cos α的值，再由余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可得1tan 3α=且π02α<<，则22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以224cos 22cos 1215αα=-=⨯-=⎝⎭， 故选：A.6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．已知函数()()()32cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭是偶函数，则()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(]2,1-C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]2,1-【答案】D【分析】化简可得()2sin 26f x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据函数为偶函数可得3πϕ=，再利用余弦函数的性质可求出值域.【详解】因为函数()()()32cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭为偶函数，所以()62k k ππϕπ--=+∈Z .又∵2πϕ<，∴3πϕ=，即()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为63x ππ-≤≤，∴2233x ππ-≤≤，∴当223x π=时，()f x 的最大值为1，当0x =时，()f x 的最小值是2-. 所以()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2,1-.故选：D.8．已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-， C ．(1)(4)-∞-+∞，， D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B9．已知函数2π()4cos ()2(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,()2f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为（ ） A ．π12x =-B ．π6x =-C ．π4x =- D ．4x π=【答案】B【分析】先化简函数为()2cos(22)f x x ωϕ=+，再根据函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，求得ω，再根据()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)，由(0)1f =求得函数解析式，然后令π2π,3x k k +=∈Z求解.【详解】由题意知2()4cos ()22cos(22)f x x x ωϕωϕ=+-=+，因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以其最小正周期为π， 故1ω=，因为()f x 的图象与y 轴的交点为(0,1)， 所以(0)2cos21f ϕ==，又π0,02π2ϕϕ<<<<， 所以π23ϕ=， 所以π()2cos(2)3f x x =+， 令π2π,3x k k +=∈Z ，得ππ,62k x k =-+∈Z ， 令0k =，得π6x =-，则()f x 的图象的一条对称轴方程可以为π6x =-.故选：B.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．10．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，||2BA BC +=，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ）A ．(1]-∞，B ．[01]，C ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】由已知数量积相等求得BA BC =，取AC 中点D ，从而求得中线AD 的长，BA BC ⋅可表示为B 的函数，由三角函数知识得取值范围．【详解】在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，即()0CA BC BA ⋅+=，取AC 中点D ，即20CA BD ⋅=，则CA BD ⊥ 又BD 是中线，所以ABC 是等腰三角形，BA =BC .由22BA BC BD +==，即1BD =， 1cos2BA BC B ==，则112cos 2cos cos 21cos 1cos coscos 22B BA BC BA BC B B B B B B ⋅=⋅⋅=⋅⋅==-++， 由32B ππ≤≤，则10cos 2B ≤≤，所以222[0,]1cos 3BA BC B ⋅=-∈+.故选：C ．二、填空题11．已知向量()()1,3,,4a b x =-=，且a b ，则x =___________.【答案】43-【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】解：向量()()1,3,,4a b x =-=，且a b ，所以1430x -⨯-=， 解得43x =-.故答案为：43-.12．函数()2ln 1xf x x =⋅-的零点个数为_______.【答案】2【分析】由题意结合函数零点的概念可转化条件得1ln 2xx =，在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数. 【详解】令()2ln 10xf x x =⋅-=，则1ln 2xx =， 在同一直角坐标系中作出函数ln y x =与12xy =的图象，如图：由图象可知，函数ln y x =与12xy =的图象有两个交点， 所以方程1ln 2x x =有两个不同实根，所以函数()2ln 1x f x x =⋅-的零点个数为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.13．已知1,2a b →→==，a →与b →的夹角为3π，那么a b a b →→→→+⋅-=___________.【分析】根据向量加法运算公式计算求解即可 【详解】解：根据向量模的计算公式得a b →→+===a b →→-==所以a b a b →→→→+⋅-==14．已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法正确的序号是___________. ①函数()f x 的周期为π；②20213f π⎛⎫=⎪⎝⎭③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称.【答案】②③【分析】应用特殊值法，结合周期性、对称的性质判断①、④，利用2π是函数()f x 的周期直接求20213π⎛⎫⎪⎝⎭f 判断②；由已知区间有()1sin 22f x x =，即可判断③.【详解】解：对于①，函数()cos sin f x x x =，π4π4πππππcos sin cos sin 333333f f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ33f f ⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期不是π，故①不正确. 对于②，因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=++==， 所以2π是函数()f x 的周期，所以2021π2π2π2π2π2π2π672ππ+π+cos πsin πcossin 3333333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②正确；对于③，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin cos sin sin22f x x x x x x =⋅=⋅=，因为ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，③正确；对于④，ππππ1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33π3π3π3π1cos sin cos sin 444442f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则π3π44f f⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图像不关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故④不正确.故答案为：②③.三、解答题 15．已知tan α＝2.(1)求tan()4πα+的值；(2)求2223sin cos 2sin 2cos αααα++的值【答案】(1)-3 (2)32【分析】（1）由正切的和角公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式与弦的齐次式弦化切求解即可【详解】（1）tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan41tan tan 4παπα+=-tan 11tan αα+=-21312+=--； （2）222222223sin cos 23sin cos sin sin 2cos sin 2cos ααααααααα++-=++ 2222222sin cos 2tan 12413sin 2cos tan 2422αααααα++⨯+====+++ 16．试用向量的方法证明：在ABC 中，cos cos a b C c B =+.【答案】证明见解析【分析】设,,AB c BC a CA b ===，从而得出0a b c ++=，化简整理可得a b c =--，两边同时与a 作内积，利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】设,,AB c BC a CA b ===，从而得出0a b c ++=，a b c ∴=--，()22cos cos a a b c a b a c ab C ac B a ∴=⋅--=-⋅-⋅=+=，cos cos a b C c B ∴=+，得证.17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+； (2)52x =，2254.【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x 的等式，即可得出θ关于x 的函数解析式；（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y 的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意，可算得()m BC x θ=，()10m AD θ=． 因为30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=，所以，()21001010x x x θ+=<<+. （2）解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭， 当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y . 综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4.18．已知函数()()212cos 1sin2cos42f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的对称中心；(2)若()0,πα∈，且π482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z(2)2【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为π()424f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称中心，令π4π,4x k k +=∈Z ，解之即可求解；(2)结合（1）的结论，将π482f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简整理可得：πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求出3π4α=，代入πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】（1）因为()()2112cos 1sin2cos4cos2sin2cos422f x x x x x x x =-+=+11πsin4cos44224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令π4π,4x k k +=∈Z ，则ππ,416k x k =-∈Z ， 所以函数的对称中心为ππ,0,416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）ππππ4484844f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以πsin 14α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πα∈，所以3π4α=，则3ππtantanπ3ππ43tan tan 23ππ3431tan tan 43α+⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-19．已知向量a ＝(cos 2ωx －sin 2ωx ，sin ωx )，b ＝2cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b (x ∈R )的图象关于直线x ＝π2对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝h (x )的图象，若关于x 的方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）T ＝6π；单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）{k|k <≤k ＝－2}．【分析】（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到π()2sin(2)3f x x ω=+，再利用对称性求出ω值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到π()2sin(2)3h x x =-，再令π23x t -=，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.【详解】(1)f (x )＝a ·b2ωx －sin 2ωx )＋2sin ωx cos ωxωx ＋sin2ωx ＝2sin 23x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∵直线x ＝π2是y ＝f (x )的图象的一条对称轴，∴ππππ32k ω+=+(k ∈Z )，即ω＝k ＋16(k ∈Z )． 又ω∈(0，1)，∴ω＝16，f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴T ＝6π.令π1ππ2π2π2332k x k -+++，k ∈Z ，得5ππ6π6π22k x k -++，k ∈Z ， 即函数f (x )的单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .(2)由（1）得f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，∴h (x )＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令π23x -＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π3≤t ≤2π3，方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，即方程2sin t ＋k ＝0在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，亦即y ＝2sin t ，t ∈π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与直线y ＝－k 有且只有一个交点，－kk ＝2，即k <≤k ＝－2. 故实数k 的取值范围是{k|k ≤k ＝－2}．【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“()2sin 2h x x =”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量x ”而言，如本题中ππ()2sin[2()]33h x x =-+.20．设函数()sin 1f x x x =+，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x ∈R 恒成立，求cos b ca的值. 【答案】1-【分析】整理得，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()1af x bf x c +-=可整理得，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此，列出方程组， 22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩，解方程组，可得答案. 【详解】解：()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即2sin 2sin 133a x b x c a b ππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩， 由22cos 0a b c +=得：cos 1b ca=-， 故答案为：1-21．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数：4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）()0,1；（3）最大值为4112. 【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到()()1f m f n =，解得：2m n +=，再由0n m >>，解出01m <<，根据m 的范围即可求出mn 的取值范围；（3）根据题意分443a ≤≤，4a >，考虑()f x 在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得a 的值，代入得2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由判别式0∆≤，即可得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，再令函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性，求得其最值，可求得实数s 的最大值.【详解】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.（2）因为()12x f x -=在[],m n 上递增，故()() 1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<， 从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈. （3）①若443a ≤≤，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =，从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立， 由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭. 由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
2025届陕西省西安高新第一中学高考数学全真模拟密押卷含解析
2025届陕西省西安高新第一中学高考数学全真模拟密押卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ） A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e - 2．231+=-i i（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 4．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( )A ．9B ．5C ．2或9D ．1或55．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米6．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()eln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞ 8．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．24 C ．22 D ．22-9．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．13 10．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．已知集合{}1A x x =<，{}1x B x e =<，则（ ）A ．{}1AB x x ⋂=<B ．{}A B x x e ⋃=<C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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陕西省西安市高新第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）满分：120分 时间：120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）．A ．2y =B ．3y =C ．y =D ．2x y x=【答案】B【解析】解：y x =的定义域为R ，对应法则是“函数值与自变量相等”．选项A ：,0||,0x x y x x x ⎧===⎨-<⎩≥；选项B ：2x y x =的定义域为{}|0x x ≠；选项C ：y x ==；选项D ：2y =的定义域为[0,)+∞． 故选B ．2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤【答案】A【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数()f x kx b =+在R 上是减函数，0k <． 故选A ．3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】解：∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，∴{}4A =，{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}1,2,4，{}1,3,4，{}2,3,4，{}1,2,3,4， 则集合A 的个数为8． 故选B ．4．函数2()=1f x x -在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）．A ．83B ．43C ．23D ． 1【答案】B【解析】解：∵2()log f x x =在区间[2,2]a 上为单调增函数， 由题可得：221log (2)log 22a -=， ∴221log 22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴a =，点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性． （2）利用定义判断函数的单调性． （3）求导得函数单调性． 故选B ．5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】解：6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(,8][2,)-∞--+∞D ．(,2][8,)-∞+∞【答案】D【解析】解：二次函数2()28f x x kx =--的对称轴为4kx =， ∵函数2()28f x x kx =--在区间[1,2]上不单调， ∴124k<<，得48k <<． 故选B ．7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）．A ．有最大值4B ．有最小值4-C ．有最大值3-D ．有最小值3-【答案】B【解析】解：由于()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，则()f x 在(,0)-∞上也是减函数，在区间[,](0)a b a b <<上的最小值为3-，最大值为4，由于区间[,]b a --与[,]a b 对称，则可知()f x 在[,]b a --上最大值为3，最小值为4-． 借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示：8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。
设()0.6x f x =，() 1.5x g x =，因为0.61<，故()f x 在R 上单调递减， 又因为当0x >时，()1f x <， 所以 1.50.50.60.61<<，因为1.51>，故()g x 在R 上单调递增， 又因为当0x >时，()1g x >， 所以0.61.51>， 所以b a c <<． 故选C ．9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）．A ．|sgn |x x x =-B ．sgn ||x x x =-C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质。
已知,0||0,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，故AB 项错误；,0||sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩，故C 项错误；D 项正确．故选D ．10．若在定义域内存在实数0x ，满足，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）． A．11m ≤ B．1m ≤C．m -≤D．1m -≤【答案】D【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可以知道，函数()()f x f x -=-有解即可， 即1212()423(423)x x x x f x m m m m --++-=-+-=--+-， ∴2442(22)260x x x x m m --+-++-=，即(22)2x x m -+-，2(22)280x x m -++-=有解即可， 设22x x t -=+，则222x x t -=+≥，∴方程等价为22t m -，2280t m +-=在2t ≥时有解， 设2()2g t t m =-，228t m +-， 对称轴22mx m -=-=． （1）若2m ≥，则2244(28)0m m ∆=--≥， 即28m ≤．∴m -≤，此时2m ≤≤．（2）若2m <，要使22t m -，2280t m +-=，在2t ≥时有解，则2(2)m f <⎧⎪⎨⎪∆⎩≤0≥0，即211m m m <⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤计算得出12m ≤，综上：1m ≤ 故选D ．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________．【答案】16【解析】解：∵函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，∴(3)314f =+=， ∴4[(3)](4)216f f f ===．12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A C B =R __________． 【答案】[2,1)-【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质． 由240x -≥得[2,2]A =-，由10x ->得(,1)B =-∞， 所以[2,1)A B =-．13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________． 【答案】5【解析】解：令函数3(2)f x x x k +=-，则()f x 在R 上是增函数．当方程23x x k +=的解在(1,2)内时，(1)(2)0f f ⋅<， 即5)10(()0k k --<， 解得510k <<. 当(1)0f =时，5k =．14．已知函数1()log 1a xf x x-=+（0a >且1a ≠）有下列四个结论： ①恒过定点； ②()f x 是奇函数；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >； ④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．其中正确的结论是__________．（请将所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①④【解析】解：①2x y a +=的图像可由x y a =的图像向左平移2个单位得到，①正确； ②2x y =与2log y x =互为反函数，所以的图像关于直线y x =对称，②错误；③由255log (21)log (2)x x +=-，得2221020212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+=-⎩，即1213x x x x x ⎧>-⎪⎪⎪><⎨⎪=-=⎪⎪⎩3x =，所以③错误； ④设()ln(1)ln(1)f x x x =+--，定义域为(1,1)-，关于原点对称， ()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，所以()f x 是奇函数，④正确，故正确的结论是①④．三、解答题：（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）22531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．（2）2lg5+ 【答案】见解析．【解析】解：（1）原式111121433433144433333101(3)(3)10301021033-----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⨯+-⨯=--= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）原式2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭211(lg 2)lg 2lg522=+⋅2111(lg2)lg2lg51lg2222=+⋅+- 11lg2(lg2lg5)1lg222=++- 1=．16．（本小题满分8分）已知函数1()2axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图像过点(1,2)-．（1）求a 的值．（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得出1a =．（2）由（1）知1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()()g x f x =，则1422x x-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则220t t --=，即(2)(1)0t t -+=， 又0t >，故2t =，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得出1x =-，满足条件的x 的值为1-．17．（本小题满分8分）已知集合{}2(,)|1A x y y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤． （1）当4m =，求A B ．（2）若A B 是只有一个元素的集合，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组．（2）要使A B 是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y 或x 后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在[0,3]内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在 [0,3]内． 解析：（1） 24113203y x x x y x y x ⎧=-+-=⎧⎪=-⇒⎨⎨=⎩⎪⎩≤≤， 所以{}(1,2)A B = ．（2）213y x mx y x⎧=-+-⎨=-⎩ 消去y 整理可得 2(1)40x m x -++=，因为AB 是只有一个元素的集合，即此方程在 [0,3] 只有一个根，所以 2(1)1601032m m⎧∆=+-=⎪⎨+⎪⎩≤≤或2(1)160(0)(3)0m f f ⎧∆=+->⎨⎩≤， 解得3m =或103m ≥．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“GX ”性质．（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“GX ”性质？说明理由． （2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“GX ”性质，求a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解（1）∵2()22f x x x =-+，[1,2]x ∈， ∴min ()11f x =≤，∴函数()f x 在[1,2]上具有“GX ”性质． （2）2()2[,1]f x x ax x a a =-+∈+，其对称轴为2a x =． ①当2aa ≤即0a ≥时，22min ()()22f x f a a a ==-+=，若函数()f x 具有“GX ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <<+时，即20a -<<时，2min ()224a a f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 具有“GX ”性质，则有224a a -+≤总成立，计算得出：a ∈∅．③当12aa +≥时，即2a -≤时，min ()(1)3f x f a a =+=+，若函数()f x 具有 “GX ”性质，则有3a a +≤，计算得出：a ∈∅． 综上所述：若函数()f x 在[,1]a a +上具有“GX ”性质，则有2a ≥．19．（本小题满分10分）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =．（1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域．（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+， 因为[1,4]x ∈， 所以2log [0,2]x ∈， 故函数()h x 的值域为[0,2]．（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅， 令2log t x =， 因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]t x =，所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[0,2]t ∈恒成立， 1︒当0t =时，k ∈R ，2︒当[0,2]t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-， 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号， 所以9415t t+-的最小值为3-． 综上， (,3)k ∈-∞-．附加题：1．（本小题满分8分）若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，则(2019)f =__________． 【答案】见解析．【解析】解：当1x =时，由2013(1)24025x f x f x x +⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 得：(2)2(2014)402514024f f +=-=①，当2013x =时，由2013(1)24025x f x f x x +⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 得：(2014)2(2)402520132012f f +=-=②， ①2⨯-②得3(2014)40242201232012f =⨯-=⨯， 则(2014)2012f =，因此，本题正确答案是：2012．2．（本小题满分12分）设()|lg |f x x =，a 、b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足34b <<．【答案】见解析．【解析】解：（1）由()1f x =得，lg 1x =±，所以10x =或110．（2）结合函数图像，由()()f a f b =，可判断(0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞，从而lg lg a b -=，从而1ab =， 又122ba b b++=，因为(1)b ∈+∞，所以 12a b+>， 从而由()22a b f b f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得2lg 2lg lg 22a b ab b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 从而22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）由22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2242b a b ab =++，221240b b b ++-=，令221()24g b b b b =++-，因为(3)0g <，(4)0g >，根据零点存在性定理可知， 函数()g b 在(3,4)内一定存在零点， 即方程221240b b b ++-=存在34b <<的根．。